2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市道里区数学九年级第一学期开学达标测试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市道里区数学九年级第一学期开学达标测试试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
2、（4分）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
3、（4分）已知一次函数y=（m+1）x+n-2的图象经过一．三．四象限，则m，n的取值范围是（ ）
A．m＞-1，n＞2B．m＜-1，n＞2C．m＞-1，n＜2D．m＜-1，n＜2
4、（4分）要使二次根式有意义，x的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5、（4分）四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：；；；，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有
A．2种B．3种C．4种D．5种
6、（4分）已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为4，斜边为3，则另一个直角三角形斜边上的高为（ ）
A．B．C．D．5
7、（4分）下面计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）下列式子没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）有一组数据：其众数为，则的值为_____．
10、（4分）如图，直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b=0的解为x=_____．
11、（4分）一个三角形的三边分别是、1、，这个三角形的面积是_____．
12、（4分）某通讯公司的4G上网套餐每月上网费用y（单位：元）与上网流量x（单位：兆）的函数关系的图像如图所示．若该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为0.29元，则图中a的值为__________．
13、（4分）关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某村为绿化村道，计划在村道两旁种植 A、B 两种树木，需要购买这两种树苗 800 棵，A、B 两种树苗的相关信息如表：
设购买 A 种树苗 x 棵，绿化村道的总费用为 y 元，解答下列问题：
（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式．
（2）若这批树苗种植后成活了 670 棵，则绿化村道的总费用需要多少元？
（3）若绿化村道的总费用不超过 120000 元，则最多可购买 B 种树苗多少棵？
15、（8分）如图，直线l1交x轴于A（3，0），交y轴于B（0，﹣2）
（1）求直线l1的表达式；
（2）将l1向上平移到C（0，3），得到直线l2，写出l2的表达式；
（3）过点A作直线l3⊥x轴，交l2于点D，求四边形ABCD的面积．
16、（8分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论．
17、（10分）如图，△ABC中，D是BC上的一点．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
18、（10分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S．
（1）填表：
（2）①如果m=(c+b-a)(c-b+a)，观察上表猜想S与m之间的数量关系，并用等式表示出来．
②证明①中的结论．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，C、D点在BE上，∠1=∠2，BD=EC，请补充一个条件：____________，使△ABC≌△FED．
20、（4分）若方程的两根为，，则________．
21、（4分）在矩形中，，点是的中点，将沿折叠后得到，点的对应点为点.（1）若点恰好落在边上，则______,（2）延长交直线于点，已知，则______．
22、（4分）如图,已知直线y=x与反比例函数y=的图象交于A,B两点,且点A的横坐标为.在坐标轴上找一点C,直线AB上找一点D,在双曲线y=找一点E,若以O,C,D,E为顶点的四边形是有一组对角为60∘的菱形，那么符合条件点D的坐标为___.
23、（4分）比较大小: _____. (填“>”、“<"或“=")
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与双曲线在第二象限内交于点（-3，）．
⑴求和的值；
⑵过点作直线平行轴交轴于点，连结AC,求△的面积.
25、（10分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0
(1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
26、（12分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．
【详解】
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，
∴OA==8，
∴AE=2OA=16.
故选D．
本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．
2、B
【解析】
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选B．
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
3、C
【解析】
根据一次函数的图象和性质得出m+1＞0，n-2＜0，解不等式即可．
【详解】
解：∵一次函数y=（m+1）x+n-2的图象经过一．三．四象限
∴m+1＞0，n-2＜0
∴m＞-1，n＜2，
故选：C．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，关键是掌握数形结合思想．
4、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可．
【详解】
由题意得：x−3⩾0，
解得：x⩾3，
故选：D.
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义.
