安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期竞赛培训与实验班训练数学（一）试卷（Word版附解析）

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1. 已知为虚数单位，复数满足，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若，，则
D. 若，则
3. 给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 已知四面体是的重心，若，则（ ）
A. 4B. C. D.
5. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D.
6. 已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称．若实数满足ft2−2t+f−3>0，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，有下列四个结论：①函数的图象关于原点对称；②为函数的周期；③的值域为；④设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2．则正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角余弦值为
C.
D. 在上的投影向量的模为
10. 在中，，，，则（ ）
A. B. 的面积为
C. 外接圆直径是D. 内切圆半径是
11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）

A. 存在点使得
B. 若点满足，则动点的轨迹长度为
C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知事件与相互独立，，，则______．
13. 已知，且，则的最小值为_________.
14. 中，角所对边分别为，记的面积为．
（1）当时，______；
（2）最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，在中，已知，，，边上的中线，相交于点P．
（1）求；
（2）若，求的余弦值，
16. 如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点（与在同一平面内）满足，，.

（1）求；
（2）若的面积为2，求线段的长.
17. 某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分．甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响．已知第一题至少一人答对的概率为．
（1）求的值；
（2）求甲、乙得分之和为30分概率．
18. 已知是定义域上的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）判断并用定义证明在区间上的单调性；
（3）设函数，若对任意的，，求实数的最小值.
19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.

（1）证明：；
（2）证明：平面；
（3）若，，记与平面所成角为，求的最大值.