2024-2025学年山西省灵石县数学九上开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年山西省灵石县数学九上开学学业水平测试试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若正比例函数的图像经过第一、三象限，则的值可以是（ ）
A．3B．0或1C．D．
2、（4分）在中，、分别是、边的中点，若，则的长是（ ）
A．9B．5C．6D．4
3、（4分）如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB：BC=2：1，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，若AB的长为4，则EF的长为（ ）
A．8-4B．2C．4 −6D．
4、（4分）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）等腰三角形的腰长为5cm,底边长为6cm,则该三角形的面积是（ ）
A．16B．C．32D．
6、（4分）下列代数式是分式的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）化简的结果是（ ）
A．2B．-4C．4D．±4
8、（4分）如图，函数和的图象相交于A(m，3),则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到……，第n次移动到，机器人移动第2018次即停止，则的面积是______．
10、（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E，则∠BOE的大小为______．
11、（4分）如图在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD，点F为DC中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确的有_____．
12、（4分）在一次射击训练中，某位选手五次射击的环数分别为6，9，8，8，9，则这位选手五次射击环数的方差为______．
13、（4分）若一组数据，,，，的众数是，则这组数据的方差是__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
15、（8分）（1）如图，在平行四边形中，过点作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 .
①求证：四边形 是平行四边形；
②已知，求的长.
（2）已知函数.
①若函数图象经过原点，求的值
②若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围
16、（8分）计算：(1) ； (2)
17、（10分）（2013年四川广安8分）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
（1）试写出y与x的函数关系式；
（2）商场有哪几种进货方案可供选择？
（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？
18、（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F，求证：四边形BEDF是平行四边形．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的周长为，其中斜边的长为2，则这个三角形的面积为_____________。
20、（4分）直线与轴的交点坐标___________
21、（4分）如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是_______.
22、（4分）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（0，1）和B（2，0）两点，则关于x的不等式ax+b＜1的解集是_____．
23、（4分）数据1、x、-1、2的平均数是，则这组数据的方差是_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）体育课上，甲、乙两个小组进行定点投篮对抗赛，每组10人，每人投10次．下表是甲组成绩统计表：
(1)请计算甲组平均每人投进个数；
(1)经统计，两组平均每人投进个数相同且乙组成的方差为3.1．若从成绩稳定性角度看，哪一组表现更好？
25、（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？
26、（12分） “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据正比例函数的性质可得k＞0，再根据k的取值范围可以确定答案．
【详解】
解：∵正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限，
∴k＞0，
故选：A．
此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
2、C
【解析】
根据三角形的中位线定理得出AB=2DE，把DE的值代入即可.
【详解】
解：∵D、E分别是BC、AC边的中点，
∴DE是△CAB的中位线，
∴AB=2DE=6.
故选C.
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记并灵活应用定理是解题的关键.
3、A
【解析】
由翻折的性质可知：BF=AB=4，AE=EF，设AE=EF=x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵AB=4，AB：BC=2：1，
∴BC=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
由翻折的性质可知：BF=AB=4，AE=EF，设AE=EF=x，
∴CF=,
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2=EF2,
∴(2-x)2+(4-2)2=x2,
x=8-4.
故选A.
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
4、D
【解析】
将一个图形沿着一条直线翻折后两侧能够完全重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身完全重合，这样的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案.
【详解】
A、是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，
故选：D.
此题考查轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，熟记定义并掌握图形的特点是解题的关键.
5、D
【解析】
作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．
【详解】
如图，作底边BC上的高AD，
则AB=5cm,BD=×6=3cm，
∴AD=，
∴三角形的面积为：×6×4=12cm .
故选D
此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键在于作出图形
6、D
【解析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式;
分母中含有字母，因此是分式.
故选：D.
考查分式的定义，掌握分式的定义是判断代数式是不是分式的前提.
7、C
【解析】
根据算术平方根的性质直接进行计算即可．
【详解】
=|-1|=1．
故选：C．
本题考查的是算术平方根的定义，把化为|-1|的形式是解答此题的关键．
8、C
【解析】
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，解得m=．
∴点A的坐标是（，3）．
∵当时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，
∴不等式2x＜ax+4的解集为．
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、504m2
【解析】
由OA =2n知OA = +1=1009，据此得出A A =1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【详解】
由题意知OA =2n，
∵2018÷4=504…2，
∴OA = +1=1009，
∴A A =1009-1=1008，
则△O A A的面积是×1×1008=504m2
此题考查规律型：数字变换，解题关键在于找到规律
10、
【解析】
由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=90°，OA=OB，证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB，∠ABO=60°，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE，因此BE=OB，由等腰三角形的性质即可得出∠BOE的大小．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠ABO=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBE=30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴BE=OB，
∴∠BOE=(180°-∠OBE)= (180°-30°)=75°．
故答案为75°．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．
11、①②③④
【解析】
延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
【详解】
如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△FCG（AAS），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故答案为：①②③④
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
12、1.1
【解析】
分析：先求出平均数，再运用方差公式S1= [（x1-）1+（x1-）1+…+（xn-）1]，代入数据求出即可．
详解：解：五次射击的平均成绩为=（6+9+8+8+9）=8，
方差S1=[（6﹣8）1+（9﹣8）1+（8﹣8）1+（8﹣8）1+（9﹣8）1]=1.1．
故答案为1.1．
点睛： 本题考查了方差的定义．一般地设n个数据，x1，x1，…xn的平均数为，则方差S1= [（x1-）1+（x1-）1+…+（xn-）1]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
13、13.1
【解析】
首先根据众数的定义求出的值，进而利用方差公式得出答案．
【详解】
解：数据0，，8，1，的众数是，
，
，
，
故答案为：13.1．
此题主要考查了方差以及众数的定义，正确记忆方差的定义是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；
（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．
【详解】
（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用．
15、（1）①详见解析；②13；（2）①m=3；②
【解析】
（1）①只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；
②只要证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN=即可解决问题；
（2）①根据待定系数法，只需把原点代入即可求解；
②直线y=kx+b中，y随x的增大而减小说明k＜1．
【详解】
（1）①ABCD是平行四边形,
又 ，
∴DN∥BM，
∴四边形 是平行四边形；
②解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
∵∠CEM=∠AFN=91°，
∴△CEM≌△AFN（AAS），
∴FN=EM=5，
在Rt△AFN中，CM=；
（2）①，∵函数图象经过原点
代入解析式， 即m-3=1,m=3;
②根据y随x的增大而减小说明k＜1，
即：
解得：
∴的取值范围是：.
