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    2024-2025学年江苏省盐城市大丰区部分学校数学九年级第一学期开学教学质量检测试题【含答案】
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    2024-2025学年江苏省盐城市大丰区部分学校数学九年级第一学期开学教学质量检测试题【含答案】

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    这是一份2024-2025学年江苏省盐城市大丰区部分学校数学九年级第一学期开学教学质量检测试题【含答案】,共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
    1、(4分)如图①,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD在第一象限,且AB∥x轴.直线y=-x从原点出发沿x轴正方向平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图②,那么平行四边形ABCD的面积为()
    A.4B.C.D.8
    2、(4分)将一张矩形纸片按照如图 所示的方式折叠,然后沿虚线 AB 将阴影部分剪下,再将 剪下的阴影部分纸片展开,所得到的平面图形是( )
    A.直角三角形B.等腰三角形C.矩形D.菱形
    3、(4分)下列由左到右的变形,属于因式分解的是( )
    A.B.
    C.D.
    4、(4分)已知一组数据:1,2,8,,7,它们的平均数是1.则这组数据的中位数是( )
    A.7B.1C.5D.4
    5、(4分)如图,菱形中,分别是的中点,连接,则的周长为( )
    A.B.C.D.
    6、(4分)在以下列三个数为边长的三角形中,不能组成直角三角形的是( )
    A.4、7、9B.5、12、13C.6、8、10D.7、24、25
    7、(4分)下列命题是假命题的是( )
    A.四个角相等的四边形是矩形
    B.对角线相等的平行四边形是矩形
    C.对角线垂直的四边形是菱形
    D.对角线垂直的平行四边形是菱形
    8、(4分)如图,直线的图象如图所示.下列结论中,正确的是( )
    A.B.方程的解为;
    C.D.若点A(1,m)、B(3,n)在该直线图象上,则.
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    9、(4分)如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,则DE的长为_____.
    10、(4分)如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,延长AB与DE的延长线交于点F.下列结论中:①△ABC≌△AED;②△ABE是等边三角形;③AD=AF;④S△ABE=S△CDE;⑤S△ABE=S△CEF.其中正确的是_____.
    11、(4分)某n边形的每个外角都等于它相邻内角的,则n=_____.
    12、(4分)解分式方程时,设,则原方程化为关于的整式方程是__________.
    13、(4分)如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A、B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A、B的点C,找到AC、BC的中点D、E,并且测出DE的长为13m,则A、B间的距离为______m.
    三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
    14、(12分)如图,, 点分别在线段上,且
    求证:
    已知分别是的中点,连结
    ①若,求的度数:
    ②连结当的长为何值时,四边形是矩形?
    15、(8分)平面直角坐标系中,设一次函数的图象是直线.
    (1)如果把向下平移个单位后得到直线,求的值;
    (2)当直线过点和点时,且,求的取值范围;
    (3)若坐标平面内有点,不论取何值,点均不在直线上,求所需满足的条件.
    16、(8分)如图,矩形ABCD中,AB=9,AD=1.E为CD边上一点,CE=2.点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒.
    (1)求AE的长;
    (2)当t为何值时,△PAE为直角三角形?
    17、(10分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,我们把每个小正方形的顶点叫做格点. 如:线段AB的两个端点都在格点上.
    (1)在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD,点C、D在格点上,且平行四边形ABCD的面积为15;
    (2)在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF(不是正方形),点E、F在格点上,则菱形ABEF的对角线AE=________,BF=________;
    (3)在图3中画一个以AB为边的矩形ABMN(不是正方形),点M、N在格点上,则矩形ABMN的长宽比=______.