5、C
【解析】
根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【详解】
①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形．
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形．
①③可证明△ABO≌△CDO，进而得到AB=CD，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
判定出四边形ABCD为平行四边形．
①④可证明△ABO≌△CDO，进而得到AB=CD，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
判定出四边形ABCD为平行四边形．
故选C
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，属于中档题．
6、C
【解析】
先求出这个三角形斜边上的高，再根据全等三角形对应边上的高相等解答即可．
【详解】
解：设面积为4的直角三角形斜边上的高为h，则×3h=4，
∴h=，
∵两个直角三角形全等，
∴另一个直角三角形斜边上的高也为．
故选：C．
本题主要考查全等三角形对应边上的高相等的性质和三角形的面积公式，较为简单．
7、B
【解析】
分析：A．根据合并二次根式的法则即可判定；
B．根据二次根式的除法法则即可判定；
C．根据二次根式的乘法法则即可判定；
D．根据二次根式的性质即可判定．
详解：A．不是同类二次根式，不能合并．故选项错误；
B．÷==1．故选项正确；
C．．故选项错误；
D．=2． 故选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次根式的计算，要掌握各运算法则．二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并；乘法法则；除法法则．
8、A
【解析】
试题分析：A．没有意义，故A符合题意；
B．有意义，故B不符合题意；
C．有意义，故C不符合题意；
D．有意义，故D不符合题意；
故选A．
考点：二次根式有意义的条件．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1.
【解析】
根据众数的定义进行求解即可，即众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
【详解】
解：∵数据：2，1，1，x，5，5，6其众数为1，
∴x=1，
故答案为：1．
本题考查了众数的知识．解题的关键是熟练掌握众数的定义．
10、-1
【解析】
方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标．
【详解】
由图知：直线y=kx+b与x轴交于点（-1，0），
即当x=-1时，y=kx+b=0；
因此关于x的方程kx+b=0的解为：x=-1．
故答案为：-1
本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标解答．
11、
【解析】
首先根据勾股定理逆定理可判定此三角形是直角三角形，然后再计算面积即可．
【详解】
解：∵()2+12＝3＝()2，
∴这个三角形是直角三角形，
∴面积为：×1×＝，
故答案为：．
考查了二次根式的应用以及勾股定理逆定理，关键是正确判断出三角形的形状．
12、59
【解析】
由题意得，,解得a=59.
故答案为59.
13、
【解析】
根据一元二次方程的概念及一般形式：即可求出答案.
【详解】
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴二次项系数,
解得；
故答案为.
本题考查一元二次方程的概念，比较简单，做题时熟记二次项系数不能等于0即可.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y＝—50x＋136000；（2）111000 元.（3）若绿化村道的总费用不超过 120000 元，则最多可购买 B 种树苗 1 棵.
【解析】分析：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（800﹣x）棵，根据总费用=（购买A种树苗的费用+种植A种树苗的费用）+（购买B种树苗的费用+种植B种树苗的费用），即可求出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；
（2）根据这批树苗种植后成活了 670 棵，列出关于x的一元一次方程，求出x的值，即可求解．
（3）根据总费用不超过 120000 元，列出关于x的一元一次不等式，求解即可．
详解：（1）设购买 A 种树苗 x 棵，则购买 B 种树苗（800—x）棵，依题意得：
y＝（100＋20）x＋（150＋20）×（800—x）＝—50x＋136000
（2）由题意得：80%x＋90%（800—x）＝670
解得：x＝500
当 x＝500 时，y＝—50×500＋136000＝111000（元）．
答：若这批树苗种植后成活了 670 棵，则绿化村道的总费用需要 111000 元．
（3）由（1）知购买 A 种树苗 x 棵，购买 B 种树苗（800—x）棵时，
总费用 y＝—50x＋136000，由题意得：
—50x＋136000≤120000
解得：x≥320
∴800—x≤1．
故最多可购买 B 种树苗 1 棵．
答：若绿化村道的总费用不超过 120000 元，则最多可购买 B 种树苗 1 棵．
点睛：本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式、列出方程与不等式，明确不等关系的语句“不超过”的含义．