本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16、
【解析】
（1）先化简二次根式，再加减；（2）根据平方差公式进行计算.
【详解】
(1)；
(2)
考核知识点：二次根式的运算.掌握运算法则是关键.
17、解：（1）设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电（30﹣x）台，由题意，得
y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000。
（2）依题意，得，
解得10≤x≤。
∵x为整数，∴x=10，11，12。∴商场有三种方案可供选择：
方案1：购空调10台，购彩电20台；
方案2：购空调11台，购彩电19台；
方案3：购空调12台，购彩电18台。
（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，∴y随x的增大而增大。
∴当x=12时，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元．
故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元。
【解析】（1）y=（空调售价﹣空调进价）x+（彩电售价﹣彩电进价）×（30﹣x）。
（2）根据用于一次性购进空调、彩电共30台，总资金为12.8万元，全部销售后利润不少于1.5万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可。
（3）利用y与x的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可。
考点：一次函数和一元一次不等式组的应用，由实际问题列函数关系式，一次函数的性质。
18、见解析
【解析】
根据平行四边形的性质得出∠ABC=∠ADC，AD∥BC，求出DE∥BF，∠EBC=∠AEB，根据角平分线的定义求出∠ADF=∠EBC，求出∠AEB=∠ADF，根据平行线的判定得出BE∥DF，根据平行四边形的判定得出即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∴DE∥BF，∠EBC=∠AEB，
∵∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F，
∴∠ADF=ADC，∠EBC=ABC，
∴∠ADF=∠EBC，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE∥DF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、0.5
【解析】
首先根据三角形周长及斜边长度求得两直角边的和，再根据勾股定理得出两直角边各自平方数的和的值，再利用完全平方公式得出两直角边的乘积的2倍的值即可求出三角形面积.
【详解】
解：由题意可得AC+BC+AB=，
∵∠C＝90°，则AB为斜边等于2，
∴AC+BC=，
再根据勾股定理得出，
根据完全平方公式，
将AC+BC=和代入公式得：，
即=1，
∴Rt△ABC面积=0.5=0.5.
本题考查了勾股定理，解题的关键是利用完全平方公式求得两直角边的乘积的2倍的值.
20、（0，-3）
【解析】
求出当x=0时，y的值，由此即可得出直线与y轴的交点坐标.
【详解】
解：由题意得：当x=0时，y=2×0-3=-3，
即直线与y轴交点坐标为（0，-3），
故答案为（0，-3）.
本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，比较简单，令x=0即可.
21、2
【解析】
设MN=y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y1关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．
【详解】
作MG⊥DC于G，如图所示：
设MN=y，PC=x，
根据题意得：GN=2，MG=|10-1x|，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN1=MG1+GN1，
即y1=21+（10-1x）1．
∵0＜x＜10，
∴当10-1x=0，即x=2时，y1最小值=12，
∴y最小值=2．即MN的最小值为2；
故答案为：2．
本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．
22、x＞1
【解析】
观察函数图象，写出在y轴右侧的自变量的取值范围即可．
【详解】
当x＞1时，ax+b＜1，
即不等式ax+b＜1的解集为x＞1．
故答案为：x＞1
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）1的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
23、
【解析】
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【详解】
解：∵
∴s2=．
故答案为：.
本题考查了方差的定义与平均数的定义，熟练掌握概念是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)甲组平均每人投进个数为7个；(1)乙组表现更好．
【解析】
（1）加权平均数：若n个数x1，x1，x3，…，xn的权分别是w1，w1，w3，…，wn，则x1w1+x1w1+…+xnwnw1+w1+…+wn叫做这n个数的加权平均数，根据加权平均数的定义计算即可.
（1）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s1来表示，根据方差的计算公式结合平均数进行计算即可．
【详解】
解：(1)甲组平均每人投进个数：(个；
(1)甲组方差：，
乙组的方差为3.1，3.1＜3.4
所以从成绩稳定性角度看，乙组表现更好．
本题考查了方差的计算以及方差越小数据越稳定，正确运用方差公式进行计算是解题的关键．
25、1
【解析】
根据题意表示出四边形APQC的面积，进而得出方程求出答案．
【详解】
解：设t秒后，四边形APQC的面积为16cm1，
由题意得：S△ABC=×6×8=14（cm1），BP=6-t，BQ=1t，
∴14-•1t（6-t）=16，
解得：t1=1，t1=4，
当t=4时，BQ=1×4=8，
∵Q不与点C重合，
∴t=4不合题意舍去，
所以1秒后，四边形APQC的面积为16cm1．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键．
26、30元
【解析】
试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．
解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
2×=，
解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
考点：分式方程的应用．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
空调
彩电
进价（元/台）
5400
3500
售价（元/台）
6100
3900
投进个数
10个
8个
6个
4个
人数
1个
5人
1人
1人