2024年北京市石景山区名校数学九上开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份2024年北京市石景山区名校数学九上开学学业质量监测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，从几何图形的角度看，下列这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）的值是( )
A．±4B．4C．﹣4D．±2
4、（4分）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）为了解某学校七至九年级学生每天的体育锻炼时间，下列抽样调查的样本代表性较好的是（ ）
A．选择七年级一个班进行调查
B．选择八年级全体学生进行调查
C．选择全校七至九年级学号是5的整数倍的学生进行调查
D．对九年级每个班按5%的比例用抽签的方法确定调查者
6、（4分）不等式的解是（）
A．B．C．D．
7、（4分）关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是（ ）
A．0B．2C．2或﹣2D．﹣2
8、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是( )
A．5B．7C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若分式的值为0，则的值是 _____．
10、（4分）不等式组的解集为______．
11、（4分）已知关于的方程会产生增根，则的值为________．
12、（4分）直角三角形有两边长为3和4，则斜边长为_____．
13、（4分）当__________时，代数式取得最小值．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（1）EF1=BE1+DF1．
15、（8分）某校学生会在得知田同学患重病且家庭困难时，特向全校3000名同学发起“爱心”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了该校某班学生的捐款情况，并将得到的数据绘制成如下两个统计图，请根据相关信息解答下列问题．
（1）该班的总人数为 ______ 人，将条形图补充完整；
（2）样本数据中捐款金额的众数 ______ ，中位数为 ______ ；
（3）根据样本数据估计该校3000名同学中本次捐款金额不少于20元有多少人？
16、（8分）某项工程由甲乙两队分别单独完成，则甲队用时是乙队的1.5倍：若甲乙两队合作，则需12天完成，请问：
（1）甲，乙两队单独完成各需多少天；
（2）若施工方案是甲队先单独施工天，剩下工程甲乙两队合作完成，若甲队施工费用为每天1.5万元，乙队施工费为每天3.5万元求施工总费用（万元）关于施工时间（天）的函数关系式
（3）在（2）的方案下，若施工期定为15~18天内完成（含15和18天），如何安排施工方案使费用最少，最少费用为多少万元？
17、（10分）一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中，甲，乙两组学生人数都为5人，成绩如下（单位：分）：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
（2）已知甲组学生成绩的方差，计算乙组学生成绩的方差，并说明哪组学生的成绩更稳定.
18、（10分）由于受到手机更新换代的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）方程的解是__________．
20、（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=8 cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动，__________秒后四边形ABQP是平行四边形．
21、（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，位似比，若AB＝1.5，则DE＝_____．
22、（4分）当x_____时，二次根式有意义．
23、（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，成绩最稳定的是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
25、（10分）如图，直线和相交于点C，分别交x轴于点A和点B点P为射线BC上的一点。
（1）如图1，点D是直线CB上一动点，连接OD，将沿OD翻折，点C的对应点为，连接，并取的中点F，连接PF，当四边形AOCP的面积等于时，求PF的最大值；
（2）如图2，将直线AC绕点O顺时针方向旋转α度，分别与x轴和直线BC相交于点S和点R，当是等腰三角形时，直接写出α的度数.
26、（12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
(1)小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．
(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故选：D．
本题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方这一知识点，熟知这条知识点是解题的关键．
2、B
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个选项一一判断即可得出答案.
【详解】
A.是轴对称图形，不是中心对称图形；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形.
故选B.
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别.熟练应用中心对称图形和轴对称图形的概念进行判断是解题的关键.
3、B
【解析】
由于表示的算术平方根，所以根据算术平方根的定义即可得到结果.
【详解】
，
.
故选：.
本题主要考查算术平方根的定义，一个非0数的算术平方根是正数，算术平方根容易与平方根混淆，学习中一定要熟练区分之.
4、C
【解析】
分析：要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
详解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以AC=，
故选C．
点睛：本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
5、C
【解析】
直接利用抽样调查必须具有代表性，进而分析得出答案．
【详解】
抽样调查的样本代表性较好的是：选择全校七至九年级学号是5的整数倍的学生进行调查，故选C．
此题主要考查了抽样调查的可靠性，正确把握抽样调查的意义是解题关键．
6、C
【解析】
解出两个不等式的解集，再取它们的公共部分作为不等式组的解集即可
【详解】
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴该不等式的解集是
故答案为：C
本题考查了一元一次不等式组的解法，掌握其解法是解题的关键.
7、C
【解析】
把x＝3代入方程x1+（m1﹣1）x﹣15＝0得9+3m1﹣6﹣15＝0，然后解关于m的方程即可．
【详解】
把x＝3代入方程x1+（m1﹣1）x﹣15＝0得9+3m1﹣6﹣15＝0，
解得m＝±1．
故选C．
本题考查了一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法，正确得到关于m的方程是解决问题的关键.
8、C
【解析】
首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
【详解】
解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
∵ ×AC×BC= ×CD×AB，
∴ ×3×4=×5×CD，
解得：CD=．
故选．
本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，由此列出不等式和等式，求解即可.
