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第03讲+等比数列及其前n项和（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考）
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这是一份第03讲+等比数列及其前n项和（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考），文件包含第03讲等比数列及其前n项和练习原卷版docx、第03讲等比数列及其前n项和练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第03讲 等比数列及其前n项和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（ ）
A．400B．500C．600D．800
【答案】C
【解析】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，
设第一个音为，所以，故，
因为，所以.
故选：C
2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
所以，
解得.
，，解得.
故选：D
3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】由 得，所以，或（舍去），
由，得，所以，
由，得，所以，即n的最小值为9；
故选：C.
4．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列中，，，则（ ）
A．3B．6C．9D．18
【答案】B
【解析】因为，，所以，解得，则．
故选：B
5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列满足，则（ ）
A．40B．81C．121D．156
【答案】C
【解析】设公比为，
由可得，，
因为，所以，因为，解得，
所以，所以.
故选：C.
6．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足，，数列的前项积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为数列满足a1＝，an+1＝2an，易知，
所以为常数，又，
所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，
故选：C．
7．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【解析】由可得，又，
故，则，解得，即.
故选：D
8．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为正项等比数列满足，设其公比为，则，，
所以，得，解得，
因为，所以，则，即，故，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
9．（多选题）（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则，
，故A错误；，故B正确；
，，则，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
10．（多选题）（2023·湖北武汉·统考三模）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
【答案】BD
【解析】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,
显然当才相等，故A错误，
而，作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或所以 或，故C错误；
由题意得各项均不为0，而实数范围内，，
即且，结合选项B的计算可得，故D正确.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由题意可得：，
即，且，
所以数列是以首项，公比的等比数列，则，
可得，
当时，，且满足上式，
故，
可得，即数列是以首项，公比的等比数列，
可得，
综上可得：，，，.
故B、C正确，A、D错误.
故选：BC.
12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A．B．当时，最小
C．当时，最小D．存在，使得
【答案】AC
【解析】对于A，∵，，∴，又，，
∴，故A正确；
对于B，C，等比数列满足，公比，，
， ， ， 为递增数列，
由等比数列的性质，，
又，，
，，
∵，，
，∴，
∵，，，∴，，
，即，
为递增数列，故当时，最小，故B错误，C正确；
对于D，当时，，为递增数列，，
故D错误.
故选：AC
13．（2023·河北·校联考三模）若数列为等比数列，则_______．
【答案】4
【解析】由题意得，，解得，，
故.
故答案为：4
14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为__________.
【答案】7
【解析】由的公比为 ，所以 ，令，由于，所以成立的的最小值为7，
故答案为：7
15．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）数列满足下列条件：，且，恒有，则______．
【答案】
【解析】，
，
故答案为：．
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，当时，是线段的中点，点在所有的线段上，则_________.
【答案】
【解析】不妨设点、，设点，
则数列满足，，，
所以，，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，
当时，
，
也满足，故对任意的，.
所以，.
故答案为：.
17．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选①，因为，
当时，，两式相减得，
当时，，即，
又，所以，
故也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故；
若选②，因为，
所以
，故.
（2）由（1）知，
则，①
，②
两式相减得
，
故.
18．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求和.
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，成等比数列，
所以，即，
得，
解得或（舍），
所以，
所以，
.
（2）由（1）得，，
所以.
19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列和满足：，，（为常数，且）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若当和时，数列的前n项和取得最大值，求的表达式．
【解析】（1）因为，即，
所以，而，
所以，即，即数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，所以．
因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，
即，解得．
所以．
经检验，当时，，当时，，所以先增后减，
在和时取得最大值，符合题意．
此时．
20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．
(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；
(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．
【解析】（1）由题意，取，可得公比，则，
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则.
（2）由{}单调递增，
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故；
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故.
综上，.
21．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
【解析】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
②-①得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
因为等差数列满足.所以.
设公差为，则，解得.
所以.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2）若选①，则有.
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为
所以当时，对应的，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时为整数，满足题意；
当时，对应的，
由二项展开式可知
所以除以3 的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
22．（2023·广东·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.
(1)求证为等比数列；
(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
【解析】（1）因为的等差中项为，所以，
因为时，，则，所以，
由得，
又，两式相减得，即，
所以有，所以，
所以是等比数列，其首项为，公比为2.
（2）由（1）知，所以，所以，
因为，所以，
又，
所以，所以.
