2024-2025学年辽宁省沈阳市沈北新区数学九上开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市沈北新区数学九上开学综合测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是( )
A．2B．1C．D．
2、（4分）在中，若斜边，则边上的中线的长为( )
A．1B．2C．D．
3、（4分）如图，在方格中有两个涂有阴影的图形M、N，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图（1）中的图形M平移后位置如图（2）所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（ ）
A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
4、（4分）某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，建成后的活动室面积为75m2，求矩形活动室的长和宽，若设矩形宽为x，根据题意可列方程为( )
A．x(27﹣3x)＝75B．x(3x﹣27)＝75
C．x(30﹣3x)＝75D．x(3x﹣30)＝75
5、（4分）用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ）
A．（1）（2）（4）B．（2）（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）
6、（4分）如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x＞1D．x＜1
7、（4分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．31°B．28°C．62°D．56°
8、（4分）若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在，，，，中任意取一个数，取到无理数的概率是___________.
10、（4分）有一组数据如下： 2， 2， 0，1， 1．那么这组数据的平均数为__________，方差为__________．
11、（4分）某n边形的每个外角都等于它相邻内角的，则n＝_____．
12、（4分）已知一组数据1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的方差是_____．
13、（4分）若点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，－3）则ab的值是 .
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），过点B画y轴的垂线l，点C在线段AB上，连结OC并延长交直线l于点D，过点C画CE⊥OC交直线l于点E．
（1）求∠OBA的度数，并直接写出直线AB的解析式；
（2）若点C的横坐标为2，求BE的长；
（3）当BE＝1时，求点C的坐标．
15、（8分）已知一次函数过点（－2，5），和直线，分别在下列条件下求这个一次函数的解析式.
（1）它的图象与直线平行；
（2）它的图象与y轴的交点和直线与y轴的交点关于轴对称.
16、（8分）探索与发现
（1）正方形ABCD中有菱形PEFG，当它们的对角线重合，且点P与点B重合时（如图1），通过观察或测量，猜想线段AE与CG的数量关系，并证明你的猜想；
（2）当（1）中的菱形PEFG沿着正方形ABCD的对角线平移到如图2的位置时，猜想线段AE与CG的数量关系，只写出猜想不需证明.
17、（10分）如图所示,在边长为1的网格中作出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90∘,再向下平移2格后的图形△A′B′C′.
18、（10分）如图，E与F分别在正方形ABCD边BC与CD上，∠EAF=45°.
（1）以A为旋转中心，将△ABE按顺时针方向旋转90°，画出旋转后得到的图形.
（2）已知BE=2cm，DF=3cm，求EF的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝___°．
20、（4分）如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD=5，B（-3，0），C（9，0），点E是BC的中点，点P是线段BC上一动点，当PB=________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.
21、（4分）当二次根式的值最小时，=______．
22、（4分）已知，当=-1时，函数值为_____；
23、（4分）如图，折线ABC是某市在2018年乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）之间的函数关系图像，观察图像回答，乘客在乘车里程超过3千米时，每多行驶1km，要再付费__________元．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组.在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题．
（1）请根据图中信息，补齐下面的表格；
（2）从图中看，小明与小亮哪次的成绩最好？
（3）分别计算他们的平均数和方差，若你是他们的教练，将小明与小亮的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？
25、（10分）如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为、、，过A作y轴的垂线.点C在x轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D在上以每秒的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为.当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△，与CD相交于点E，P为x轴上另一动点.
(1)求直线AB的解析式，并求出t的值.
(2)当PE+PD取得最小值时，求的值.
(3)设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为，请用含的代数式表示△PAE的面积.
26、（12分）我们知道：等腰三角形两腰上的高相等．
（1）请你写出它的逆命题：______．
（2）逆命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
证明四边形ABDE是平行四边形，得出AB＝DE，证出CE＝2AB，求出∠CEF＝30°，得出CE＝2CF＝2，即可得出AB的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BCD＝∠BAD＝120°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CE＝2AB，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ECF＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF＝2，
∴AB＝1；
故选：B．
本题考查平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
2、D
【解析】
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AC．
【详解】
∵BD是斜边AC边上的中线，
∴BD=AC=×=.