    18、(10分)化简:
    (1)2ab﹣a2+(a﹣b)2
    (2)
    B卷(50分)
    一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    19、(4分)甲、乙两名射击手的100次测试的平均成绩都是9环,方差分别是S2甲=0.8,S2乙=0.35,则成绩比较稳定的是_____(填“甲”或“乙”).
    20、(4分)若关于x的方程的解为负数,则a的取值范围为______.
    21、(4分)分解因式: .
    22、(4分)矩形 内一点 到顶点 ,, 的长分别是 ,,,则 ________________.
    23、(4分)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长备几何?”这个数学问题的意思是说:“有一个水池,水面是一个边长为丈(丈尺)的正方形,在水池正中央长有一根芦苇,芦苇露出水面尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?”设这个水池的深度是尺,根据题意,可列方程为__________.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
    24、(8分)如图,直线与直线 ,两直线与轴的交点分别为、.
    (1)求两直线交点的坐标;
    (2)求的面积.
    25、(10分)已知E、F分别是平行四边形ABCD的BC和DA边上的点,且CE=AF,问:DE与FB是否平行?说明理由.
    26、(12分)已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°.
    (1)如图①,点D、E分别在线段AB、AC上. 请直接写出线段BD和CE的位置关系: ;
    (2)将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转到如图②的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图②证明;若不成立,请说明理由;
    (3)如图③,取BC的中点F,连接AF,当点D落在线段BC上时,发现AD恰好平分∠BAF,此时在线段AB上取一点H,使BH=2DF,连接HD,猜想线段HD与BC的位置关系并证明.
    参考答案与详细解析
    一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
    1、D
    【解析】
    根据图象可以得到当移动的距离是4时,直线经过点A,当移动距离是7时,直线经过D,在移动距离是8时经过B,则AB=8-4=4,当直线经过D点,设交AB与N,则,作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高,然后利用平行四边形的面积公式即可求解.
    【详解】
    根据图象可以得到当移动的距离是4时,直线经过点A,当移动距离是7时,直线经过D,在移动距离是8时经过B,则,
    如图所示,
    当直线经过D点,设交AB与N,则,作于点M.
    与轴形成的角是,轴,
    ,则△DMN为等腰直角三角形,

