2024-2025学年江苏省连云港市沙河中学数学九年级第一学期开学调研模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省连云港市沙河中学数学九年级第一学期开学调研模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在平面直角坐标系中，把△ABC 先沿 x 轴翻折，再向右平移 3 个单位得到△ABC 现把这两步 操作规定为一种变换．如图，已知等边三角形 ABC 的顶点 B、C 的坐标分别是（1，1）、（3，1）， 把三角形经过连续 5 次这种变换得到三角形△ABC，则点 A 的对应点 A 的坐标是（ ）
A．（5，﹣）B．（14，1+）C．（17，﹣1﹣）D．（20，1+）
2、（4分）已知两条对角线长分别为和的菱形，顺次连接它的四边的中点得到的四边形的面积是 （ ）
A．100B．48C．24D．12
3、（4分）如图，在中，，，于点，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）数据按从小到大排列为1，2，4，x，6，9，这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数是（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
5、（4分）对某小区20户家庭某月的节约用水情况进行分组统计，结果如下表：
由上表可知，这20户家庭该月节约用水量的平均数是（ ）
A．1.8tB．2.3tC．2.5tD．3 t
6、（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线平分对角
C．菱形的对角线互相平分 D．梯形的对角线互相垂直
7、（4分）将一元二次方程-6x-5=0化成=b的形式，则b等于（ ）
A．4B．-4C．14D．-14
8、（4分）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，…，按图所示的方式放置．点A1、A2、A3，…和点B1、B2、B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知C1（1，﹣1），C2（，），则点A3的坐标是_____．
10、（4分）计算的结果是_____。
11、（4分）若式子有意义，则x的取值范围是_____．
12、（4分）点在函数的图象上，则__________
13、（4分）已知，菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为_________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（要求：根据题意先画出图形，并写出已知、求证，再证明）.
15、（8分）已知如图：直线AB解析式为，其图像与坐标轴x,y轴分别相交于A、B两点，点P在线段AB上由A向B点以每秒2个单位运动，点C在线段OB上由O向B点以每秒1个单位运动（其中一点先到达终点则都停止运动），过点P与x轴垂直的直线交直线AO于点Q. 设运动的时间为t秒（t≥0）.
（1）直接写出：A、B两点的坐标A( )，B( ).
∠BAO=______________度；
（2）用含t的代数式分别表示：CB＝ ，PQ＝ ；
（3）是否存在t的值，使四边形PBCQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）（3分）是否存在t的值，使四边形PBCQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，
并探究如何改变点C的速度（匀速运动），使四边形PBCQ在某一时刻为菱形，求点C的速度和时
间t.
16、（8分）已知：如图，，是□ABCD的对角线上的两点，，求证：．
17、（10分）在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．求a的值．
18、（10分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E是 BC边上任意一点， AEF 90°，且EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．求证：AE=EF．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知，则的值为__________．
20、（4分）若关于x的方程(m-2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________．
21、（4分）如图，直线y=-x+4分别与x轴，y轴交于点A，B，点C在直线AB上，D是y轴右侧平面内一点，若以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标是_______________．
22、（4分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，直线EF经过对角线BD的中点O，分别交边AD，BC于点E，F，点G，H分别是OB，OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长_________________.
23、（4分）下面是小明设计的“过三角形的一个顶点作该顶点对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC．
求作：直线AD，使AD∥BC．
作法：如图2：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC为半径作弧，两弧交于点E、F；
②作直线EF，交AC于点O；
③作射线BO，在射线BO上截取OD（B与D不重合），使得OD = OB；
④作直线AD．
∴ 直线AD就是所求作的平行线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ＯA =OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（_______________________）（填推理依据）．
∴AD∥BC（__________________________________）（填推理依据）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）阅读材料I:
教材中我们学习了:若关于的一元二次方程的两根为，根据这一性质，我们可以求出己知方程关于的代数式的值．
问题解决:
（1）已知为方程的两根，则: __ _，__ _，那么_ (请你完成以上的填空)
阅读材料:II
已知，且．求的值．
解:由可知
又且，即
是方程的两根．
问题解决:
（2）若且则 ；
（3）已知且．求的值．
25、（10分）四边形中，，，，，垂足分别为、.
