2019-2020学年江苏省连云港市灌云县九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省连云港市灌云县九年级上学期数学期中试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2﹣y＝1B. x2+2x﹣3＝0
C. x2+＝3D. x﹣5y＝6
【答案】B
【解析】
试题解析：根据一元二次方程的定义可以判断选项B的方程是一元二次方程.
故选B.
2.⊙O的半径为4，OA的长为8，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点A在圆上B. 点A在圆外C. 点A在圆内D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来确定点与圆的位置关系，，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：半径r为4，，
，
点A在圆外
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
3.一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
【详解】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选A
【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
4.⊙O的半径为5，点A在直线l上.若OA=5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相交C. 相切或相交D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】
因为OA=5=半径，所以点A在圆O上，所以直线l与圆相交或相切.
【详解】解：∵⊙O的半径为5，OA=5，
∴点A在⊙O上，
又∵点A在直线l上，
∴直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.
故选C.
【点睛】本题考点：直线与圆的位置关系.
5.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题解析：
故选D.
6.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A. 100(1+x)=121B. 100(1-x)=121
C. 100(1+x)2=121D. 100(1-x)2=121
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×=增长后的数量.由题意，可列方程为：100(1+x)2=121，故答案为：C
考点：一元二次方程的应用
7. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选B．
8.如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD=9，BC=12，则⊙O的半径为（ ）
A. 5.5B. 6C. 7.5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，根据圆周角登录得到∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，根据三角形的内和得到∠ADC＝∠FDB，由角的和差得到∠ADF＝∠CDB，得到，求得AF＝BC＝12，然后由勾股定理即可得到结论．
【详解】连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，
∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，
∴∠ADC＝∠FDB，
∴∠ADF＝∠CDB，
∴，
∴AF＝BC＝12，
∵∠DAF＝90°，
∴DF＝＝=15，
∴⊙O的半径为7.5．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键.
二、填空题
9.写出一个解为1和2的一元二次方程： ．
【答案】x2-3x+2=0．
【解析】
试题解析：∵1+2=3，1×2=2，
∴以1和2为根的一元二次方程可为x2-3x+2=0．
考点：根与系数的关系．
10.已知扇形的圆心角是150°，扇形半径是6，则扇形的弧长为_____．
【答案】5π
【解析】
【分析】
直接利用弧长公式计算．
【详解】解：扇形的弧长．
故答案为．
【点睛】本题考查了弧长公式：记住弧长公式弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为．
11.如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝_____°．
【答案】30
【解析】
【分析】
结合图形，根据三角形内角和定理可得∠OAC+∠AOB=∠ACB+∠OBC， 结合图形可得∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角即可.
【详解】∵∠AOB=40°∴∠ACB=20°
∵∠OAC+∠AOB=∠ACB+∠OBC，∠AOB=40° ，∠ACB=20°，∠OBC=50°
∴∠OAC=30°.
故答案为30°.
【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理及其推论，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理及其推论.
12.若m是方程2x2+3x﹣5＝0的根，则代数式2m2+3m+5的值是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：把m代入方程，得到，
所以．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把当成一个整体．利用了整体的思想．
13.正六边形ABCDEF的半径为4，则此正六边形的面积为_________．
【答案】
【解析】
如图，
由题意得
∠COD=360°÷ 6=60°，
又∵OC=OD，
∴ ∠GOD=30°，
∴Rt △DOG中：OD=4，GD= 4÷2 =2，
∴ ，CD=2GD=2×2=4，
∴△DOC的面积= ,
∴正六边形ABCDEF面积= .
点睛：本题考查圆的正多边形的计算．先由正多边形的性质求出∠COD=60°，利用等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理求出OG、CD的长，从而求出△DOC的面积，根据正六边形ABCDEF的面积等于△DOC的面积的6倍可求出正六边形的面积.
14.关于x的方程（m﹣3）+mx+1＝0是一元二次方程，则m为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有的次数是2，系数不为0，计算即可．
【详解】由题意可知：m2﹣2m+1＝2，
解得：m＝1±，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m=1±，
故答案为：1
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，特别注意二次项系数不能为0这个条件.
15.已知△ABC周长是24，面积是24，则其内切圆半径等于_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
连OA，OB，把三角形ABC分成三个三角形，用三个三角形的面积和表示三角形ABC面积进而求出即可．
【详解】解：如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．
连OA，OB，OC．
则，，，
．
，
解得：，
其内切圆半径等于2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．实际上利用若三角形的周长为l，它的内切圆的半径为r，则三角形的面积为得出是解题关键．
16.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE=2，BF=EG，DG>AE，则DI的最小值为________.

