江苏省南京市2024-2025学年高三9月学情调研考试数学试题（Word版附答案）

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注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合A＝{x|x－3＞0}，B＝{x|x2－5x＋4＞0}，则A∩B＝
A．(－∞，1) B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．(4，＋∞)
2．已知ax＝4，lga3＝y，则aeq \s(x＋y)＝
A．5 B．6 C．7 D．12
3．已知|a|＝eq \r(,3)，|b|＝1．若(a＋2b)⊥a，则cs＝
A．－eq \f(\r(,3),2) B．－eq \f(\r(,3),3) C．eq \f(\r(,3),3) D．eq \f(\r(,3),2)
4．已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn．若S3＝6，S6＝3，则S9＝
A．－18 B．－9 C．9 D．18
5．若a是第二象限角，4sin2α＝tanα，则tanα＝
A．－eq \r(,7) B．－eq \f(\r(,7),7) C．eq \f(\r(,7),7) D．eq \r(,7)
6．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)．甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为
A．4 B．6 C．8 D．12
7．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为
A．24 B．32 C．96 D．128
8．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P在C上，点Q在l上．若PF＝2QF，PF⊥QF，则△PFQ的面积为
A．eq \f(25,4) B．25 C．eq \f(55,2) D．55
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z，下列命题正确的是
A．若z＋1∈R，则z∈R B．若z＋i∈R，则z的虚部为－1
C．若|z|＝1，则z＝±1 D．若z2∈R，则z∈R
10．对于随机事件A，B，若P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,5)，P(B|A)＝eq \f(1,4)，则
A．P(AB)＝eq \f(3,20) B．P(A|B)＝eq \f(1,6) C．P(A＋B)＝eq \f(9,10) D．P(eq \\ac(\S\UP7(―),A)B)＝eq \f(1,2)
11．设函数f(x)＝eq \f(1,|sinx|)＋eq \f(8,|csx|)，则
A．f(x)的定义域为{x|x≠eq \f(kπ,2)，k∈Z} B．f(x)的图象关于x＝eq \f(π,4)对称
C．f(x)的最小值为5eq \r(,5) D．方程f(x)＝12在(0，2π)上所有根的和为8π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．(2eq \r(,x)＋eq \f(1,x))4展开式中的常数项是 ▲ ．
13．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 ▲ ．
(第13题图)
14．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线BF2与C相交于另一点A．当cs∠F1AB最小时，C的离心率为 ▲ ．
四、解答题；本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
小王早晨7：30从家出发上班，有A，B两个出行方选择，他统计了最近100天分别选择A，B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：
(1)判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；
(2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X．若用频率估计概率，求P(X＝3)．
附：χ2＝eq \f(n(ad－bc)\s(2),(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d，
16．(本小题满分15分)
如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，eq \\ac(\S\UP7(→),AM)＝2eq \\ac(\S\UP7(→),MD)，eq \\ac(\S\UP7(→),CN)＝2eq \\ac(\S\UP7(→),ND)．
(1)求证：EF∥平面MNB；
(2)若平面ACD⊥平面ABC，求直线BD与平面MNB所成角的正弦值．
(第16题图)
17．(本小题满分15分)
已知数列{an}，{bn}，an＝(－1)n＋2n，bn＝an＋1－λan(λ＞0)，且{bn}为等比数列．
(1)求λ的值；
(2)记数列{bnn2}的前n项和为Tn．若TiTi＋2＝15Ti＋1(i∈N*)，求i的值．
18．(本小题满分17分)
已知 F1，F2是双曲线线C：eq \f(x\s(2),a\s(2))－\f(y\s(2),b\s(2))＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，F1F2＝2eq \r(,6)，点T(2eq \r(,6)，eq \r(,10))在C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l过点D(1，0)，且与C交于A，B两点．
①若eq \\ac(\S\UP7(→),DA)＝3eq \\ac(\S\UP7(→),DB)，求△F1F2A的面积；
②以线段AB为直径的圆交x轴于P，Q两点，若|PQ|＝2，求直线l的方程．
19．(本小题满分17分)
已知函数f(x)＝eeq \s(x－a)＋ax2－3ax＋1，a∈R．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；
(2)当a＞1时，试判断f(x)在[1，＋∞)上零点的个数，并说明理由；
(3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
8点前到(天数)
8点或8点后到(天数)
A方案
28
12
B方案
30
30
P(χ≥x0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
x0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828