（1）求证：；
（2）若与相交于点，求证：.
26、（12分）当自变量取何值时，函数与的值相等？这个函数值是多少？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
首先把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△ABC得到点A 的坐标为（2+3，-1- ），同样得出A 的坐标为（2+3+3，1+），…由此得出A 的坐标为（2+3×5，-1-），进一步选择答案即可．
【详解】
∵把△ABC先沿x轴翻折,再向右平移3个单位得到△ABC得到点A1的坐标为(2+3,−1−)，
同样得出A的坐标为(2+3+3,1+)，
…
A的坐标为(2+3×5,−1−),即(17,−1−).
故选：C.
此题考查坐标与图形变化-对称，坐标与图形变化-平移，规律型：点的坐标，解题关键在于根据题意找出规律.
2、D
【解析】
顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半．
【详解】
解：如图
∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EF∥GH∥AC，EF=GH=AC，
EH=FG=BD，EH∥FG∥BD
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=BD=3cm，EF=AC=4cm，
∴矩形EFGH的面积=EH×EF=3×4=12cm2，
故选D．
本题考查了菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半．
3、A
【解析】
易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD＝∠A＝30°，那么BC＝2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到正确的结论．
【详解】
解：∵
∴∠BDC＝90°，
∵∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD＝∠A＝30°；
Rt△BCD中，∠BCD＝30°，则BC＝2BD；
由①得：S△BCD：S△BAC＝(BD：BC)2＝1：4；
故选：A．
此题主要考查的是直角三角形和相似三角形的性质；
相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
4、D
【解析】
试题分析：因为数据的中位数是5，所以（4+x）÷2=5，得x=1，则这组数据的众数为1．故选D．
考点：1.众数；2.中位数．
5、B
【解析】
根据每组的组中值利用加权平均数的定义列式计算即可得．
【详解】
解：由上表可知，这20户家庭该月节约用水量的平均数是
=2.3（t），
故选B．
本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
6、C
【解析】
根据平行四边形、矩形、菱形、梯形的性质判断即可.
【详解】
解：A、“平行四边形的对角线相等”是假命题；
B、“矩形的对角线平分对角”是假命题；
C、“菱形的对角线互相平分”是真命题；
D、“梯形的对角线互相垂直”是假命题.
故选C.
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.
7、C
【解析】
解：因为x2－6x－5＝0
所以x2－6x=5，
配方得x2－6x+9=5+9，
所以，
所以b=14，
故选C．
本题考查配方法，掌握配方法步骤正确计算是解题关键．
8、A
【解析】
根据正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数可选出答案．
【详解】
解：、是的正比例函数，故此选项正确；
、是一次函数，故此选项错误；
、是反比例函数，故此选项错误；
、是一次函数，故此选项错误；
故选：．
本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握正比例函数是形如是常数，的函数．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（，）
【解析】
试题解析：连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点E、F、G，
∵正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，
∴A1与C1关于x轴对称，A2与C2关于x轴对称，A3与C3关于x轴对称，
∵C1（1，-1），C2（，），
∴A1（1，1），A2（，），
∴OB1=2OE=2，OB2=OB1+2B1F=2+2×（-2）=5，
将A1与A2的坐标代入y=kx+b中得：，
解得：，
∴直线解析式为y=x+，
设B2G=A3G=t，则有A3坐标为（5+t，t），
代入直线解析式得：b=（5+t）+，
解得：t=，
∴A3坐标为（，）．
考点：一次函数综合题．
10、
【解析】
根据运算顺序，先对括号里进行通分，给a的分子分母都乘以a，然后利用分式的减法法则，分母不变，只把分子相减，进而除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，并把a2-1分解因式，约分即可得到化简结果．
【详解】
解：
故答案为：
此题考查学生灵活运用通分、约分的方法进行分式的加减及乘除运算，是一道基础题．注意运算的结果必须是最简分式．
11、x≥﹣2且x≠1．
【解析】
由知，
∴，
又∵在分母上，
∴．故答案为且.