【详解】
∵分式的值为0，
∴,
∴x=1．
故答案是：1.
考查了分式的值为零的条件，解题关键是：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
10、1＜x≤1
【解析】
解不等式x﹣3（x﹣2）＜1，得：x＞1，
解不等式，得：x≤1，
所以不等式组解集为：1＜x≤1，
故答案为1＜x≤1．
11、1
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x-4），得
2x=k
∵原方程增根为x=4，
∴把x=4代入整式方程，得k=1，
故答案为：1．
此题考查分式方程的增根，解题关键在于掌握增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12、4或1
【解析】
直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为4的边为斜边；（2）边长为4的边为直角边．
【详解】
解：（1）当边长为4的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为4；
（2）当边长为4的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为＝1，
故该直角三角形斜边长为4cm或1cm，
故答案为:4或1．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中运用分类讨论思想讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键
13、
【解析】
运用配方法变形x2-2x+3=（x-1）2+2；得出（x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，然后得出答案．
【详解】
∵x2-2x+3=x2-2x+1+2=（x-1）2+2，
∴当x-1=0时，（x-1）2+2最小，
∴x=1时，代数式x2-2x+3有最小值．
故答案为:1．
此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，得出（x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，这是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、详见解析.
【解析】
(1)、直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；
(1)、利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
【详解】
(1)、∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ， ∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，
∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ=∠AEF， ∴EA是∠QED的平分线；
(1)、由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE=EF， 在Rt△QBE中，
QB1+BE1=QE1， 则EF1=BE1+DF1．
考点：(1)、旋转的性质；(1)、正方形的性质．
15、（1）50；补图见解析；（2）10，12.5；（3）660人
【解析】
（1）根据统计图中的数据可以求得额该班的总人数，可以求得捐款10元的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据补全的条形统计图可以得到相应的众数和中位数；
（3）根据统计图可以求得不少于20元有多少人数的占比，再乘以总人数即可．
【详解】
解：（1）14÷28%=50，
捐款10元的人数为：50-9-14-7-4=16，
故答案为：50，补全的条形统计图如右图所示，
（2）由补全的条形统计图可得，
样本数据中捐款金额的众数是10，中位数是： ＝12.5，
故答案为：10，12.5；
（3）捐款金额不少于20元的人数 人，
即该校3000名同学本次捐款金额不少于20元有660人．
此题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
16、（1）甲、乙两队单独完成分别需30天，20天；（2）y=0.5x+60;（3）甲队先施工10天，再甲乙合作8天，费用最低为55万元
【解析】
（1）设乙队单独完成需a天，则甲队单独完成需1.5a天，根据题意列出方程即可求解；
（2）设甲乙合作完成余下部分所需时间为w天，根据题意得到w与x的关系，根据题意即可写出y与x的关系式；
（3）根据施工期定为15~18天内完成得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求出y的最小值.
【详解】
（1）设乙队单独完成需a天，则甲队单独完成需1.5a天，
根据题意列：，
解得，a=20，经检验：a=20是所列方程的根，且符合题意，所以1.5a=30，
答：甲、乙两队单独完成分别需30天，20天；
（2）设甲乙合作完成余下部分所需时间为w天，
依题意得，
解得，w=x+12
∴y=1.5x+（1.5+3.5）（x+12）=-0.5x+60；
（3）由题可得15≤xx+12≤18，
解得5≤x≤10，
∵y=-0.5x+60中k<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=10时，y最小=-0.5×10+60=55，
此时，甲队先施工10天，再甲乙合作8天，费用最低为55万元.
此题主要考查分式方程的应用和解法，一次函数的性质等知识，正确的列出分式方程、求出费用与时间之间的函数关系式是解决问题的关键．
17、（1）甲：平均数8；乙：平均数8，中位数9；（2）甲组学生的成绩比较稳定．
【解析】
（1）根据平均数和中位数的定义求解可得；
（2）根据方差的定义计算出乙的方差，再比较即可得．
【详解】
（1）甲的平均数：，
乙的平均数：，
乙的中位数：9；
（2） .
∵，
∴甲组学生的成绩比较稳定．
本题考查了求平均数，中位数与方差，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
18、（1）今年甲型号手机每台售价为1元；（2）共有5种进货方案．
【解析】
分析: （1）先设今年甲型号手机每台售价为x元，根据题意列出方程，解出x的值，再进行检验，即可得出答案；
（2）先设购进甲型号手机m台，根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，即可得出进货方案.
详解:
（1）设今年甲型号手机每台售价为x元，由题意得，

解得x=1．
经检验x=1是方程的解．
故今年甲型号手机每台售价为1元．
（2）设购进甲型号手机m台，由题意得，
17600≤1000m+800（20－m）≤18400，
解得 8≤m≤2．
因为m只能取整数，所以m取8、9、10、11、2，共有5种进货方案．
点睛: 此题考查了一元一次不等式组的应用，要能根据题意列出不等式组，关键是根据不等式组的解集求出所有的进货方案，注意解分式方程要检验，是一道实际问题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
先移项，然后开平方，再开立方即可得出答案．
【详解】
，
，
故答案为：．
本题主要考查解方程，掌握开平方和开立方的法则是解题的关键．
20、.