故选D.
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
3、B
【解析】
根据平移前后图形M中某一个对应顶点的位置变化情况进行判断即可．
【详解】
由图（1）可知，图M先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得题图（2），
故选B
本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．
4、C
【解析】
设矩形宽为xm，根据可建墙体总长可得出矩形的长为(30-3x)m，再根据矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解
【详解】
解：设矩形宽为xm，则矩形的长为(30﹣3x)m，
根据题意得：x(30﹣3x)＝1．
故选：C．
本题考查的是一元二次方程，熟练掌握一元二次方程是解题的关键.
5、A
【解析】
试题分析：根据全等的直角三角形的性质依次分析各小题即可判断.
用两个全等的直角三角形一定可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形
故选A.
考点：图形的拼接
点评：图形的拼接是初中数学平面图形中比较基础的知识，，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
6、B
【解析】
直接根据函数的图象与y轴的交点为（0，1）进行解答即可：
【详解】
解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），
∴当x＜0时，关于x的不等式kx+b＞1．故选B．
7、D
【解析】
先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠FDB=28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD=∠CBD=28°，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．
故选D．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
8、B
【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤ 且a≠6，然后找出此范围内的最大整数即可．
【详解】
根据题意得a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，
解得a≤ 且a≠6，
所以整数a的最大值为5.
故选B.
本题考查一元二次方程的定义和跟的判别式，一元二次方程的二次项系数不能为0；当一元二次方程有实数根时，△≥0.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】
解：∵在，，，，中无理数只有这1个数，
∴任取一个数，取到无理数的概率是，
故答案为：．
此题主要考查了概率公式以及无理数，正确把握无理数的定义是解题关键．
10、1 1
【解析】
分析：先算出数据的平均数，再根据方差的计算公式，代入公式计算即可得到结果．
详解：平均数为：(-2+2+0+1+1)÷5=1，
=,
故答案为1, 1.
点睛：本题考查了平均数与方差的应用，先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
11、1．
【解析】
根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数；根据外角度数就可求得边数．
【详解】
解：因为多边形的每个外角和它相邻内角的和为180°，
又因为每个外角都等于它相邻内角的，
所以外角度数为180°×＝36°．
∵多边形的外角和为360°，
所以n＝360÷36＝1．
故答案为：1．
本题考查多边形的内角与外角关系，以及多边形的外角和为360°．
12、
【解析】
根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]计算方差．
【详解】
解：由平均数的公式得：（1+a+3+6+7）÷5=4，
解得a=3；
∴方差=[（1-4）2+（3-4）2+（3-4）2+（6-4）2+（7-4）2]÷5=．
故答案为．
此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．
13、1
【解析】
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出a，b的值，从而得出ab．
解答：解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点是B（b，-3），
∴a=3，b=2，
∴ab=1．
故答案为1．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（3）直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；（3）BE＝3；（3）C的坐标为（3，3）．
【解析】
（3）根据A（3，0），B（0，3）可得OA=OB=3，得出△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°，进而求出直线AB的解析式；
（3）作CF⊥l于F，CG⊥y轴于G，利用ASA证明Rt△OGC≌Rt△EFC（ASA），得出EF=OG=3，那么BE=3；
（3）设C的坐标为（m，-m+3）．分E在点B的右侧与E在点B的左侧两种情况进行讨论即可．
【详解】
（3）∵A（3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3．∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝45°，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；
（3）作CF⊥l于F，CG⊥y轴于G，∴∠OGC＝∠EFC＝90°．∵点C的横坐标为3，点C在y＝﹣x+3上，∴C（3，3），CG＝BF＝3，OG＝3．∵BC平分∠OBE，
∴CF＝CG＝3．∵∠OCE＝∠GCF＝90°，∴∠OCG＝∠ECF，
∴Rt△OGC≌Rt△EFC（ASA），∴EF＝OG＝3，∴BE＝3；
（3）设C的坐标为（m，﹣m+3）．
当E在点B的右侧时，由（3）知EF＝OG＝m﹣3，
∴m﹣3＝﹣m+3，
∴m＝3，
∴C的坐标为（3，3）；
当E在点B的左侧时，同理可得：m+3＝﹣m+3，
∴m＝3，
∴C的坐标为（3，3）．
此题考查一次函数，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线
15、
【解析】
（1）与直线平行，则k=，再将（-2,5）代入求出b；（2）一次函数与y轴的交点为（0，b），它与直线与y轴的交点（0,3）关于x轴对称，则b=-3，再将（-2,5）代入求出k.
