高中数学高考2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

这是一份高中数学高考2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示，共20页。试卷主要包含了平面向量基本定理，平面向量共线的坐标表示，已知A，B，C等内容，欢迎下载使用。
第2讲　平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲
考向预测
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
命题趋势
平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.
核心素养
数学运算


1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．向量共线的充要条件的两种形式
(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；
(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
常见误区
1．平面向量的基底中一定不含零向量．
2．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的坐标是指向量的终点坐标减去起点坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：选A.方法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A.
3．(易错题)(多选)已知向量a，b是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是(　　)
A．若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线
B．若a与b共线，则存在实数λ，使得b＝λa
C．若a与b不共线，则对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb
D．若对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不共线
解析：选ACD.对于A，若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线，所以A正确．对于B，若a与b共线，则不一定存在实数λ，使得b＝λa，如b＝(1，0)，a＝(0，0)时不满足，所以B错误．对于C，根据平面向量的基本定理知，a与b作为基底，则对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，所以C正确．对于D，根据平面向量的基本定理知，对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不共线，所以D正确．故选ACD.
4．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案：(1，5)
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________．
解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，
所以＝－.
答案：－


　　　　　　平面向量基本定理的应用
(1)(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)
A.＋　　　　 B．－
C.＋ D．＋
(2)(2021·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．

【解析】　(1)

如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋×＝＋.故选AC.
(2)由题图可设＝x(x＞0)，则＝x(＋)＝x＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.
【答案】　(1)AC　(2)

运算遵法则　基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　

1．(一题多解)(2020·长沙市四校模拟考试)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b B．a＋b
C.a＋b D．a＋b
解析：选D.

方法一：如图所示，取BC的中点F，连接AF，因为BC＝2AD，所以AD＝CF，又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，所以＝.因为DE＝EC，所以＝＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选D.
方法二：

如图，连接BD，因为DE＝EC.所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋ ＋)＝＋＝a＋b，故选D.
2．已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：依题意，设＝λ(0