15、（1）直线l1的表达式为：y＝x﹣2；（2）直线l2的表达式为：y＝x+3；（3）四边形ABCD的面积＝1．
【解析】
（1）利用待定系数法求直线l1 的表达式
（2）根据一次函数沿着y轴向上平移的规律求解
（3）根据题意可知四边形为平行四边形，又各点的坐标，可直接求解
【详解】
（1）设直线l1的表达式为：y＝kx+b，
由题意可得： ，
解得： ，
所以，直线l1的表达式为：y＝ x﹣2；
（2）将l1向上平移到C（0，3）可知，向上平移了5个单位长度，由几何变换可得：直线l2的表达式为：y＝ x﹣2+5=x+3；
（3）根据题意可知AB∥CD,CB∥DA,可得四边形ABCD为平行四边形
∵已知B（0，﹣2）C（0，3）A（3，0）
∴BC＝5，OA＝3，
∴四边形ABCD的面积＝5×3＝1．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图形与几何变换，平行四边形的面积，解题关键在于利用待定系数法求出k,b的值
16、四边形BDFC是平行四边形．理由见解析。
【解析】
根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCE=∠FDE，然后利用“角角边”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可
【详解】
四边形BDFC是平行四边形．理由如下：
∵∠A=∠ABC=90°，
∴∠A＋∠ABC=180°，
∴BC∥AF，
∴∠BCE＝∠FDE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△BCE和△FDE中，
∵∠BCE＝∠FDE，CE＝DE，∠CEB=∠DEF，
∴△BCE≌△FDE(ASA) ，
∴BE＝EF，
∵CE＝DE，BE＝EF，
∴四边形BDFC为平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
17、84
【解析】
根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：在△ABD中，
∵BD2+AD2=62+82=100=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴△ADC也是直角三角形
∴DC2+AD2=AC2，即DC2=AC2－AD2=172－82=225，
∴DC=15 .
∴BC=BD+DC=6+15=21，
∴S△ABC==84 .
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
18、（1）6，30，60，4，6，10；（2）①S=m；②见解析
【解析】
（1）根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积除以2，可求得，把三边对应数值分别代入c-b+a，即得结果；
（2）①通过图表中数据分析，可得4S=m，即得S与m的关系式；
②利用平方差公式和完全平方公式，把m展开化简，利用勾股定理即可证明．
【详解】
（1）直角三角形面积S=，代入数据分别计算得：，，，由，分别代入计算得：5-4+3=4，13-12+5=6，17-15+8 =10；
（2）①结合图表可以看出：6×4÷4=6，20×6÷4=30，24×10÷4=60，即得m=4S，所以S=m；
②证明：∵m= (c+b-a)(c-b+a)
= [c+(b-a)][(c-(b-a)]= [c2-(b-a)2]= [c2-(a2+b2)+2ab]
在Rt△ABC中，c2=a2+b2，∴m=×2ab=ab，
又∵S=ab，
∴S=m．
本题考查了直角三角形的面积求法，平方差公式和完全平方公式的应用，勾股定理的应用，掌握直角三角形的三边关系以及平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、AC=DF（或∠A=∠F或∠B=∠E）
【解析】
∵BD=CE，
∴BD-CD=CE-CD，
∴BC=DE，
①条件是AC=DF时，
在△ABC和△FED中，

∴△ABC≌△FED（SAS）；
②当∠A=∠F时，
∴△ABC≌△FED（AAS）；
③当∠B=∠E时，
∴△ABC≌△FED（ASA）
故答案为AC=DF（或∠A=∠F或∠B=∠E）．
20、1
【解析】
解：∵∴
∴或.∵，∴
∴
故答案为：1．
21、6 或
【解析】
（1）由矩形的性质得出，，由折叠的性质得出，由平行线的性质得出，推出，得出，即可得出结果；
（2）①当点在矩形内时，连接，由折叠的性质得出，，，由矩形的性质和是的中点，得出，，，由证得，得出，由，得出，，，由勾股定理即可求出；
②当点在矩形外时，连接，由折叠的性质得出，，，由矩形的性质和是的中点，得出，，，由证得，得出，由，得出，由勾股定理得出：，即，即可求出．
【详解】
解：（1）四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可知，，如图1所示：
，
，
，
，
是的中点，
，
，
（2）①当点在矩形内时，连接，如图2所示：
由折叠的性质可知，，，，
四边形是矩形，是的中点，
，，，
在和中，，
，
，
，
，，，
；
②当点在矩形外时，连接，如图3所示：
由折叠的性质可知，，，，
四边形是矩形，是的中点，
，，，
在和中，，
，
，
，
，
，
即：，
，
解得：，（不合题意舍去），
综上所述，或，
故答案为（1）6；（2）或．
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质、证明三角形全等并运用勾股定理得出方程是解题的关键．
22、 (3,3)或(−3,−3).
