07 第27讲　余弦定理、正弦定理(A) 【答案】作业高考数学练习

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2.C [解析] 在△ABC中,由余弦定理可得,cs∠CAB=AB2+AC2-BC22·AB·AC=25+81-492×5×9=1930,又csπ4=22>1930,csπ3=120),则a2+b2=25t2=c2,所以AC⊥BC,所以△ABC是直角三角形.故选B.
4.D [解析] 由(a+b)(sin A-sin B)=(b+c)sin C,根据正弦定理可得(a+b)(a-b)=(b+c)c,化简得b2+c2-a2=-bc,所以cs A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,又因为A∈(0,π),所以A=2π3.设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得2R=asinA=732=1433,所以△ABC外接圆的直径为1433.
5.3 [解析] 在△ABC中,∵cs C=45,∴sin C=35,∴S△ABC=12absin C=12×2×5×35=3.
6.57 [解析] 在△ABC中,cs A=35,则sin A=45,故sin C=sin(A+B)=sin Acs 45°+cs Asin 45°
=45×22+35×22=7210,故由正弦定理得b=csinBsinC=1×227210=57.
7.A [解析] 因为bcs C-ccs B=a,所以sin Bcs C-cs Bsin C=sin A,又sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C,所以sin Bcs C-cs Bsin C=sin Bcs C+
cs Bsin C,所以cs Bsin C=0.因为C∈(0,π),所以sin C>0,所以cs B=0,又B∈(0,π),所以B=π2,从而A+C=π2,又A=2C,所以C=π6.故选A.
8.C [解析] ∵2cs B(acs C+ccs A)=b,∴根据正弦定理得,2cs B(sin Acs C+cs Asin C)
=sin B,∴2cs Bsin(A+C)=sin B,∴2cs Bsin(π-B)=sin B,即2cs Bsin B=sin B.∵B∈(0,π),
∴sin B≠0,∴cs B=12,∴B=π3.∵lg sin C=12lg 3-lg 2,∴lg sin C=lg 32,∴sin C=32.∵C∈(0,π),∴C=π3或2π3.∵B=π3,∴C≠2π3,∴C=π3,∴A=B=C=π3,即△ABC为等边三角形.
9.B [解析] 如图,由题意可知AD=22,CD=2,设∠ADC=θ,在△ADC中,由正弦定理得ACsinθ=CDsin∠DAC,所以ACsin∠DAC=CDsin θ=2sin θ,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·
CDcs θ=12-82cs θ.在△ADB中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcs∠DAB=
AC2+AD2-2AC·ADcsπ2+∠DAC=12-82cs θ+8+42ACsin∠DAC=20-82cs θ+
82sin θ=20+16sinθ-π4≤36,则BD的最大值为6.故选B.
10.CD [解析] 由已知得c=AB=5,b=AC=17,a=BC=10,所以c0,所以cs A=12,
又A∈(0,π),所以A=π3.
(2)由asinA=bsinB=csinC,得b+c=asinA(sin B+sin C)=43sinB+sin2π3-B=43sinB+sin2π3csB-cs2π3sinB=43sinB+32csB+12sinB=1232sinB+12csB=12sinB+π6.
因为△ABC为锐角三角形,且A=π3,所以0