12、
【解析】
把点A（m，m+5）代入得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【详解】
解：把点A（m，m+5）代入得：
m+5=-2m+1
解得：m=.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
13、5：1（或1：5）
【解析】
先根据菱形的性质求出边长，再根据直角三角形的性质求出，得出，即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：四边形是菱形，菱形的周长为8，
，，
，，
，
，
，
故答案为：5：1（或1：5）.
本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含角的直角三角形的判定是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
分别作出AB、AC的垂直平分线，得到点M，N，根据全等三角形的性质、平行四边形的判定和性质证明结论．
【详解】
如图，点M，N即为所求作的点，
已知：如图，△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，连接MN，
求证：MN∥BC，MN=BC
证明：延长MN至点D，使得MN=ND，连接CD，
在△AMN和△CDN中，
，
∴△AMN≌△CDN（SAS）
∴∠AMN=∠D，AM=CD，
∴AM∥CD，即BM∥CD，
∵AM=BM=CD，
∴四边形BMDC为平行四边形，
∴MN∥BC，MD=BC，
∵MN＝MD，
∴MN＝BC．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15、（1），∠BAO=30°；（2）；（3）见解析;(4) 当点C的速度变为每秒个单位时，时四边形PBCQ是菱形.
【解析】
【分析】(1)设x=0,y=0可分别求出A,B的坐标；（2）纵坐标的差等于线段长度；（3）当PQ=BC时 ， 即，是平行四边形；（4）时，，，所以不可能是菱形；若四边形PBCQ构成菱形则，PQ=BC，
且PQ=PB时成立.
【详解】解：（1）直接写出：A、B两点的坐标，∠BAO=30°
（2）用含t的代数式分别表示：；
（3）∵
∴当PQ=BC时 ， 即，时，四边形PBCQ是平行四边形.
（4）∵时，，，
∴四边形PBCQ不能构成菱形。
若四边形PBCQ构成菱形则，PQ=BC，
且PQ=PB时成立.
则有时
BC=BP=PQ= OC=OB-BC=

∴当点C的速度变为每秒个单位时，时四边形PBCQ是菱形.
【点睛】本题考核知识点：一次函数，平行四边形，菱形的判定.此题是综合题，要用数形结合思想进行分析.
16、详见解析．
【解析】
试题分析：根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出，根据垂平行线的性质得到，根据AAS可判定；根据全等三角形的性质即可得．
试题解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定及性质．
17、7
【解析】
运用待定系数法求出直线的解析式，然后把x=-2代入解析式求出a的值。
【详解】
解：（1）设直线的解析式为y=kx+b，把A（-1，5），B（3，-3）代入，
可得：
解得：
所以直线解析式为：y=-2x+3，
把P（-2，a）代入y=-2x+3中，
得：a=7
故答案为：7
此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法解解析式．
18、见解析
【解析】
截取BE＝BM，连接EM，求出AM＝EC，得出∠BME＝45°，求出∠AME＝∠ECF＝135°，求出∠MAE＝∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可．
【详解】
证明：在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵∠B＝90°，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°
∵CF是正方形ABCD的外角的角平分线，
∴∠ECF=90°+∠DCF=90°+=135°＝∠ECF，
∵AEF 90°
∴∠AEB+=90°
又∠AEB+=90°，
∴
∵AB＝BC，BM＝BE，
∴AM＝EC，
在△AME和△ECF中
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出△AME≌△ECF．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据二次根式有意义的条件可求得x的值，继而可求得y值，代入所求式子即可求得答案.
【详解】
由题意得，
解得：x=4，
所以y=3，
所以=，
故答案为：.
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键.
