四川省自贡市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将化简即可得出答案
【详解】，
所对应的向量坐标为.
故选：B
【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义，较简单.
2. 体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（ ）
A. 98B. 99C. 99.5D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】根据分位数的定义即可求得答案.
【详解】这组数据的60%分位数是.
3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】推导出，利用空间向量法可得出线面关系.
【详解】因为，，则，即，因此，.
故选：C.
4. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量，即得答案.
【详解】
,
故选;A
5. 已知两个平面，两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若是异面直线，，，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，与相交、平行或；对于B，与相交或平行；对于C，与相交或平行；对于D，由面面平行的判定定理得．
【详解】两个平面，两条直线，
对于A，若，，则与相交、平行或，故A错误；
对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；
对于C，若，，，，则与相交或平行，故C错误；
对于D，过作平面与平面交于，如图，
∵，∴，又，，∴，
∵是异面直线，，∴与相交，
又∵，，∴，故D正确．
故选：D．
6. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为，，，由余弦定理可得，
即，即，解得或.
故选：C.
7. 在空间直角坐标系中，点，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量坐标表示判断AB，根据向量模的坐标运算判断C，根据向量夹角计算公式判断D.
【详解】因为，，，
所以，，故AB错误；
因为，
所以，故C错误；
因为，故D正确.
故选：D
8. 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若 的面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件算出母线长和底面半径即可求出侧面积.
【详解】如图：其中O是底面圆心，设半径为r，则AO=r，
， ，
由于SA，SB都是母线，所以SA=SB，
的面积 ，
在等腰直角三角形SAO中， ，
所以侧面积= ；
故选：C.
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9. 下面四个结论正确是（ ）
A. 向量，若，则
B. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C. 已知向量，，若，则
D. 任意向量，满足
【答案】ABC
【解析】
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B，根据空间向量共线的坐标表示可判断C，利用数量积的定义判断D.
【详解】对于A：因为，，则，正确；
对于B：因为，则，
即，又与有公共点，所以三点共线，正确；
对于C：因为向量，，，
所以存在，使得，即，
则，解得，正确；
对于D：表示平行于的向量，表示平行于的向量，
当与不平行时，一定不成立，错误.
故选：ABC
10. 设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则A，B相互独立
C. 若A与B相互独立，则D. 若A与B相互独立，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.
【详解】A，若，则，A错误；
B ，因为，则，B正确；
C，因为A与B相互独立，则也相互独立，
则，C错误；
D，若A与B相互独立，则也相互独立，
则，D正确.
故选：BD
11. 如图，在正方体中，P为线段上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 平面平面
C. 存在唯一的点P，使得为90°
D. 当点P为中点时，取得最小值
【答案】AB
【解析】
【分析】根据正方体的性质，结合空间位置关系，对选项逐一分析，得到正确结果.
【详解】对于A项，利用正方体的特征可知，，
且，所以平面，
可得，所以A项正确；
对于B项，因为平面即为平面，
因为平面，
所以平面平面，所以B项正确；
对于C项，设正方体棱长为，，
在中，
在中，，
当时，，
即或，
所以当与重合或P为的中点时，满足为90°，
所以满足条件的点P不唯一，所以C项不正确；
对于D项，将正方体的对角面进行翻折，可得图形如图所示：
根据平面内两点之间直线段最短，所以当P为图中的点时，
取得最小值，显然不为中点，所以D项不正确；
故选：AB.
【点睛】该题以正方体为载体，考查空间线面位置关系，涉及到线线、线面和面面垂直等基础知识，要注意空间与平面间的相互转化，属于基础题目.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. O为空间任意一点，若，若ABCP四点共面，则______________．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.
【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线，
若、、、四点共面，则，
因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，
所以，，解得.
故答案为：.
13. 在平面四边形中，，，，若，则的面积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理求出、，进而可求得，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】连接，如下图所示：
由余弦定理可得，
由余弦定理可得，则为锐角，
所以，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
14. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】以为轴建立空间直角坐标系，由重心坐标公式求得的重心的坐标，用空间向量法求点到直线的距离．
【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设的重心是，
则，，，即，
，，
，，，
，
则 是锐角，，
所以到直线的距离为．
故答案为：．
四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15. 已知空间三点，，，设，．
（1）若与互相垂直，求实数的值；
（2）若，，求．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案.
【小问1详解】
，
故，
，
因为互相垂直，所以，
解得或；
【小问2详解】
，
设，则且，
解得或，
故或；
16. 某公司为了解员工对食堂满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.
（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
【答案】（1）众数为75，中位数为；（2）7人.
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.
【详解】解：（1）由题意得众数为75，
的频率为，
的频率为，
设中位数为a，，.
（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，
从抽取的人数：.
17. 在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响.
（1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率；
（2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.
【答案】（1）甲队总得分为分的概率为，分的概率为；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；
（2）首先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；
【小问1详解】
解：依题意记甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件，
则，
，
所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为；
【小问2详解】
解：依题意甲队总得分为分的概率为，
得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；
乙队总得分为分的概率为，得分的概率为，
得分的概率为，得分的概率为；
则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.
18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，
因为是直棱柱，
所以平面，
因此平面的一个法向量为，
所以，即，又平面，所以平面；
【小问2详解】
因为，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以.
19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足．
（1）求B；
（2）若，，求的面积；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角形式，化简后利用余弦定理可求出角B；
（2）利用余弦定理求出，再由三角形面积公式可求得结果；、
（3）利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得，令，然后利用二次函数的性质可求其范围.
【小问1详解】
，
由正弦定理，得，．
由余弦定理，得，
，．
【小问2详解】
在中，，，．
由余弦定理，得，
即，解得（舍）或．
的面积为．
【小问3详解】
由（1）知．
．
令，，
，．
，
当时，取得最小值，最小值为．
当时，取得最大值，最大值为．
的取值范围是．