安徽省示范高中培优联盟22023-2024学年高一下学期春季联赛数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1.答题前、务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.
2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法即可得到，再利用交集含义即可.
【详解】由 ，
，
则，
故选：C.
2. 不等式的解集为（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可.
【详解】不等式，即，等价于，解得或，
所以原不等式的解集为或.
故选：A
3. 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”，如图所示，作“大斜”上的高，则，现已知中，“小斜”，“中斜”，“大斜”，则“高”=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设大斜边上的高为，根据题意给的面积公式和，建立关于h的方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，，
又小斜，大斜，中斜，
所以，
设大斜边上的高为，则，
所以，解得，
即大斜边上的高为.
故选：A
4. 设与是两个向量，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据，得，根据，得，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由得，则，
由得，则，则，
故是的既不充分也不必要条件，
故选：D.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的单调性判断，根据的单调性判断，进而得到答案.
【详解】因为在第一象限为增函数，，所以，
因为在第一象限为增函数，，所以，
所以，
故选：B.
6. 定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案.
【详解】关于的方程可化简为，
即有7个不同的根，画出的图象，

观察可以看出当有4个不同的根，
故只需有3个不同的根即可，所以.
故选：A.
7. 设向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简得到，再由及二倍角公式计算可得.
【详解】因为，，
所以，
，
所以，
则
.
故选：D
8. 已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】首先得到的单调性和奇偶性，从而得到其反函数的奇偶性和单调性，最后根据的单调性和对称性即可得到答案.
【详解】因为，
且函数的定义域为，则为奇函数，
因为均为上的单调增函数，则也为上的增函数，
根据函数与反函数关于直线对称，
则函数的反函数也为定义域上的奇函数、增函数，
故在上单调递增，且的关于点对称，
因，则，
即其最大值与最小值之和为.
故选：A.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 以下运算中正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对数运算判断A；根据根式性质以及指数运算判断B；指数和对数的运算判断C；对数的运算性质和换底公式判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确，
故选：ACD.
10. 下面结论正确的有（ ）
A. 若，为锐角三角形的两内角，则有
B.
C. ，
D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦函数单调性及诱导公式判断A，利用诱导公式及两角和正弦公式判断B，利用和差角公式及同角三角函数的基本关系判断C、D.
【详解】对于A：依题意可得，则，
又在上单调递增，所以，即，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：
，故C正确；
对于D：因为，
又，
所以，故D错误.
故选：AC
11. 若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间是，
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 若当时，，则
D. 若在上恰有3个零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象求出的解析式，求出，根据三角函数的单调性求出单调递增区间判断A；代入验证是否为对称轴判断B；当时，利用周期得，结合图象得，求出的取值范围，判断C；根据图象变换求出，根据在上恰有3个零点，结合图象，得到取值范围，判断D.
【详解】的最小正周期为，由题图可得，所以，
，，得，又，所以，
所以，
对于A，，由，，
解得，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，利用周期得，，结合函数图象，可知，
若，，解得，故C正确，
对于D，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,
再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，
故.
当时，
因为在上恰有3个零点，所以，得号，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数中参数的确定：由函数的最值可确定的值；由函数与轴交点的横坐标及最高、最低点的横坐标可得最小正周期，进而可求得的值；由函数图象与轴交点的坐标或最高、最低点的坐标可得的值．函数的单调性利用换元法可解决.
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题为选考题，请考生任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分.）
12. 已知实数x满足，则______.
【答案】7
【解析】
【分析】首先求出范围，方程化简得，再利用基本不等式链即可得到答案.
【详解】，故，方程化简得，
由基本不等式可知，
当且仅当时，即时等号成立；
则方程的解为.
故答案为：7.
13. 在边长为2的正中，动点P在以C为圆心且与AB边相切的圆上，满足.则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】建系设点，，，，用坐标表示，求出，借助三角函数求取值范围.
【详解】
如图，以为坐标原建立平面直角坐标系，
不妨设点，，，，
因为，所以，
即，，
因为，
所以的取值范围是，
故答案为：.
14. 在四面体ABCD中，，面BCD，底面三角形BCD为直角三角形，.若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】依题意，该四面体为正方体的一部分，所以外接球为正方体的外接球，结合过M、N两点作球O的截面为圆面，求出半径即得答案.
【详解】
由面BCD，，所以该四面体四个面都是直角三角形，
则球O为该四面体还原成正方体的外接球，
故球心O为AC的中点，且球的半径.
过球心作，垂足为，其中，
，，又直角三角形，
所以，
经过两点的球的截面面积的最小时，
面，又截面为圆面，则圆面对应半径，
此时截面的面积为，
故答案为：.
15. 某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解.
【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为：
甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，
即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题，
又每位顾客答对2题的概率为，
每位顾客答对3题的概率为，
所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为：
.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. 如图所示，在单位圆中，，已知角的终边与单位圆交于点，作，垂足为点M，作交角的终边于点T.
（1）请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式（仅用含的式子表示）；
（2）请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据二倍角的余弦和正弦公式展开即可；
（2）利用即可证明.
【小问1详解】
【小问2详解】
证明，即证,
根据 ，，，，
因为，
则，即，所以原不等式成立.
17. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：，
（1）求b和角B；
（2）求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）对由正弦定理边化角，化简求出，即得角B，对由正弦定理边化角，化简求得；
（2）由（1）得，借助与正弦定理边化角以及三角恒等变换得，结合角A范围，求出的取值范围.
【小问1详解】
由得，即，
，即，
因为，所以，解得，
因为，所以，
由得，即，
解得或（舍），
故，.
【小问2详解】
，
因为为锐角三角形，所以，即，解得，
所以，则，
解得，即的取值范围为
18. 如图，在矩形中，，，，，直线与垂直，垂足为点.