1．（2022•乙卷（文））已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14B．12C．6D．3
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．
前3项和为，，
，，
则，
故选：．
2．（2021•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，，则
A．7B．8C．9D．10
【答案】
【解析】为等比数列的前项和，，，
由等比数列的性质，可知，，成等比数列，
，2，成等比数列，
，解得．
故选：．
3．（2021•甲卷（理））等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
，
则，
，
若是递增数列，
，
则，，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：．
4．（2020•新课标Ⅰ）设是等比数列，且，，则
A．12B．24C．30D．32
【答案】
【解析】是等比数列，且，
则，即，
，
故选：．
5．（2020•新课标Ⅱ）记为等比数列的前项和．若，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
6．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8C．4D．2
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
则由前4项和为15，且，有
，，
．
故选：．
7．（2023•乙卷（理））已知为等比数列，，，则 ．
【答案】．
【解析】等比数列，
，解得，
而，可得，
即，
．
故答案为：．
8．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则 ．
【答案】189．
【解析】等比数列的首项为3，公比为2，
．
故答案为：189．
9．（2023•甲卷（理））记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】．
【解析】等比数列中，，
则，
所以，
解得．
故答案为：．
10．（2019•新课标Ⅰ）记为等比数列的前项和．若，，则 ．
【答案】．
【解析】在等比数列中，由，得，
即，，
则，
故答案为：
11．（2019•新课标Ⅰ）设为等比数列的前项和．若，，则 ．
【答案】．
【解析】等比数列的前项和，，，
，，
整理可得，，
解可得，，
则．
故答案为：
12．（2020•北京）已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得；
②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得．
（Ⅰ）若，2，，判断数列是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列．
【解析】（Ⅰ）不满足，理由：，不存在一项使得．
（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，
理由：对于任意的和，满足，因为，且，所以，则必存在，此时，且满足，性质①成立，
对于任意的，欲满足，满足即可，因为，，且，
所以可表示所有正整数，所以必有一组，使，即满足，性质②成立．
（Ⅲ）首先，先证明数列恒正或恒负，
反证法：假设这个递增数列先负后正，
那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小，
如仅有一项绝对值最小，此时必有一项，此时
与前提矛盾，
如有两项与 同时取得绝对值最小值，那么必有，
此时，与前提条件矛盾，
所以数列必然恒正或恒负，
在数列恒正的情况下，由②知，存在，且，
因为是递增数列，，使得，
即，所以，此时，，成等比数列，
数学归纳法：
（1）已证时，满足是等比数列，公比，
（2）假设时，也满足是等比数列，公比，
那么由①知等于数列的某一项，证明这一项为即可，
反证法：
假设这一项不是，因为是递增数列，所以该项，
那么，由等比数列得，第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第03讲 等比数列及其前n项和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（ ）
A．400B．500C．600D．800
【答案】C
【解析】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，
设第一个音为，所以，故，
因为，所以.
故选：C
2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
所以，
解得.
，，解得.
故选：D
3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】由 得，所以，或（舍去），
由，得，所以，
由，得，所以，即n的最小值为9；
故选：C.
4．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列中，，，则（ ）
A．3B．6C．9D．18
【答案】B
【解析】因为，，所以，解得，则．
故选：B
5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列满足，则（ ）
A．40B．81C．121D．156
【答案】C
【解析】设公比为，
由可得，，
因为，所以，因为，解得，
所以，所以.
故选：C.
6．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足，，数列的前项积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为数列满足a1＝，an+1＝2an，易知，
所以为常数，又，
所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，
故选：C．
7．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【解析】由可得，又，
故，则，解得，即.
故选：D
8．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为正项等比数列满足，设其公比为，则，，
所以，得，解得，
因为，所以，则，即，故，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
9．（多选题）（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则，
，故A错误；，故B正确；
，，则，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
10．（多选题）（2023·湖北武汉·统考三模）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
【答案】BD
【解析】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,
显然当才相等，故A错误，
而，作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或所以 或，故C错误；
由题意得各项均不为0，而实数范围内，，
即且，结合选项B的计算可得，故D正确.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由题意可得：，
即，且，
所以数列是以首项，公比的等比数列，则，
可得，
当时，，且满足上式，
故，
可得，即数列是以首项，公比的等比数列，
可得，
综上可得：，，，.
故B、C正确，A、D错误.
故选：BC.
12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A．B．当时，最小
C．当时，最小D．存在，使得
【答案】AC
【解析】对于A，∵，，∴，又，，
∴，故A正确；
对于B，C，等比数列满足，公比，，
， ， ， 为递增数列，
由等比数列的性质，，
又，，
，，
∵，，
，∴，
∵，，，∴，，
，即，
为递增数列，故当时，最小，故B错误，C正确；
对于D，当时，，为递增数列，，
故D错误.
故选：AC
13．（2023·河北·校联考三模）若数列为等比数列，则_______．
【答案】4
【解析】由题意得，，解得，，
故.