【答案】
【解析】
【分析】
过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF=∠MEG，所以再证明∠EPF=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=BE，由OD-OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值．
【详解】如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠D=∠DME=90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM=AD=AB，
∵BF=EG，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠EGM，
∵AB∥CD
∴∠MGE=∠BEG=∠AFB
∵∠ABF+∠AFB=90°
∴∠ABF+∠BEG=90°
∴∠EIF=90°，
∴BF⊥EG；
∵△EIB是直角三角形，
∴OI=BE，
∵AB=6，AE=2，
∴BE=6-2=4，OB=OE=2，
∵OD-OI≤DI，
∴当O、D、I共线时，DI有最小值，
∵IO=BE=2，
∴OD==2，
∴ID=2-2，即DI的最小值为2-2，
故答案为2-2.
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题．
三、解答题
17.解方程：
（1）x2﹣36＝0
（2）x（x﹣2）＝0
（3）x2+12x+27＝0
（4）x2﹣7x+12＝0（配方法）
【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣6；（2）x1＝0，x2＝2；（3）x1＝﹣3，x2＝﹣9；（4）x1＝3，x2＝4
【解析】
【分析】
（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用配方法求解即可，配方前一般把常数项移到等号的另一边且二次项系数化为1．
【详解】解：（1），
，
解得，；
（2），
或，
解得，；
（3），
，
或，
解得，；
（4）
，
,
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】（1）且；（2），
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得且，由此即可求得m的取值范围；（2）在（1）的条件下求得m的值，代入解方程即可.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且.
解得且.
的取值范围是且.
（2）在且的范围内，最大整数为.
此时，方程化为.
解得，.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
19.如图，点C，D分别在射线OA、OB上，求作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切．（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
⊙P与OA、OB、CD都相切．即圆心P到OA、OB、CD的距离相等，故点P在OA、OB、CD所在直线成角的平分线上，然后由交点到直线的距离为半径画圆即可．
【详解】解：如图，作∠DOC的平分线OM，∠ODC的平分线DN，OM交DN于点P1，作P1F⊥OD，以P1为圆心，P1F为半径作⊙P1即可；同法作出⊙P2．
，即为所求；
【点睛】本题考查作图复杂作图，三角形的内心、角平分线的定义、切线的判定和性质等知识，掌握三角形内心的定义及性质是解题的关键，属于中考常考题型．
20.在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在上，求∠E的度数．
【答案】125°
【解析】
【分析】
连接BD，先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD=180°-∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．
【详解】解：连接BD，
∵∠C+∠BAD=180°，
∴∠BAD=180°﹣110°=70°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=（180°﹣70°）=55°，
∵四边形ABDE为圆的内接四边形，
∴∠E+∠ABD=180°，
∴∠E=180°﹣55°=125°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
21.某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？
（1）设提价了元，则这种衬衫的售价为___________元，销售量为____________件.
（2）列方程完成本题的解答.
【答案】（1），；（2）（60＋x−50）（800−20x）＝12000，70，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；
（2）根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．
【详解】（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60＋x）元，
销售量为（800−x）＝（800−20x）件．
故答案为（60＋x）;（800−20x）．
（2）根据（1）得：
（60＋x−50）（800−20x）＝12000
整理，得x2−30x＋200＝0
解得：x1＝10，x2＝20．
为使顾客获得更多的优惠，
所以x＝10，60＋x＝70．
答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为70元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．
22. 如图，半圆O的直径AB为40，Ｃ，Ｄ是这个半圆的三等分点，求弦ＡＣ，ＡＤ和弧ＣＤ围成的阴影部分的面积．
【答案】cm2．
【解析】
试题分析：连接CO、OD，CD，根据条件证明CD∥AB，然后可得△OCD与△CDA面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积．
试题解析：连接CO、OD，CD，如图;
∵C、D是这个半圆的三等分点，
∴CD∥AB，∠CDO=60°，
∴∠CAD的度数为：30°，
∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，CD=OC=AB=20，
∴△OCD与△CDA是等底等高的三角形，
∴S阴影=S扇形OCD=π×202=cm2．
答：阴影部分的面积S是cm2．
考点：求阴影部分的面积．
23.如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．
（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴EA∥OD，
∵DE⊥EA，
∴DE⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线DE与⊙O相切．
（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：
作，垂足为F，如图2所示：
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了圆与直线相切的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
24.如图，点I是△ABC的内心，A的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．求证：IE＝BE＝CE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
连接BI，由三角形的内心的性质可得∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，由圆周角定理可得∠BAE＝∠CBE＝∠CAE＝∠BCE，可得BE＝CE，由外角的性质可得∠BIE＝∠IBE，IE＝BE，即可得结论；
【详解】证明：连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CBE＝∠CAE，∠BCE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠CBE＝∠CAE＝∠BCE，
∴BE＝CE
∵∠BIE＝∠ABI+∠BAE，∠IBE＝∠CBI+∠CBE，
∴∠BIE＝∠IBE，
∴IE＝BE，
∴IE＝BE＝CE；
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，涉及了三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，证明是解题关键．
25.如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动（不与点A，B重合）；同时点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动（不与点C、D重合），经过几秒，△PDQ为直角三角形？说明理由．
【答案】经过2s或s或s时，△DPQ为直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意分当∠DPQ＝90°时或当∠DQP＝90°时两种情况进一步分析讨论即可.
