2024-2025学年江苏省泰兴市黄桥教育联盟数学九上开学考试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省泰兴市黄桥教育联盟数学九上开学考试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．4+3B．2C．2+6D．4
3、（4分）甲、乙两班分别由10名选手参加健美比赛，两班参赛选手身高的方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.5，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班选手比乙班选手的身高整齐B．乙班选手比甲班选手的身高整齐
C．甲、乙两班选手的身高一样整齐D．无法确定哪班选手的身高整齐
4、（4分）的相反数是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）老师在计算学生每学期的总成绩时，是把平时成绩和考试成绩按如图所示的比例计算.如果一个学生的平时成绩为70分，考试成绩为90分，那么他的学期总评成绩应为（ ）
A．70分 B．90分 C．82分 D．80分
6、（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7、（4分）如图，在菱形中，对角线交于点，，则菱形的面积是( )
A．18B．C．36D．
8、（4分）若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知整数x、y满足+3=，则的值是______．
10、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PE⊥AC于F，则EF的最小值_____．
11、（4分）计算（4+）÷3的结果是_____．
12、（4分）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离AE、CF分别是1cm、2cm，则线段EF的长为 ______cm．
13、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；
（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．
①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
15、（8分）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．EF过点O且与ABCD分别相交于点E，F
（1）如图①，求证：OE=OF；
（2）如图②，若EF⊥DB，垂足为O，求证：四边形BEDF是菱形．
16、（8分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F．
（1）如图①，证明：BE＝BF．
（2）如图②，若∠ADC＝90°，O为AC的中点，G为EF的中点，试探究OG与AC的位置关系，并说明理由．
（3）如图③，若∠ADC＝60°，过点E作DC的平行线，并在其上取一点K（与点F位于直线BC的同侧），使EK＝BF，连接CK，H为CK的中点，试探究线段OH与HA之间的数量关系，并对结论给予证明．
17、（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（0，4），点C在x轴的正半轴上，点D为OC的中点．
（1）当BD与AC的距离等于2时，求线段OC的长；
（2）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线BD的解析式．
18、（10分）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表：
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）与向量相等的向量是__________．
20、（4分）若是二次函数，则m=________ ．
21、（4分）一组数据2，x，4，6，7，已知这组数据的众数是6，那么这组数据的方差是________．
22、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB且E为垂足，如果∠A＝125°，则∠BCE＝____.
23、（4分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连接DE，若DE=2.5 cm，AB=4 cm，则BC的长为_______cm.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某商家预测“华为P30”手机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳，面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购买手机壳的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．
（1）第一批手机壳的进货单价是多少元？
（2）若两次购进于机壳按同一价格销售，全部传完后，为使得获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少？
25、（10分）如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝4，CE＝10，求CD的长．
26、（12分）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点。
（1）求函数的图像上和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；
② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式；
【详解】
A. ，被开方数是分数，不是最简二次根式；
B. ，被开方数是小数，不是最简二次根式；
C. ，符合条件，是最简二次根式；
D. ，被开方数可以开方，不是最简二次根式.
故选C
本题考核知识点：最简二次根式. 解题关键点：理解最简二次根式的条件.
2、B
【解析】
将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
【详解】
解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC=PF，
∵PB=EF，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴tan∠ACB==，
∴∠ACB=30°，AC=2AB=，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=90°，
∴AE==.
故选B．
本题考查轴对称—最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
3、A
【解析】
∵=1.5，=2.5，
∴＜，
则甲班选手比乙班选手身高更整齐，
故选A．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4、B
【解析】
根据相反数的意义，可得答案．
【详解】
解：的相反数是-，
故选B．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
5、C
【解析】
根据平时成绩和考试成绩的占比，可计算得出总评成绩.
【详解】
70.
故答案为：C
考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．解题时要认真审题，不要把数据代错．
6、C
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行求解，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.
【详解】
第1个和第4个图既是轴对称图形又是中心对称图形，中间两个只是轴对称图形，不是中心对称图形.
故选C.
7、B
【解析】
先求出菱形对角线的长度，再根据菱形的面积计算公式求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2BO，AC=2AO，
∵AO=3,BO=3，
∴BD=6，AC=6，
∴菱形ABCD的面积=×AC×BD=×6×6=18.
故选B.