    由勾股定理得,
    解得,即DM=2
    则平行四边形的面积是:.
    故选:D.
    本题考查一次函数与几何综合,解题的关键利用l与m的函数图像判断平行四边形的边长与高.
    2、D
    【解析】
    解答该类剪纸问题,通过自己动手操作即可得出答案;或者通过折叠的过程可以发现:该四边形的对角线互相垂直平分,继而进行判断.
    【详解】
    解:易得阴影部分展开后是一个四边形,
    ∵四边形的对角线互相平分,
    ∴是平行四边形,
    ∵对角线互相垂直,
    ∴该平行四边形是菱形,
    故选:D.
    本题主要考查了剪纸问题,学生的分析能力,培养学生的动手能力及空间想象能力.对于此类问题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现.
    3、C
    【解析】
    根据因式分解的意义,可得答案.
    【详解】
    A. 是整式的乘法,故A错误;
    B. 没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故B错误;
    C. 把一个多项式转化成几个整式积的形式,故C正确;
    D没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故D错误.
    故答案选:C.
    本题考查的知识点是因式分解的意义,解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义.
    4、A
    【解析】
    分析:首先根据平均数为1求出x的值,然后根据中位数的概念求解.
    详解:由题意得:1+2+8+x+2=1×5,解得:x=2,这组数据按照从小到大的顺序排列为:2,1,2,2,8,则中位数为2.
    故选A.
    点睛:本题考查了中位数和平均数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
    5、D
    【解析】
    首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF,然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形.根据等边三角形三线合一的性质又可推出△AEF是等边三角形.根据勾股定理可求出AE的长,继而求出周长.
    【详解】
    解:∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AB=AD=BC=CD=2cm,∠B=∠D,
    ∵E、F分别是BC、CD的中点,
    ∴BE=DF,
    在△ABE和△ADF中,,
    ∴△ABE≌△ADF(SAS),
    ∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.
    连接AC,
    ∵∠B=∠D=60°,
    ∴△ABC与△ACD是等边三角形,
    ∴AE⊥BC,AF⊥CD,
    ∴∠BAE=∠DAF=30°,
    ∴∠EAF=60°,BE=AB=1cm,
    ∴△AEF是等边三角形,AE=,
    ∴周长是.
    故选:D.
    本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理,涉及知识点较多,也考察了学生推理计算的能力.
    6、A
    【解析】
    根据勾股定理逆定理逐项分析即可.
    【详解】
    解:A. ∵42+72≠92,∴4、7、9不能组成直角三角形;
    B. ∵52+122=132,∴ 5、12、13能组成直角三角形;
    C. ∵62+82=102,∴6、8、10能组成直角三角形;
    D. ∵72+242=252,∴7、24、25能组成直角三角形;
    故选A.
    本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,在一个三角形中,即如果用a,b,c表示三角形的三条边,如果a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
    7、C
    【解析】
    试题分析:A.四个角相等的四边形是矩形,为真命题,故A选项不符合题意;
    B.对角线相等的平行四边形是矩形,为真命题,故B选项不符合题意;
    C.对角线垂直的平行四边形是菱形,为假命题,故C选项符合题意;
    D.对角线垂直的平行四边形是菱形,为真命题,故D选项不符合题意.
    故选C.
    考点:命题与定理.
    8、B
    【解析】
    根据函数图象可直接确定k、b的符号判断A、C,根据图象与x轴的交点坐标判断选项B,根据函数性质判断选项D.
    【详解】
    由图象得:k<0,b>0,∴A、C都错误;
    ∵图象与x轴交于点(1,0),∴方程的解为,故B正确;
    ∵k<0,∴y随着x的增大而减小,由1<3得m>n,故D错误,
    故选:B.
    此题考查一次函数的图象,一次函数的性质,正确理解图象得到对应的信息是解题的关键.
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    9、或10
    【解析】
    试题分析:根据题意,可分为E点在DC上和E在DC的延长线上,两种情况求解即可:
    如图①,当点E在DC上时,点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上,易求FP=3,所以FQ=2,设FE=x,则FE=x,QE=4-x,在Rt△EQF中,(4-x)2+22=x2,所以x=.(2)如图②,当,所以FQ=点E在DG的延长线上时,点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上,易求FP=3,所以FQ=8,设DE=x,则FE=x,QE=x-4,在Rt△EQF中,(x-4)2+82=x2,所以x=10,综上所述,DE=或10.
    10、①②⑤
    【解析】
    由平行四边形的性质得出AD∥BC,AD=BC,由AE平分∠BAD,可得∠BAE=∠DAE,可得∠BAE=∠BEA,得AB=BE,由AB=AE,得到△ABE是等边三角形,②正确;则∠ABE=∠EAD=60°,由SAS证明△ABC≌△EAD,①正确;由△FCD与△ABD等底(AB=CD)等高(AB与CD间的距离相等),得出S△FCD=S△ABD,由△AEC与△DEC同底等高,所以S△AEC=S△DEC,得出S△ABE=S△CEF.⑤正确.
    【详解】
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD∥BC,AD=BC,
    ∴∠EAD=∠AEB,
    又∵AE平分∠BAD,
    ∴∠BAE=∠DAE,
    ∴∠BAE=∠BEA,
    ∴AB=BE,
    ∵AB=AE,
    ∴△ABE是等边三角形;
    ②正确;
    ∴∠ABE=∠EAD=60°,
    ∵AB=AE,BC=AD,
    ∴△ABC≌△EAD(SAS);
    ①正确;
    ∵△FCD与△ABC等底(AB=CD)等高(AB与CD间的距离相等),
    ∴S△FCD=S△ABC,
    又∵△AEC与△DEC同底等高,
    ∴S△AEC=S△DEC,
    ∴S△ABE=S△CEF;
    ⑤正确.
    若AD与AF相等,即∠AFD=∠ADF=∠DEC,
    即EC=CD=BE,
    即BC=2CD,
    题中未限定这一条件,
    ∴③④不一定正确;
    故答案为:①②⑤.
    此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此题比较复杂,注意将每个问题仔细分析.
    11、1.
    【解析】
    根据每个外角都等于相邻内角的,并且外角与相邻的内角互补,就可求出外角的度数;根据外角度数就可求得边数.
    【详解】
    解:因为多边形的每个外角和它相邻内角的和为180°,
    又因为每个外角都等于它相邻内角的,
    所以外角度数为180°×=36°.
    ∵多边形的外角和为360°,
    所以n=360÷36=1.
    故答案为:1.
    本题考查多边形的内角与外角关系,以及多边形的外角和为360°.
    12、
    【解析】
    根据换元法,可得答案.
    【详解】
    解:设,则原方程化为,
    两边都乘以y,得:,
    故答案为:.
    本题考查了解分式方程,利用换元法是解题关键.
    13、1
    【解析】
    D、E是AC和BC的中点,则DE是△ABC的中位线,则依据三角形的中位线定理即可求解.
    【详解】
    解:∵D,E分别是AC,BC的中点,
    ∴AB=2DE=1m.
    故答案为:1.
    本题考查了三角形的中位线定理,正确理解定理是解题的关键.
    三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
    14、(1)详情见解析;(2)①15°,②
    【解析】
    (1)通过证明△ABD≅△ACE进一步求证即可;
    (2)①连接AF、AG,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出AF=BD=BF,AG=CE=GC,由此进一步证明△AFG为等边三角形,最后利用△ABF≅△ACG进一步求解即可;②连接BC,再连接EF、DG并延长分别交BC于点M、N,首先根据题意求得BM=DE=NC,然后利用△ABC~△AED进一步求解即可.
    【详解】
    (1)在△ABD与△ACE中,
    ∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,
    ∴△ABD≅△ACE(SAS),
    ∴BD=CE;
    (2)①连接AF、AG,
    ∵AF、AG分别为Rt△ABD、Rt△ACE的斜边中线,
    ∴AF=BD=BF,AG=CE=GC,
    又∵BD=CE,FG=BD,
    ∴AF=AG=FG,
    ∴△AFG为等边三角形,
    易证△ABF≅△ACG(SSS),
    ∴∠BAF=∠B=∠C=∠CAG,
    ∴∠C=15°;
    ②连接BC、DE,再连接EF、DG并延长分别交BC于点M、N,
    ∵△ABC与△AED都是等腰直角三角形,
    ∴DE∥BC,
    ∵F、G分别是BD、CE的中点,
    ∴易证△DEF≅△BMF,△DEG≅△NCG(ASA),
    ∴BM=DE=NC,
    若四边形DEFG为矩形,则DE=FG=MN,
    ∴,
    ∵DE∥BC,
    ∴△ABC~△AED,
    ∴,
    ∵AC=4,
    ∴AD=,
    ∴当AD的长为时,四边形DEFG为矩形.
    本题主要考查了全等三角形性质与判定和相似三角形性质与判定及直角三角形性质和矩形性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
    15、(1);(2)且;(3)
    【解析】
    (1)根据一次函数平移的规律列方程组求解;
    (2)将两点的坐标代入解析式得出方程组,根据方程组可得出a,b的等量关系式,然后根据b的取值范围,可求出a的取值范围,另外注意一次函数中二次项系数2a-3≠0的限制条件;
    (3)先根据点P的坐标求出动点P所表示的直线表达式,再根据直线与平行得出结果.
    【详解】
    解:(1)依题意得

