初中数学冀教版（2024）七年级上册（2024）第四章 整式的加减4.1 整式教案及反思

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课时目标
1.通过经历列代数式的过程,了解单项式及单项式的次数、系数的概念,并能在具体问题中识别和运用,培养学生的观察、归纳能力.
2.经历在具体情境中用代数式表示数量关系的过程,体验数学抽象,发展符号意识.
3.在发现、探索、总结的过程中,让学生积累数学活动经验,提高数学素养,体会成功的乐趣.
学习重点
理解单项式及单项式的系数、次数的概念.
学习难点
能够准确地判断一个代数式是否是单项式,且能迅速而准确地确定一个单项式的系数和次数.
课时活动设计
情境引入
1.小亮家的电冰箱平均每天耗电量为m千瓦·时,那么n天耗电量为 mn 千瓦·时.
2.某物品包装箱的形状是长方体,如果包装箱的宽和高都为a cm,长为b cm,那么它的体积是 a2b cm3.
3.一个两位数,个位数字是x,十位数字是y,这个两位数可表示为 10y+x ;如果个位数字与十位数字交换位置,所得的两位数可表示为 10x+y .
4.为践行绿水青山就是金山银山的理念,实现美丽中国建设,某地计划逐年增加植树造林的面积.如果第一年植树造林a公顷,第二年比第一年增加了10%,那么第二年将比第一年的植树造林面积增加 10%a 公顷.
5.如图,在边长为a的正方形内,挖去一个底为b、高为12的三角形,则剩下部分的面积为 a2-14b .
请同学们独立完成以上问题.
设计意图:复习巩固了用字母表示数和列代数式,同时得到了6个代数式,为引出单项式的概念作铺垫.
探究新知
探究 单项式及其相关概念
观察上面得到的代数式:mn,a2b,10y+x,10x+y,10%a,a2-14b.
思考:从所含的运算来看,它们各自有什么特点?你能尝试给它们分类吗?
学生讨论,教师引导学生概括单项式的概念.
单项式:像mn,a2b,10%a这样的代数式,它们都是由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式,我们把这样的代数式叫作单项式.
教师补充:单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5.
思考:如果试着把单项式10%a中的因数分成两部分,该怎么分合适?
学生小组内讨论后发表看法.
归纳:单项式可看成是由数字因数和字母因数两部分组成的,我们把单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.
如单项式mn的系数是1,次数是2;单项式10%a的系数是10%,次数是1.
设计意图:通过归纳体验,培养学生语言概括能力.
典例精讲
例1 请指出下列各代数式哪些是单项式,哪些不是,并说明理由.
x+y,-x5,2πr,5m,x+y5,b,5,4a.
解:-x5,2πr,5m,b,5是单项式;x+y不是积的形式,x+y5中x+y不是积的形式,4a是4与a相除得到,不符合单项式的定义.
总结:1.单项式中的数字与字母或字母与字母之间是相乘关系.
2.单独一个数或一个字母也是单项式.
例2 请指出下列单项式的系数和次数.
(1)a; (2)-xy2; (3)-5xy22; (4)πx2y; (5)-23a2b3.
解:(1)a的系数为1,次数为1.
(2)-xy2的系数为-1,次数为3.
(3)-5xy22的系数为-52,次数为3.
(4)πx2y的系数为π,次数为3.
(5)-23a2b3的系数为-23,次数为5.
总结:1.单项式的系数包括它的符号,-x的系数是-1.
2.当单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写.
3.当字母的指数是1时,指数通常省略不写,如y的指数是1.
例3 请将下列问题的结果用代数式表示.如果是单项式,请指出它们的系数和次数.
(1)新能源汽车具有低能耗、低碳等特点,市场认可度持续提升.某品牌新能源汽车为了进一步提高市场占有率,将原价为a万元/辆的汽车按九折出售.如果一周内销售了这种汽车b辆,那么这周的销售额为多少万元?
(2)小亮从图书馆返回家,若行走的速度为v m/min,则t min所走的路程是多少米?