此题主要考查菱形的对角线的性质和菱形的面积计算．
8、B
【解析】
首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得m的范围．
【详解】
解：，
解①得x＜m，
解②得x≥1．
则不等式组的解集是1≤x＜m．
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的整数解是1，4，5，2．
∴2＜m≤3．
故选：B．
本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、6或2或2
【解析】
由+3==6，且x、y均为整数，可得=，3=0或=3，3=3或=0，3=，分别求出x、y的值，进而求出．
【详解】
∵+3==6，
又x、y均为整数，
∴=，3=0或=3，3=3或=0，3=，
∴x=72，y=0或x=18，y=2或x=0，y=8，
∴=6或2或2．
故答案为：6或2或2．
本题考查了算术平方根，二次根式的化简与性质，进行分类讨论是解题的关键．
10、2.4
【解析】
根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【详解】
连接AP,
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中,∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：12×4=12×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4
此题考查勾股定理，矩形的判定与性质，解题关键在于得出四边形AEPF是矩形
11、2
【解析】
先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算.
【详解】
原式
.
故答案为：.
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
12、3
【解析】
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°.
∵AE⊥l，CF⊥l，
∴∠E=∠F=90°,∠EAB+∠ABE=90°,∠FBC+∠BCF=90°.
∵∠ABE+∠ABC+∠FBC=180°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC.
在△ABE和△BCF中,
，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴BE=CF=2cm，BF=AE=1cm，
∴EF=BE+BF=2+1=3cm.
故答案为3.
13、24.
【解析】
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）①；②当 时，四边形PBQD是菱形.
【解析】
(1)先证明△POD≌△QOB，从而得OP=OQ，再由OB=OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得结论；
(2)①根据PD=AD-AP即可得；
②由菱形的性质可得BP=PD=8-t，再由∠A=90°，根据勾股定理可得t2+62=(8-t)2，求出t值即可.
【详解】
(1)在矩形ABCD中，，
，
∵点O是BD的中点，
，
在△POD和△QOB中，
，
∴△POD≌△QOB，
∴OP=OQ，
又∵OB=OD，
四边形PBQD是平行四边形；
(2)①，
∴PD=8-AP=(8-t)cm；
②∵四边形PBQD是菱形，
∴BP=PD=8-t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴AP2+AB2=BP2，
即t2+62=(8-t)2，
解得：t=，
即当s时，四边形PBQD是菱形.
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
15、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
(1)由四边形ABCD是平行四边形，得到OB=OD，AB∥CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先判定四边形BEDF是平行四边形，继而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得结论.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠EBO=∠FDO，
在△OBE与△ODF中，，
∴△OBE≌△ODF(ASA)，
∴OE=OF；
(2)∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．
16、（1）详见解析；（2）GO⊥AC;（3）AH=OH
【解析】
（1）根据平行线的性质得出∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，再利用ED平分∠ADC，即可解答
（2）连接BG,AG，根据题意得出四边形ABCD是矩形,再利用矩形的性质，证明△ABG≌△CEG,即可解答
（3）连接AK,BK,FK，先得出四边形BFKE是菱形,，再利用菱形的性质证明△KBE,△KBF都是等边三角形,再利用等边三角形的性质得出△ABK≌△CEK，最后利用三角函数即可解答
【详解】
（1）证明：如图①中，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以，AD∥EC，AB∥CD，
所以，∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，
因为ED平分∠ADC，
所以，∠ADF＝∠EDC，
所以，∠E＝∠EFB，
所以，BE＝BF
(2)解:如图⊙中,结论:GO⊥AC
连接BG,AG
∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=90°,
四边形ABCD是矩形,
∠ABC=∠ABE=90°,
由(1)可知:BE=BF,
∵∠EBF=90°,EG=FG,
∴∠E=45°,∠GBF=∠GBE=45°,BG=GE=GF,
∵∠DCE=90°
∴∠E=∠EDC=45°,
∴DC=CE=BA,
∵∠ABG=∠E=45°,AB=EC,BG=EG,
∴△ABG≌△CEG(SAS),
∵GA=GC
∴AO=OC.
∴GO⊥AC
(3)解:如图⊙中,连接AK,BK,FK
∵BF=EK,BF∥EK,
∴四边形BFKE是平行四边形,
∵BF=BE,
∴四边形BFKE是菱形,
∵边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠ABC=60°,∠DCB=∠DAB=120°
∴∠EBF=120°,
∴∠KBE=∠KBF=60°
BF=BE=FK=EK,
∴△KBE,△KBF都是等边三角形,
∴∠ABK=∠CEK=60°,∠FEB=∠FEK=30
∴∠CDE=∠CED=30°
∴CD=CE=BA,
∵BK=EK,
∴△ABK≌△CEK(SAS)
∴AK=CK,∠AKB=∠CKB
∴∠AKC=∠BKE=60°
∴△ACK是等边三角形
∵OA=OC,CH=HK
∴AK=2OH,AH⊥CK,
∴AH=AK·cs30°= AK
∴AH= OH.
此题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线
17、（1）；（2） y＝－x＋1.