【详解】
解：（1）由一次函数与直线平行，则k=，
将（-2,5）代入y=b，得5=×（-2）+b，解得b=2，
则一次函数解析式为y=x+2；
（2）一次函数与y轴的交点为（0，b），直线与y轴的交点坐标为（0,3），
又（0，b）与（0，3）关于x轴对称，
则b=-3，
将（-2,5）代入y=kx-3，得5=-2k-3，解得k=-4，
则一次函数解析式为y=-4x-3.
16、（1）结论：AE=CG．理由见解析；（2）结论不变，AE=CG.
【解析】
分析：（1）结论AE=CG．只要证明△ABE≌△CBG，即可解决问题．
（2）结论不变，AE=CG．如图2中，连接BG、BE．先证明△BPE≌△BPG，再证明△ABE≌△CBG即可．
详解：（1）结论：AE=CG．理由如下：
如图1，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
∵四边形PEFG是菱形，∴BE=BG，∠EBD=∠GBD，∴∠ABE=∠CBG，
在△ABE和△CBG中，
，∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG．
（2）结论不变，AE=CG．理由如下：
如图2，连接BG、BE．

∵四边形PEFG是菱形，∴PE=PG，∠FPE=∠FPG，∴∠BPE=∠BPG，
在△BPE和△BPG中，
，∴△BPE≌△BPG，∴BE=BG，∠PBE=∠PBG，
∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABE=∠CBG，
在△ABE和△CBG中，
，∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG．
点睛：本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
17、见解析.
【解析】
先作出绕点逆时针旋转的三角形，然后再下平移2格的对应点、、，然后顺次连接即可.
【详解】
如图所示，虚线三角形为绕点按逆时针方向旋转的三角形，
即为所要求作的三角形.
本题考查了利用平移变换与旋转变换作图，本题先作出绕点逆时针旋转的三角形是解题的关键.
18、（1）见解析；（2）5cm.
【解析】
【分析】（1）根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点，顺次连接即可得出；
（2）首先证明△ABE≌△ADM，进而得到∠MAF=45°；证明△EAF≌△MAF，得到EF=FG问题即可解决．
【详解】（1）如图所示；
（2）由（1）知：△ADM≌△ABE，M、D、F共线，
∴AD=AB，AM=AE，∠MAD=∠BAE，MD=BE=2，
∵四边形ABCD为正方形，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠MAD+∠DAF=45°，
∴△AMF≌△AEF(SAS)，
∴EF=MF，
∵MF=MD+DF，
∴EF=MF=MD+DF=2+3=5cm.
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、17.1．
【解析】
根据矩形的性质由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性质得出∠ECD即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADF=21°，
∴∠CDF=∠ADC﹣∠ADF=90°﹣21°=61°，
∵DF=DC，
∴∠ECD=，
故答案为：17.1．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠CDF．是一道中考常考的简单题．
20、1或11
【解析】
根据题意求得AD的值，再利用平行四边形性质分类讨论，即可解决问题.
【详解】
∵B（-3，0），C（9，0）∴BC=12
∵点E是BC的中点∴BE=CE=6
∵AD∥BC∴AD=5
∴当PE=5时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.分两种情况：
当点P在点E左边时，PB=BE-PE=6-5=1；
②当点P 在点E右边时，PB=BE+PE=6+5=11
综上所述，当PB的长为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形.
本题考查了平行四边形的性质，注意分类讨论思想的运用.