故答案为：4
14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为__________.
【答案】7
【解析】由的公比为 ，所以 ，令，由于，所以成立的的最小值为7，
故答案为：7
15．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）数列满足下列条件：，且，恒有，则______．
【答案】
【解析】，
，
故答案为：．
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，当时，是线段的中点，点在所有的线段上，则_________.
【答案】
【解析】不妨设点、，设点，
则数列满足，，，
所以，，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，
当时，
，
也满足，故对任意的，.
所以，.
故答案为：.
17．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选①，因为，
当时，，两式相减得，
当时，，即，
又，所以，
故也满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故；
若选②，因为，
所以
，故.
（2）由（1）知，
则，①
，②
两式相减得
，
故.
18．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求和.
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，成等比数列，
所以，即，
得，
解得或（舍），
所以，
所以，
.
（2）由（1）得，，
所以.
19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列和满足：，，（为常数，且）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若当和时，数列的前n项和取得最大值，求的表达式．
【解析】（1）因为，即，
所以，而，
所以，即，即数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，所以．
因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，
即，解得．
所以．
经检验，当时，，当时，，所以先增后减，
在和时取得最大值，符合题意．
此时．
20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．
(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；
(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．
【解析】（1）由题意，取，可得公比，则，
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则.
（2）由{}单调递增，
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故；
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故.
综上，.
21．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
【解析】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
②-①得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
因为等差数列满足.所以.
设公差为，则，解得.
所以.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2）若选①，则有.
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为
所以当时，对应的，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时为整数，满足题意；
当时，对应的，
由二项展开式可知
所以除以3 的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
22．（2023·广东·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.
(1)求证为等比数列；
(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
【解析】（1）因为的等差中项为，所以，
因为时，，则，所以，
由得，
又，两式相减得，即，
所以有，所以，
所以是等比数列，其首项为，公比为2.
（2）由（1）知，所以，所以，
因为，所以，
又，
所以，所以.
1．（2022•乙卷（文））已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14B．12C．6D．3
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．
前3项和为，，
，，
则，
故选：．
2．（2021•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，，则
A．7B．8C．9D．10
【答案】
【解析】为等比数列的前项和，，，
由等比数列的性质，可知，，成等比数列，
，2，成等比数列，
，解得．
故选：．
3．（2021•甲卷（理））等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
，
则，
，
若是递增数列，
，
则，，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：．
4．（2020•新课标Ⅰ）设是等比数列，且，，则
A．12B．24C．30D．32
【答案】
【解析】是等比数列，且，
则，即，
，
故选：．
5．（2020•新课标Ⅱ）记为等比数列的前项和．若，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
6．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8C．4D．2
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
则由前4项和为15，且，有
，，
．
故选：．
7．（2023•乙卷（理））已知为等比数列，，，则 ．
【答案】．
【解析】等比数列，
，解得，
而，可得，
即，
．
故答案为：．
8．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前项和为，则 ．
【答案】189．
【解析】等比数列的首项为3，公比为2，
．
故答案为：189．
9．（2023•甲卷（理））记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】．
【解析】等比数列中，，
则，
所以，
解得．
故答案为：．
10．（2019•新课标Ⅰ）记为等比数列的前项和．若，，则 ．
【答案】．
【解析】在等比数列中，由，得，
即，，
则，
故答案为：
11．（2019•新课标Ⅰ）设为等比数列的前项和．若，，则 ．
【答案】．
【解析】等比数列的前项和，，，
，，
整理可得，，
解可得，，
则．
故答案为：
12．（2020•北京）已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得；
②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得．
（Ⅰ）若，2，，判断数列是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列．
【解析】（Ⅰ）不满足，理由：，不存在一项使得．
（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，
理由：对于任意的和，满足，因为，且，所以，则必存在，此时，且满足，性质①成立，
对于任意的，欲满足，满足即可，因为，，且，
所以可表示所有正整数，所以必有一组，使，即满足，性质②成立．
（Ⅲ）首先，先证明数列恒正或恒负，
反证法：假设这个递增数列先负后正，
那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小，
如仅有一项绝对值最小，此时必有一项，此时
与前提矛盾，
如有两项与 同时取得绝对值最小值，那么必有，
此时，与前提条件矛盾，
所以数列必然恒正或恒负，
在数列恒正的情况下，由②知，存在，且，
因为是递增数列，，使得，
即，所以，此时，，成等比数列，
数学归纳法：
（1）已证时，满足是等比数列，公比，
（2）假设时，也满足是等比数列，公比，
那么由①知等于数列的某一项，证明这一项为即可，
反证法：
假设这一项不是，因为是递增数列，所以该项，
那么，由等比数列得，第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8
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