【解析】
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，因此设x秒后四边形ABQP是平行四边形，进而表示出AP＝xcm，CQ＝2xcm，QB＝（8﹣2x）cm再列方程解出x的值即可．
【详解】
解：设x秒后，四边形ABQP是平行四边形，
∵P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，
∴AP＝xcm，CQ＝2xcm，
∵BC＝8cm，
∴QB＝（8﹣2x）cm，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴x＝8﹣2x，
解得：x＝．
故答案为．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
21、4.1
【解析】
根据位似图形的性质得出AO,DO的长,进而得出, ,求出DE的长即可
【详解】
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴DE＝3×1.1＝4.1．
故答案为4.1．
此题考查坐标与图形性质和位似变换，解题关键在于得出AO,DO的长
22、x≥
【解析】
分析：根据二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，列不等式解答.
详解：由题意得
2x-3≥0,
∴x≥.
故答案为x≥.
点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，明确被开方式大于且等于零是二次根式成立的条件是解答本题的关键.
23、丙
【解析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是0.90，1.22，0.43，1.68，
∴S2丙∴成绩最稳定的同学是丙.
本题考查方差的意义，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据波动越小，学生们熟练掌握即可.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）t=3，ABQP是矩形；（2）t=，AQCP是菱形；（3）周长为:15cm，面积为：（cm2）.
【解析】
（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4AQ，面积=CQ×AB．
【详解】
解：（1）由已知可得，BQ=DP=t，AP=CQ=6-t
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，
当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t=6-t，得t=3
故当t=3s时，四边形ABQP为矩形．
（2）AD∥BC，AP=CQ=6-t，
∴四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形
即＝6−t时，四边形AQCP为菱形，解得t=，
故当t=s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t=时，AQ=，CQ=，
则周长为：4AQ=4×=15cm
面积为：CQ•AB＝×3＝．
本题考查菱形、矩形的判定与性质．注意结合方程的思想解题．
25、（1）PF的最大值是；（2）的度数：，，，.
【解析】
（1）设P（m，-m+6），连接OP．根据S四边形AOCP=S△AOP+S△OCP=，构建方程求出点P坐标，取OB的中点Q，连接QF，QP，求出FQ，PQ，根据PF≤PQ+QF求解即可．
（2）分四种情形：①如图2-1中，当RS=RB时，作OM⊥AC于M．②如图2-2中，当BS=BR时，③如图2-3中，当SR=SB时，④如图2-4中，当BR=BS时，分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）在中，当时，；
当时，﹒
∴，
设，连接OP
∴
∴
∴ ∴
取OB的中点Q，连接FQ，PQ
在中，当时，
∴ ∴
又∵点F是的中点，
∴
∵
所以PF的最大值是
（2）①如图2-1中，当RS=RB时，作OM⊥AC于M．
∵tan∠OAC==，
∴∠OAC=60°，
∵OC=OB=6，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵∠OM′S=∠BRS=90°，
∴OM′∥BR，
∴∠AOM′=∠OBC=45°，
∵∠AOM=30°，
∴α=45°-30°=15°．
②如图2-2中，当BS=BR时，易知∠BSR=22.5°，
∴∠SOM′=90°-22.5°=67.5°，
∴α=∠MOM′=180°-30°-67.5°=82.5°
③如图2-3中，当SR=SB时，α=180°-30°=150°．
④如图2-4中，当BR=BS时，α=150°+（90°-67.5°）=172.5°．
综上所述，满足条件的α的值为15°或82.5°或150°或172.5°．
本题属于一次函数综合题，考查了旋转变换，四边形的面积，最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26、 (1)证明见解析；(2)S△ADG=1+.
【解析】
（1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）利用正方形的性质在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2从而得出AM=DM=，在Rt△AMG中，AM2+GM2=AG2从而得出GM=即可．
【详解】
(1)解：如图1，延长EB交DG于点H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE
在△ADG与△ABE中，
∴△ADG≌△ABE(SAS)，
∴∠AGD=∠AEB，
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠AEB+∠ADG=90°，
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，
∴∠DHE=90°，
∴DG⊥BE.
(2)解：如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，
∠AMD=∠AMG=90°，
∵BD是正方形ABCD的对角，
∴∠MDA=45°
在Rt△AMD中，∵∠MDA=45°，AD=2，
∴AM=DM=，
在Rt△AMG中，
∵AM2+GM2=AG2，
∴GM=，
∵DG=DM+GM=，
∴S△ADG==1+.
此题考查了旋转的性质和正方形的性质，用到的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定，勾股定理和正方形的性质，关键是根据题意画出辅助线，构造直角三角形．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
平均数
众数
中位数
甲
______________
8
8
乙
______________
9
______________