广东省河源市东源县康禾中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省河源市东源县康禾中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共14页。

1．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如果x＞y，且ax＜ay，则一定有（ ）
A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤0
3．（3分）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村要使这个度假村到三条公路的距离相等，应修建在此三角形（ ）
A．三条高线的交点处
B．三条边的垂直平分线的交点处
C．三条中线的交点处
D．三条角平分线的交点处
4．（3分）下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
5．（3分）若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m≥2C．m＜2D．m＞2
6．（3分）在数轴上表示不等式组﹣1＜x≤2，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝16，CD⊥AB，垂足为D，则BD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
8．（3分）如图，将△ABC按逆时针方向旋转130°得到△AB′C，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
9．（3分）某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价，某团体需购买140张，其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍，则购买这两种票最少共需要（ ）
A．12120元B．12140元C．12160元D．12200元
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，D为垂足，DE交BC于点E，若BE＝15，则AC的长为（ ）
A．15B．15C．30D．30
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知x+y＝﹣2，xy＝4，则xy2+x2y＝ ．
12．（3分）如图，△OAB的顶点A的坐标为（3，），B的坐标为（4，0）；把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果D的坐标为（6，），那么OE的长为 ．
13．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝，则BD的长是 ．
14．（3分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（m+n）2014的值等于 ．
15．（3分）已知直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+m的交点坐标为（﹣1，6）．则关于x的不等式﹣2x+m＞kx+b的解集是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）分解因式：
（1）a3﹣6a2+9a；
（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
17．（8分）解下列不等式（组）：
（1）解不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组，并求出不等式组的所有整数解的和．
18．（8分）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）求证：∠PCD＝∠PDC；
（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题：
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；
（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标．
20．（9分）如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
21．（9分）某中学计划购买A型、B型两种型号的足球．已知购买8个A型足球和5个B型足球需用1100元，购买4个A型足球和6个B型足球需用760元．
（1）问每个A型足球和每个B型足球各多少元？
（2）若学校决定购买A型足球和B型足球共75个，总费用不超过5900元，则最多可购买A型足球多少个？
22．（12分）为了进一步提高企业的经济效益，某织布厂决定增加制衣项目．为此要将织布厂原有的100名工人分成两部分．一部分继续织布，一部分制衣．已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需用布1.5米．将布直接销售，每米布可获利2元；将布制成衣后销售，每件可获利25元．（若规定每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素）
（1）若一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，则安排多少名工人织布？
（2）当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大？最大利润为多少元？
23．（12分）如图，在等腰直角三角形中，∠ABC＝90°，E是线段BC上一动点，过点E作EF垂直AC于点F，延长FE交AB延长线于点D，连接AE，CD．
（1）如图1，若CD＝4，∠CAE＝30°，求线段AB的长；
（2）如图2，若AF＝2CF，连接BF，求证：BF+EF＝AC；
（3）如图3，若AB＝2，将△ABE沿直线AE翻折得到三角形△AB′E，将点C沿射线CA方向平移个单位长度后，再以点A为中心旋转180°得到点C′，连接C′B′，请直接写出当C'B'最大时，△CED的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
2． 解：∵x＞y，ax＜ay，
∴a＜0．
故选：B．
3． 解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴这个度假村为此三角形的角平分线的交点．
故选：D．
4． 解：A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），是因式分解，故此选项符合题意；
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1，等式右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
D．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1，等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
5． 解：∵不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，
∴m≤2．
故选：A．
6． 解：∵﹣1＜x≤2，
∴﹣1处是空心点，2处是实心点，且小于向左，大于向右．
故选：B．