21、1
【解析】
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
∵二次根式的值最小，
∴，解得：，
故答案为：1．
本题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
22、-1
【解析】
将x=-1，代入y=2x+1中进行计算即可；
【详解】
将x=-1代入y=2x+1，得y=-1；
此题考查求函数值，解题的关键是将x的值代入进行计算；
23、1.1
【解析】
分析：由图象可知，出租车行驶距离超过3km时，车费开始增加，而且行驶距离增加5km，车费增加7元，由此可解每多行驶1km要再付的费用．
详解：由图象可知，出租车行驶距离超过3km时，车费开始增加，而且行驶距离增加5km，车费增加7元，所以，每多行驶1km要再付费7÷5=1.1（元）．
故答案为1.1．
点睛：本题考查了函数图象问题，解题的关键是理解函数图象的意义．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）小明第4次成绩最好，小亮第3次成绩最好；（3）小明平均数：13.3，方差为：0.004；小亮平均数为：13.3，方差为：0.02；建议小明加强锻炼，提高爆发力，提高短跑成绩；建议小亮总结经验，找出成绩忽高忽低的原因，在稳定中求提高.
【解析】
（1）、（2），根据图形，分别找出小明第4次成绩和小亮第2次的成绩，进而补全表格，再结合统计图找出小明和小亮的最好成绩即可；
（3）根据平均数和方差的计算公式分别求出小明和小亮的平均成绩和方差即可.
【详解】
（1）根据统计图补齐表格，如下：
（2）由图可得，小明第4次成绩最好，小亮第3次成绩最好.
（3）小明的平均成绩为： (13.3+13.4+13.3+13.2+13.3)=13.3（秒），
方差为：×[(13.3-13.3)+(13.4-13.3) +(13.3-13.3) +(13.2-13.3) +(13.3-13.3) ]=0.004；
小亮的平均成绩为： (13.2+13.4+13.1+13.5+13.3)÷5=13.3（秒），
方差为×[(13.2-13.3) +(13.4-13.3) +(13.1-13.3) +(13.5-13.3) +(13.3-13.3) ]=0.02.
从平均数看，两人的平均水平相等；从方差看，小明的成绩较稳定，小亮的成绩波动较大.建议小明加强锻炼，提高爆发力，提高短跑成绩；建议小亮总结经验，找出成绩忽高忽低的原因，在稳定中求提高.
此题考查折线统计图，方差，算术平均数，解题关键在于掌握运算法则，看懂图中数据
25、（1）；（2）； (3)①当时，S△PAE=,②当时, S△PAE=.
【解析】
（1）设直线AB为，把B(-3,0)代入，求得k，确定解析式；再设设秒后构成平行四边形，根据题意列出方程，求出t即可；
（2）过E作关于轴对于点,连接EE′交x轴于点P,则此时PE+PD最小.由（1）得到当t=2时，有C（，0），D(,3)，再根据AB∥CD，求出直线CD和AB1的解析式，确定E的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.
（3）根据（1）可以判断有和两种情况，然后分类讨论即可.
【详解】
（1）解：设直线AB为，把B(-3,0)代入得：
∴
∴
由题意得：
设秒后构成平行四边形，则
解之得：，
（2）如图:过E作关于轴对于点,
连接EE′交x轴于点P,则此时PE+PD最小.
由（1）t=2得：
∴C（，0），D(,3)
∵AB∥CD
∴设CD为
把C（，0）代入得
b1=
∴CD为：
易得为：
∴
解之得：E(,)
∴
(3)①当时
S△PAE=S△PAB1-S△PEB1=
②当时：
S△PAE=S△PAB1-S△PEB1=
本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信.
26、（1）两边上的高相等的三角形是等腰三角形；（2）是，证明见解析．
【解析】
（1）根据逆命题的定义即可写出结论；
（2）根据题意，写出已知和求证，然后利用HL证出Rt△BCD≌Rt△CBE，从而得出∠ABC=∠ACB，然后根据等角对等边即可证出结论．
【详解】
（1）等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是两边上的高相等的三角形是等腰三角形，
故答案为：两边上的高相等的三角形是等腰三角形；
（2）如图，已知CD和BE是AB和AC边上的高，CD=BE，
求证：AB=AC；
证明：如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD与Rt△CBE中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
此题考查的是写一个命题的逆命题、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的性质，掌握逆命题的定义、全等三角形的判定及性质和等角对等边是解决此题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人