20、-2
【解析】
方程(m-2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程，可得且m-2≠0，解得m=-2.
21、（2，−2）或（6，2）．
【解析】
设点C的坐标为（x，-x+4）．分两种情况，分别以C在x轴的上方、C在x轴的下方做菱形，画出图形，根据菱形的性质找出点C的坐标即可得出D点的坐标．
【详解】
∵一次函数解析式为线y＝-x+4，
令x=0,解得y=4
∴B（0，4），
令y=0,解得x=4
∴A（4，0），
如图一，∵四边形OADC是菱形，
设C（x，-x+4），
∴OC＝OA＝，
整理得：x2−6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴C（2，2），
∴D（6，2）；
如图二、如图三，∵四边形OADC是菱形，
设C（x，-x+4），
∴AC＝OA＝，
整理得：x2−8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6，
∴C（6，−2）或（2，2）
∴D（2，−2）或（−2，2）
∵D是y轴右侧平面内一点，故（−2，2）不符合题意，
故答案为（2，−2）或（6，2）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，解题的关键是确定点C、D的位置．本题属于中档题，难度不大，在考虑菱形时需要分类讨论．
22、或
【解析】
根据矩形ABCD中，AB=2，BC=6，可求出对角线的长，再由点G、H分别是OB、OD的中点，可得GH=BD，从而求出GH的长，若四边形EGFH为矩形时，EF=GH，可求EF的长，通过作辅助线，构造直角三角形，由勾股定理可求出MF的长，最后通过设未知数，列方程求出BF的长．
【详解】
解：如图：过点E作EM⊥BC，垂直为M，
矩形ABCD中，AB=2，BC=6，
∴AB=EM=CD=2，AD=BC=6，∠A=90°，OB=OD，
在Rt△ABD中，BD==2，
又∵点G、H分别是OB、OD的中点，
∴GH=BD=，
当四边形EGFH为矩形时，GH=EF=，
在Rt△EMF中，FM==，
易证△BOF≌△DOE （AAS），
∴BF=DE，
∴AE=FC，
设BF=x，则FC=6-x，由题意得：x-（6-x）=，或（6-x）-x=，，
∴x=或x=，
故答案为：或．
考查矩形的性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识，合理的作辅助线，将问题转化显得尤为重要，但是，分情况讨论容易受图形的影响而被忽略，应切实注意．
23、对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形对边平行
【解析】
根据平行四边形的判定及性质依次判断即可.
【详解】
证明：连接CD，
∵OA=OC， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∴AD∥BC (平行四边形的对边平行)，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行.
此题考查平行四边形的判定与性质，熟记定理是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）-3；-1；11；（2）；（3）．
【解析】
（1）根据根与系数的关系可求出x1+x2和x1x2的值，然后利用完全平方公式将变形为，再代值求解即可；
（2）利用加减法结合因式分解解方程组，然后求值即可；
（3）根据材料中的的解法将等式变形，然后将m和看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出m+和m•的值，然后再代值求解．
【详解】
解：（1）∵为方程的两根，
∴，
故答案为：-3；-1；11；
（2）
①×b得：
②×a得：
③-④得：
或
∴或
又∵
∴，即
故答案为：；
（3）由n2+3n-2=0可知n≠0；
∴
∴
又2m2-3m-1=0，且mn≠1，即m≠；
∴m、是方程2x2-3x-1=0的两根，
∴m+＝，m•＝；
∴．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的关系是解答此题的关键．
25、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】
证明：（1）∵BE=DF，
∴BE-EF=DF-EF，
即BF=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，又AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26、当时，函数与的值相等，函数值是.
【解析】
依题意列出方程组，解出方程组的解即可.
【详解】
解：由题意可得，
解得
∴当时，函数与的值相等，函数值是.
本题考查了函数值与自变量的关系，能依题意列出方程组，是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
节约用水量x（t）
0.5≤x＜1.5
1.5≤x＜2.5
2.5≤x＜3.5
3.5≤x＜4.5
户数
6
4
8
2