7． 解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BC＝AB＝8，∠B＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝30°，
BD＝BC＝4，
故选：C．
8． 解：∵△ABC按逆时针方向旋转130°得到△AB′C，
∴BA＝B′A，∠BAB′＝∠CAC′＝130°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣130°）＝25°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝25°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠CAB′＝130°﹣25°＝105°．
故选：C．
9． 解：设票价为60元的票数为x张，票价为100元的票数为y张，故
可得：x≤
由题意可知：x，y为正整数，故x＝46，y＝94，
∴购买这两种票最少需要60×46+100×94＝12160．
故选：C．
10． 解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝15，
∴∠EAB＝∠B＝22.5°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°，
∵∠C＝90°，
∴AC＝AE•sin45°＝15．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：xy2+x2y＝xy（y+x），
∵x+y＝﹣2，xy＝4，
∴原式＝4×（﹣2）＝﹣8．
故答案为：﹣8．
12． 解：∵点A的坐标为（3，），D的坐标为（6，），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，
∴AD＝BE＝6﹣3＝3，
∵B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴OE＝OB+BE＝7，
故答案为：7．
13． 解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD＝2CD＝2，
故答案为：2．
14． 解：解不等式2x﹣m＞n﹣1，得：x＞，
∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，
∴＝﹣1，
∴m+n＝﹣1，
则（m+n）2014＝（﹣1）2014＝1．
故答案为：1．
15． 解：如图所示，直线y＝kx+b与直线y＝﹣2x+m的交点坐标为（﹣1，6），
∴关于x的不等式﹣2x+m＞kx+b的解集是x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）a3﹣6a2+9a
＝a（a2﹣6a+9）
＝a（a﹣3）2；
（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）
＝x2（x﹣3）﹣4（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣4）
＝（x﹣3）（x+2）（x﹣2）．
17． 解：（1），
2x﹣3（x﹣1）＞6，
2x﹣3x+3＞6，
﹣x＞3，
x＜﹣3，
数轴上表示解集如图，
（2）
解不等式①得，x≥﹣1，
解不等式②得，x＜4，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4，
∴整数解是﹣1，0，1，2，3，
∴它们的和为﹣1+0+1+2+3＝5．
18． 解：（1）∠PCD＝∠PDC．
理由：∵OP是∠AOB的平分线，
且PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC；
（2）OP是CD的垂直平分线．
理由：∵∠OCP＝∠ODP＝90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD，
由PC＝PD，OC＝OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，
从而OP是线段CD的垂直平分线．
19． 解：（1）△A1B1C1如图所示．
点A1（3，﹣3），B1（4，﹣1）．
（2）△A2B2C2如图所示．
（3）如图，点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为（5，0）．
20． （1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△BDE与△CDF中，
∵，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形的等边三角形），
∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°；
又∵DE⊥AB（已知），
∴∠EDB＝30°，
在直角△BED中，BD＝2BE＝2（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长＝3BC＝12．
21． 解：（1）设每个A型足球为x元，每个B型足球y元，
由题意得：，
解得：，
答：每个A型足球100元，每个B型足球60元；
（2）设购买A型足球m个，则购买B型足球（75﹣m）个，
由题意得：100m+60（75﹣m）≤5900，
解得：m≤35，
答：最多可购买A型足球35个．
22． 解：（1）设安排x名工人织布，则安排（100﹣x）名工人制衣，
由题意可得，2[30x﹣4（100﹣x）×1.5]＝1320，
解得x＝35，
答：安排35名工人织布；
（2）设安排m名工人制衣，总利润为W元，
由题意可得，W＝2[30（100﹣m）﹣4m×1.5]+25×4m＝28m+6000，
∴W随m的增大而增大，
∵，
解得0≤m≤83，
∵m为整数，
∴当m＝83时，W取得最大值，此时W＝28×83+6000＝8324，
答：当安排83名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大，最大利润为8324元．
23． （1）解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝45°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠CAB＝90°﹣45°＝45°，
同理可得，
∠DEB＝45°，
∴∠ADF＝∠DEB，
∴BE＝BD，
∵∠ABC＝∠DBC＝90°，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD＝4，
∵∠AFE＝90°，∠CAE＝30°，
∴EF＝AE＝2，AF＝AE＝2，
∴CF＝EF＝2，
∴AC＝AF+CF＝2，
∴AB＝AC＝；
（2）证明：如图1，
作FG⊥AB于G，作FH⊥CB于H，
∴∠FGB＝∠FHB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形FGBH是矩形，
∴BG＝FH，
设EF＝CF＝x，则AF＝2x，
在Rt△AFG中，AF＝2x，∠CAB＝45°，
∴FG＝2x•sin45°＝x，
同理可得，
BG＝FH＝，
在Rt△BFG中，由勾股定理得，
BF＝＝x，
∴＝＝3x＝AC；
（3）解：如图2，
∵AC＝AB＝2，
∴点C平移单位后在AC上，距离A点单位，
∴C′在CA的延长线上，
∵AB′＝AB＝2，
∴点B′在以A为圆心，半径为2的圆上运动，
∴当C′，A，B′共线时，C′B′最大，此时点B′与点F重合，
∴CF＝AC﹣AB′＝2，
在Rt△ADF中，AF＝2，∠CAB＝45°，
∴DF＝AF＝2，
同理可得，
EF＝CF＝2，
∴DE＝DF﹣EF＝2﹣（2）＝4﹣2，
∴S△CED＝＝6．