(3)如图,圆柱形容器内部的底面圆半径为r,液面高为h,那么其中液体的体积是多少?
解:(1)这周的销售额为0.9ab万元是单项式,它的系数是0.9,次数是2.
(2)t min所走的路程是vt m.vt是单项式,它的系数是1,次数是2.
(3)容器中液体的体积是πr2h.πr2h是单项式,它的系数是π,次数是3.
设计意图:通过例题的讲解与示范,及时归纳总结,提高对重点知识的归纳能力,形成规律性的认识.
巩固训练
1.下列式子是单项式的是(B)
A.a-1 B.a2 C.a+b D.a+b=1
2.若单项式-3x2y的系数是m,次数是n,则mn的值为(D)
A.9 B.3 C.-3 D.-9
3.请你写出三个不同的单项式,要求它们的系数是-2,所含字母都是x和y,且它们的次数都是4.
解:-2xy3,-2x2y2,-2x3y.
4.若(m-2)x2yn是关于x,y的一个四次单项式,m,n应满足的条件是什么?
解:由题意可知,m,n要满足2+n=4,m-2≠0,
所以m≠2,n=2.
设计意图:通过对题目的辨析,巩固了单项式的概念及单项式的系数、次数的概念.
课堂小结
1.单项式:由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式;
2.单项式的系数:单项式中的数字因数叫作单项式的系数;
3.单项式的次数:单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数.
设计意图:让学生在总结中突破难点,培养学生总结概括的能力.
课堂8分钟.
1.教材第134页习题A组第1,2题,B组第3,4题,C组第5题.
2.七彩作业.
第1课时 单 项 式
1.单项式的概念.
2.单项式的次数和系数.
3.例题讲解.
教学反思



第2课时 多 项 式
课时目标
1.掌握多项式的概念及其项、次数、常数项的概念,进而理解整式的概念.
2.经历多项式、整式概念的形成和运用过程,知道多项式的项、次数的确定方法,进一步培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.体会多项式、整式的实际背景,进一步感受字母表示数的意义,进一步培养学生积极思考的学习态度以及合作交流的意识.
学习重点
掌握整式的概念,掌握多项式的定义,多项式的项和次数以及常数项的概念.
学习难点
确定多项式的次数和项数并和单项式区分开来.
课时活动设计
情境引入
教师:上节课我们学习了单项式的有关概念,那请同学们看下面的一些问题.
1.下列代数式中,哪些是单项式?如果是单项式,请指出它们的系数和次数.
2xy,-4x,13a+13b,-23xy,1a,m,-12,-ab,π+2r.
解:2xy是单项式,系数是2,次数是2;-4x是单项式,系数是-4,次数是1;-23xy是单项式,系数是-23,次数是2;m是单项式,系数是1,次数是1;-12是单项式,系数是-12,次数是0;-ab是单项式,系数是-1,次数是2.
2.目前,地球上生存的生物约有150万种.其中,无脊椎动物约有m万种,脊椎动物约有 (150-m) 万种.
3.如图,城楼门口的形状下部是长方形,上部是半圆形,城楼门口的面积是 2ra+12πr2 .
4.一个三位数,个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,则这个三位数是 100c+10b+a .
请同学们独立完成以上问题.
设计意图:通过回顾有关单项式及代数式的知识,引导学生思考代数式和单项式之间的关系,引出本节课的学习内容.
探究新知
探究 多项式及其相关概念
观察教学活动1得到的代数式:150-m,2ra+12πr2,100c+10b+a.
思考:从这些代数式所含的运算来看,它们各自有什么特点?
学生讨论,教师引导学生总结归纳:
多项式的概念:像这样的代数式,它们都是由单项式相加组成的代数式,我们把这样的代数式叫作多项式.
问题1:多项式2ra+12πr2是由几个单项式相加而得到的?每个单项式各指的是谁?是几次多项式?
教师引导学生回答,根据学生的回答,给予肯定、否定或纠正.