【解析】
把A的横坐标代入直线解析式求出y的值，确定出A坐标，把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，设D（a，a），由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60°，以O、C、D、E为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，D在直线y=x上，得到点C只能在y轴上，得出E横坐标为a，把x=a代入反比例函数解析式求出y的值，确定出E坐标，由菱形的边长相等得到OD=ED，进而求出a的值，确定出满足题意D的坐标即可．
【详解】
把x=代入y=x,得：y=3,即A(,3),
把点A(,3)代入y=kx,解得：k=3，
∴反比例函数解析式为y=，
设D点坐标(a,a),由直线AB解析式可知,直线AB与y轴正半轴夹角为60∘，
∵以O、C. D. E为顶点的四边形是有一组对角为60∘的菱形,D在直线y=x上，
∴点C只能在y轴上，
∴E点的横坐标为a，
把x=a代入y=,得：y=,即E(a, ，
根据OE=ED,即：，
解得：a=±3，
则满足题意D为(3,3)或(−3,−3).
故答案为：(3,3)或(−3,−3).
考核知识点：反比例函数与几何结合.数形结合分析问题是关键.
23、
【解析】
首先分别求出两个数的平方的大小；然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出两个数的大小关系即可．
【详解】
解：，，
，
．
故答案为：．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）a=2，b=1（2）3
【解析】
试题分析：（1）因为直线与双曲线交于点B，将B点坐标分别代入直线与双曲线的解析式，即可解得 与 的值.
（2）先利用直线BC平行于 轴确定C点坐标为 ，然后根据三角形面积公式计算三角形面积即可.
试题解析：（1）由两图象相交于点B，得

解得：a=2,b=1
(2)∵点B(-3,2), 直线∥轴，
∴C点坐标为 ，BC=3，
∴ S△ABC =.
25、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
试题分析：（1）先把方程化为一般式：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，要证明无论k取任何实数，方程总有两实数根，即要证明△≥0；
（2）先利用因式分解法求出两根：x1=2，x2=2k﹣1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．
试题解析：（1）证明：方程化为一般形式为：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，
∵△=（2k+1）2﹣4（4k﹣2）=（2k﹣3）2，
而（2k﹣3）2≥0，
∴△≥0，
所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2=0，
整理得（x﹣2）[x﹣（2k﹣1）]=0，
∴x1=2，x2=2k﹣1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k﹣1，
解得k=，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k﹣1=4，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=2．
所以△ABC的周长为2．
26、方程的根
【解析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（1）取k=0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根．
【详解】
（1）∵关于x的一元二次方程x1﹣1（k﹣a）x+k（k+1）=0有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣1（k﹣1）]1﹣4k（k﹣1）=﹣16k+4＞0，
解得：k＜ ．
（1）当k=0时，原方程为x1+1x=x（x+1）=0，
解得：x1=0，x1=﹣1．
∴当k=0时，方程的根为0和﹣1．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（1）取k=0，再利用分解因式法解方程．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
树苗
单价（元/棵）
成活率
植树费（元/棵）
A
100
80%
20
B
150
90%
20
三边a，b，c
S
c+b-a
c-b+a
3，4，5
6
5，12，13
20
8，15，17
24
三边a，b，c
S
c+b-a
c-b+a
3，4，5
6
6
4
5，12，13
30
20
6
8，15，17
60
24
10