    .
    (2)过点和点

    两式相减得;
    解法一:,
    当时,;
    当时,.
    ,随的增大而增大
    且,
    .
    ,.
    且.
    解法二:

    ,解得.

    ∴.
    且.
    (3)设,
    .
    消去得,
    动点的图象是直线.
    不在上,
    与平行,
    ,.
    本题考查一次函数的图像与性质,以及一次函数平移的规律,掌握基本的性质是解题的关键.
    16、(1)5;(2)当t=2或t=时,△PAE为直角三角形;
    【解析】
    (1)在直角△ADE中,利用勾股定理进行解答;
    (2)需要分类讨论:AE为斜边和AP为斜边两种情况下的直角三角形;
    【详解】
    解:(1)∵矩形ABCD中,AB=9,AD=1,
    ∴CD=AB=9,∠D=90°,
    ∴DE=9﹣2=3,
    ∴AE==5;
    (2)①若∠EPA=90°,t=2;
    ②若∠PEA=90°,(2﹣t)2+12+52=(9﹣t)2,
    解得t=.
    综上所述,当t=2或t=时,△PAE为直角三角形;
    本题考查了四边形综合题,综合勾股定理,直角三角形的性质,一元二次方程的应用等知识点,要注意分类讨论,以防漏解.
    17、(1)答案见详解;(1),;(3)1.
    【解析】
    (1)如图1中,根据平行四边形的定义,画出第为5,高为3的平行四边形即可.
    (1)如图1中,根据菱形的判定画出图形即可.
    (3)根据矩形的定义画出图形即可.
    【详解】
    解:(1)如图1中,平行四边形即为所求;
    (1)如图1中,菱形即为所求.,,
    故答案为,;
    (3)如图3中,矩形即为所求,;
    故答案为1.
    本题考查勾股定理,菱形的性质,矩形的性质等知识,熟练掌握基本知识是解题的关键.
    18、(1)b2;(2).
    【解析】
    (1)利用完全平方公式展开,然后再合并同类项即可;
    (2)利用分式的基本性质通分,约分,然后再根据同分母的分式的加法法则计算即可.
    【详解】
    (1)原式= ;
    (2)原式=