解:在2ra+12πr2中,是由两个单项式相加得到的,分别是2ra,12πr2,就叫作二项式,两个单项式中,2ra的次数是2,12πr2的次数是2,最高次数是二次,所以我们就说这个多项式的次数是二,整个多项式就叫作二次二项式.
学生讨论,师生共同归纳:
(1)多项式是若干个单项式的和.我们把多项式中的每一个单项式都叫作这个多项式的项,把不含字母的项叫作常数项.
(2)多项式含有几项,这个多项式就叫作几项式.
(3)在多项式里,最高次项的次数,叫作这个多项式的次数.多项式的次数是几,这个多项式就叫作几次式.
问题2:请同学们说出多项式3x2-y+3xy3+x4-1的项、常数项、项数、次数以及命名.
解:项有3x2,-y,3xy3,x4,-1;常数项为-1;项数为五,次数为四;命名为四次五项式.
引导学生归纳要点,总结注意多项式容易出现的问题:
(1)多项式的各项应包括它前面的符号;
(2)要确定一个多项式的次数,先要确定此多项式中各项(单项式)的次数,然后找次数最高的;
(3)一个多项式的最高次项可以不唯一;
(4)多项式没有系数的概念,但其每一项均有系数,每一项的系数也包括前面的符号.
教师活动:结合上节课所学的单项式及本节课所学的多项式,给出整式的概念.
整式的概念:单项式和多项式统称为整式.
设计意图:通过观察式子特点,讨论归纳多项式的概念,体现学生的主体作用和参与意识.通过教师引导,让学生总结归纳一些结论,培养学生的语言表达能力和总结归纳能力.
典例精讲
例1 下列多项式的项、常数项、次数分别是多少?它们分别是几次几项式?请填入表中.
解:填表如上.
例2 如图,这是一个正方体和一个长方体的组合体.
(1)请用代数式表示这个组合体的体积.
(2)这个代数式是多项式还是单项式?如果是多项式,请写出它是几次几项式.
解:(1)这个组合体的体积是a3+a2b.
(2)这个代数式是多项式,它是三次二项式.
设计意图:通过例题的讲解与示范,加深对多项式、多项式的项、常数项、多项式的次数、整式等概念的理解.
巩固训练
1.如果多项式xn-2-5x+2是关于x的三次三项式,那么n等于(C)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如果一个多项式是五次多项式,那么这个多项式的每一项的次数(D)
A.都小于5 B.都大于5 C.都不小于5 D.都不大于5
3.如果多项式(-a-1)x2-13xb+x+1是关于x的四次三项式,那么这个多项式的最高次项系数是 -13 ,a= -1 .
4.多项式-45x2y+13x4y2-x-2的次数是 6 ,常数项是 -2 .
5.若多项式3x4-3x2my-5xy是一个七次三项式,且n是二次项的系数,求m2+n的值.
解:因为多项式3x4-3x2my-5xy是一个七次三项式,n是二次项的系数,
所以2m+1=7,n=-5,解得m=3.
所以m2+n=32+(-5)=9-5=4.
设计意图:分析时紧扣多项式的定义,培养学生的逆向思维,使学生透彻理解多项式的有关概念,培养他们应用新知识解决问题的能力.
课堂小结
1.多项式,多项式的项,常数项,多项式的次数,整式等概念.
2.多项式不包含单项式,但它的每一项都是单项式.
3.多项式的次数其实是它的最高次项的次数.
4.注意:多项式的项应包括它的符号.
设计意图:培养学生养成系统整理知识的好习惯,加强教学反思,进一步提高教学效果.
课堂8分钟.
1.教材第137页习题A组第1,2,3题,B组第4,5题,C组第6题.
2.七彩作业.
教学反思


多项式
2a-1
-2x+x2-3
x3-2xy2+y3-x2y
项
2a,-1
-2x,x2,-3
x3,-2xy2,y3,-x2y
常数项
-1
-3
0
次数
1
2
3
几次几项式
一次二项式
二次三项式
三次四项式