【解析】
（1）作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；
（2）根据平行四边形的性质可得出DE⊥OC，利用等腰三角形的三线合一可得出△OEC为等腰三角形，结合OE⊥AC可得出△OEC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出点C、D的坐标，由点B、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线BD的解析式．
【详解】
（1）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则G（0，6），
∵BD∥AC，BD与AC的距离等于2，
∴BF=2，
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=1，点G为AB的中点，
∴FG=BG=AB=2，
∴△BFG是等边三角形，∠ABF=60°，
∴∠BAC=30°，
设OC=x，则AC=2x，
根据勾股定理得：OA==x，
∵OA=8，
∴x=，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（，0）；
（2）如图：
∵四边形ABDE为平行四边形，
∴DE∥AB，
∴DE⊥OC，
∵点D为OC的中点，
∴△OEC为等腰三角形，
∵OE⊥AC，
∴△OEC为等腰直角三角形，
∴∠C=15°，
∴点C的坐标为（8，0），点D的坐标为（1，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（0，1）、D（1，0）代入y=kx+b，
得：，解得：，
∴直线BD的解析式为y=-x+1．
本题考查了三角形的中位线、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形、平行四边形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）牢记30°角所对的直角边为斜边的一半；（2）根据平行四边形的性质结合等腰直角三角形的性质求出点C、D的坐标．
18、（1）y=200x+74000（10≤x≤30）
（2）有三种分配方案，
方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区；
方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区；
方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区；
（3）派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高．
【解析】
（1）根据题意和表格中的数据可以得到y关于x的函数关系式；
（2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题；
（3）根据（1）中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．
【详解】
解：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往B地区x台乙型联合收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型联合收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台，
∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）；
（2）由题意可得，
200x+74000≥79600，得x≥28，
∴28≤x≤30，x为整数，
∴x=28、29、30，
∴有三种分配方案，
方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区；
方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区；
方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区；
（3）派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高，
理由：∵y=200x+74000中y随x的增大而增大，
∴当x=30时，y取得最大值，此时y=80000，
∴派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高．
本题考查一次函数的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数和不等式的性质解答．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
由于向量,所以.
【详解】
故答案为：
此题考查向量的基本运算，解题关键在于掌握运算法则即可.
20、-1.
【解析】
试题分析：根据二次函数的定义可知：，解得：，则m=-1．
21、3.1
【解析】
根据众数的定义先求出x的值，然后再根据方差的公式进行计算即可得．
【详解】
解：已知一组数据1，x，4，6，7的众数是6，说明x=6，
则平均数=（1+6+4+6+7）÷5=15÷5=5，
则这组数据的方差==3.1，
故答案为3.1．
本题考查了众数、方差等，熟练掌握众数的定义、方差的计算公式是解题的关键．
22、1
【解析】
分析：根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．
详解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°-125°=55°，
∵CE⊥AB，
∴在Rt△BCE中，∠BCE=90°-∠B=90°-55°=1°．
故答案为1．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
23、9
【解析】
根据题意先证△ABD≌△GBD，得出AB=BG，D为AG中点，再由E为AC中点，根据中位线的性质即可求解.
【详解】
∵BF平分∠ABC，∴∠ABD=∠GBD，
∵AG⊥BF，∴∠BDG=∠BDA，
又BD=BD，∴△ABD≌△GBD
∴BG=AB=4cm,AD=GD，
故D为AG中点，又E为AC中点
∴GC=2DE=5cm，
∴BC=BG+GC=9cm.
此题主要考查线段的长度求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定与中位线的性质.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）8元；（2）1元．
【解析】
（1）设第一批手机壳进货单价为x元，则第二批手机壳进货单价为（x+2）元，根据单价=总价÷单价，结合第二批手机壳的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设销售单价为m元，根据获利不少于2000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设第一批手机壳进货单价为x元，
根据题意得：3• = ，
解得：x=8，
经检验，x=8是分式方程的解．
答：第一批手机壳的进货单价是8元；
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m-8）+600（m-10）≥2000，
解得：m≥1．
答：销售单价至少为1元．
本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
25、CD=8.
【解析】
根据直角三角形的性质得出AE=CE=10，进而得出DE=6，利用勾股定理解答即可．
【详解】
∵，为边上的中线，
∴.
∵，
∴.
又∵为边上的高，
∴.
此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=1．
26、（1）；（2）2≤m≤4
【解析】
（1）根据和谐点的横坐标与纵坐标相同，设和谐点的坐标为（a,a）,代入可得关于a的方程，解方程可得答案．
（2）根据和谐点的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，方程的根为＝，从而求得a=-1，c＝−，所以函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【详解】
（1）设和谐点的坐标为（a,a），则a=-2a+1
解得：a=，
∴函数的图像上和谐点的坐标为.
（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，
又方程的根为，
解得a＝﹣1，c＝．
故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，
如下图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．
由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4.
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，正确理解和谐点的概念是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800
1600
B地区
1600
1200