    本题主要考查整式的加减及分式的加减运算,掌握去括号,合并同类项的法则和分式的基本性质是解题的关键.
    一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    19、乙
    【解析】
    根据方差的定义,方差越小数据越稳定,即可得出答案.
    【详解】
    解:∵甲、乙的平均成绩都是9环,方差分别是S甲2=0.8,S乙2=0.35,
    ∴S甲2>S乙2,
    ∴成绩比较稳定的是乙;
    故答案为:乙.
    本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
    20、且
    【解析】
    当x≠﹣1时,解出x含a的表达式,令其小于零且不等于-1,直接解出即可.
    【详解】
    当x≠﹣1时,1x-a=0,x=<0,解得a<0,
    且,解得a≠﹣1.
    综上所述且.
    故答案为:且.
    本题考查解分式方程和解不等式,关键在于牢记分式有意义的条件,熟练掌握解方程的步骤.
    21、.
    【解析】
    要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考虑用公式法继续分解因式.因此,
    先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可:.
    考点:提公因式法和应用公式法因式分解.
    22、
    【解析】
    如图作PE⊥AB于E,EP的延长线交CD于F,作PGLBC于G.则四边形AEFD是矩形,四边形EBGP是矩形,四边形PFCG是矩形,设AE=DF=a,EP=B G=b,BE=PG=c,PF=CG=d,则有a2+b2=9,c2+a2=16,c2+d2=25,可得2(a2+c2)+b2+d2=9+16+25推出b2+d2=18,即可解决问题.
    【详解】
    解:如图作PELAB于E,EP的延长线交CD于F,作PGLBC于G.则四边形AEFD是矩形,四边形EBGP是矩形,四边形PFCG是矩形.
    设AE=DF=a,EP=BG=b,BE=PG=c,PF=CG=d,则有:a2+b2=9,c2+a2=16,c2+d2=25
    ∴2(a2+c2)+b2+d2=9+16+25
    ∴b2+d2=18
    ∴PD= ,故答案为 .
    本题考查矩形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
    23、
    【解析】
    试题解析:设由题意可得:.
    故答案为.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
    24、(1)A(1,0),B(3,0);(2)1
    【解析】
    分析:(1)通过解方程组组可得到C点坐标;
    (2)先确定A点和B点坐标,然后根据三角形面积公式求解.
    详解:(1)由得
    ∴.
    (2)在中,当时,

    在中,当时,


    ∴ .
    点睛:本题考查了两直线相交或平行问题:两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解;若两条直线是平行的关系,那么他们的自变量系数相同,即k值相同.
    25、DE∥FB
    【解析】
    试题分析:DE与FB平行,根据已知条件可证明DFBE是平行四边形,由平行四边形的性质可得DE∥FB.
    试题解析:
    DE∥FB.
    因为 在□ABCD中,
    AD∥BC (平行四边形的对边互相平行).
    且 AD=BC (平行四边形的对边相等),
    所以 DF∥BE,
    又 CE=AF,DE=AD﹣AF,BE=BC﹣CE,
    所以 DF=BE,
    所以 DFBE是平行四边形,(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
    所以 DE∥FB.(平行四边形的对边相等).
    26、(1)BD⊥CE;(2)成立,理由见解析;(3)HD⊥BC,证明见解析;
    【解析】
    (1)根据等腰直角三角形的性质解答;(2)延长延长BD、CE,交于点M,证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形的性质、垂直的定义解答;(3)过点D作DN⊥AB于点N,根据题意判定△NDH是等腰直角三角形,从而使问题得解.
    【详解】
    解:(1)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形且点D、E分别在线段AB、AC上,
    ∴BD⊥CE;
    (2)成立
    证明:延长BD、CE,交于点M
    ∵∠BAC=∠DAE=90°
    ∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC
    即∠BAD=∠CAE
    又∵AB=AC,AD=AE
    ∴△ABD≌△ACE(SAS)
    ∴∠ABD=∠ACE
    在等腰直角△ABC中,∠ABD +∠DBC+∠ACB=90°
    ∴∠ACE +∠DBC+∠ACB=90°
    ∴在△MBC中,∠M=180°-(∠ACE +∠DBC+∠ACB)= 90°
    ∴BD⊥CE
    (3)HD⊥BC
    证明:过点D作DN⊥AB于点N.
    ∵AB=AC,BF=CF,
    ∴AF⊥BC
    又∵AD平分∠BAF,且DN⊥AB
    ∴DN=DF
    在Rt△BND中,∠B=45°
    ∴∠NDB=45°,NB=ND
    ∴NB=DF
    ∵BH=2DF
    ∴BH=2NB
    而BH=NB+NH
    ∴NB=NH=ND
    ∴△NDH是等腰直角三角形,∠NDH=45°
    ∴∠HDB=∠NDH +∠NDB= 45°+ 45°=90°
    ∴HD⊥BC
    本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质,掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键.
    题号





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