【详解】解：经过2s或s或s时，△DPQ为直角三角形，理由如下：
∵点P不与点A重合，
∴∠PDQ≠90°，
∴△DPQ为直角三角形分两种情况，设运动时间为x秒，
当∠DPQ＝90°时，△DPQ为直角三角形，
过点Q作QM⊥AB于M，如图所示：
则四边形BCQM为矩形，
∴AP＝3xcm，BM＝CQ＝2xcm，则PM＝（16﹣5x）cm，DQ＝（16﹣2x）cm，
∴（16﹣5x）2+62+（3x）2+62＝（16﹣2x）2，
解得：x1＝2，x2＝；
②当∠DQP＝90°时，AP+CQ＝16，
所以3x+2x＝16，
解得：x＝，
综上可知：经过2s或s或s时，△DPQ为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了四边形上的动点问题与直角三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
26.如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）判断四边形OCPD的形状并说明理由．
（2）求点P的坐标．
（3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值．
（4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）
【答案】（1）四边形OCPD为正方形，见解析；（2）P点坐标为(2，4)或(4，2)；（3）b的值为或；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质得OC⊥PC，PD⊥PD，加上PC⊥PD，则可判断四边形OCPD为矩形，然后利用OC＝OD可判断四边形OCPD为正方形；
（2）利用正方形的性质得，利用勾股定理建立方程，解方程即可得出结论；
（3）利用直线y1＝﹣x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3可得到直线y1＝kx+b与坐标的交点A和点B为⊙O与坐标的交点，然后讨论：当点A和点B都在坐标轴的正半轴上或当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，易得b的值为±；
（4）先确定A点和B点坐标，再判断△OAB为等腰直角三角形，则∠ABO＝45°，然后讨论：当圆移动到点O1时与直线AB相切，作O1M⊥AB，如图丙，根据切线的性质得O1M＝，利用等腰直角三角形的性质得求出O1与O'2的坐标，于是根据直线与圆的位置关系可得到⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．
【详解】解：（1）四边形OCPD为正方形．
理由如下：连接OC、OD，易知OC⊥PC，OD⊥PD，
又PC⊥PD，
∴四边形OCPD为矩形，
又OC＝OD，
∴四边形OCPD为正方形．
（2）连接OP，
为正方形，
，
在直线上，
设，
由得：，
解得：或．
点坐标为或．
（3）平移后的新直线A′B′交圆于A′B′，分得的两段弧长之比为1：3，
分得的劣弧是圆周的，
直线AB与x轴夹角为，，
，
当为圆周时，直线与坐标轴的交点恰好是与坐标轴的交点，
当AB平移到位置时，；
当AB平移到位置时，，
的值为或．
（4）如图，⊙O沿x轴向右平移过程中分别在⊙O1处，⊙O2处与直线y＝﹣x+6相切，
则圆在O落在O1，O2之间均满足题意，
在处相切时，为等腰直角三角形，
，．
，同理，在处相切时，，
，
当与直线有交点时，圆心O的横坐标m的取值范围为．
【点睛】此题是圆的综合题：涉及了正方形的判定、切线的性质和圆心角、弧、弦的关系；理解坐标与图形的性质，理解一次函数图象上点的坐标特征；会运用分类讨论的思想解决数学问题．