（1）求的值；
（2）若，将用基底线性表示，并求出的最大值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）依题意，根据数量积的运算律计算可得；
（2）根据、、三点共线，设，即可得到，同理可得，根据平面向量基本定理得到方程组，求出、，即可得到，再表示出，换元，利用函数的性质求出的最大值.
【小问1详解】
因为直线与垂直，所以，
即
，因为，所以，则.
【小问2详解】
因为、、三点共线，设，
即，
同理，因为、、三点共线，设，
即，
又、不共线，
所以，解得，
所以，
又，，所以，
所以
，
设，因为，所以，则，
当，即时，
当时，
所以当，即时取得最大值.
（选考题）（17分）（请考生从18-1，18-2两题中任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分.）
【选考人教版——立体几何】
19. 如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图.

（1）求四面体外接球的体积；
（2）求证：平面平面；
（3）若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接、，根据矩形的性质可知四面体外接球的半径，即可求出外接球的体积；
（2）依题意，，即可得到平面，从而得证；
（3）过点作交于点，连接，即可证明平面，再假设平面，即可得到平面平面，由面面平行的性质得到，推出矛盾，即可得解.
【小问1详解】
取的中点，连接、，因为四边形是矩形，
所以，
所以四面体外接球的半径，
所以四面体外接球的体积；
【小问2详解】
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
【小问3详解】
因为，所以，所以
即，
在中，，所以，
过点作交于点，连接，
易知，且，平面，平面，所以平面，
假设平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，
又点为棱的中点，所以点为线段的中点，
事实上，而，
所以，即点不是线段的中点，
故假设不成立，所以在将沿翻折过程中，直线不能平行于面.

【选考北师大版——统计和概率】
20. 手机在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用手机会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：

（1）请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替）；
（2）请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率；
（3）现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评.
方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，获得好评的概率为；
方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，获得好评的概率为；
假设获得好评的概率大的方案较好，请比较上述两种方案哪种更好，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）方案一较好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；
（2）根据频率分布直方图求出年龄位于区间的频率，即可得解；
（3）首先求出年龄位于区间和中抽取的人数，再用列举法列出所有可能结果，由古典概型的概率公式求出概率，即可判断.
【小问1详解】
这位市民的平均年龄为：
，
即这位市民的平均年龄约为；
【小问2详解】
这位市民的年龄位于区间的频率为，
故估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率为；
【小问3详解】
参与调查的为市民中年龄在区间内的人数为，
年龄在区间内的人数为，
按照分层抽样的方法抽取人，则年龄在区间内的应抽取人，
设为，，，；
年龄在区间内的应抽取人，设为，；
方案一：从人中按照不放回抽样抽取人，所有可能出现的情况如下：
，，，，，，，，，
，，，，，，共种；
则人的年龄差大于的有，，，，，，，，共种；
故获得好评的概率为；
方案二：从人中按照有放回抽样抽取人，所有可能出现情况如下：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共种；
则人的年龄差大于的有，，，，，，，
，，，，，，，，，共种；
故获得好评的概率为；
因为，因此方案一较好.
21. 已知函数.
（1）若，，设函数，请求出的值域并求证：；
（2）若，，，记，且是一个三角形的三条边长，请写出方程的所有正整数解的集合；
（3）若是一个等腰钝角三角形的三条边长且为最长边，求证：在时恒成立.
【答案】（1）当时，的值域是；当且时，的值域是，的证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接代入得，再利用基本不等式即可求出值域，再结合完全平方式之间关系即可证明；
（2）首先计算出，再根据三角形特点得到不等式组，最后化简原方程得，根据最大列举所有情况即可；
（3）由已知有，且，然后根据对数函数单调性并结合余弦定理即可.
【小问1详解】
由，，知，故.
从而.
当时，有，所以的值域是；
当且时，有，
且对任意有，所以的值域是.
最后由可得.
【小问2详解】
据已知有，，.
因为是一个三角形的三条边长，所以.
故方程可化简得.
考虑到均为正整数，且是一个三角形的三条边长，且为最大边，
故方程的所有正整数解的集合为.
【小问3详解】
因为是一个钝角三角形的三条边长，且为最长边.
所以，且，故.
当时，由于，故有，.
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由已知得到，且，然后根据对数函数单调性并结合余弦定理证明结论.