广东省韶关市乐昌市第一中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题

这是一份广东省韶关市乐昌市第一中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下面的四个图案分别是“T型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )
A. 7cm，4cm，2cmB. 5cm，5cm，6cm
C. 3cm，4cm，8cmD. 2cm，3cm，5cm
3.设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为( )
A. 15B. 20C. 25D. 20或25
4.如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则图中可以作为三角形“高”的线段有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 5条
5.如图，AB//DE，AB=DE，添加下列条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A. AC=DF B. BF=CE C. ∠A=∠D D. AC//DF
6.如图，△ABC中，AB=5，AC=4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH=2，则△ABG的面积为( )
A. 4B. 5C. 9D. 10
第4题图 第5题图 第6题图
7.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=( )
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
8.如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为( )
A. 210°B. 110°C. 150°D. 100°
第8题图
第7题图
9.如图，已知AB=AC，AB=6，BC=4，分别以A、B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( )
A. 15 B. 13 C. 11 D. 10
10.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中，正确的个数是( )
①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO；④若∠BAC=90°，且DA//BC，则BC⊥CE．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第9题图 第10题图
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠DCB=30°，BD=1，则AB的长为 ．
12.如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得BC//AD且∠ADC=30°，则这个正多边形的边数是 ．
13.如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度．
第11题图 第12题图 第13题图
14.如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，NM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB=12cm，则CM的长为 ．
15.在ΔABC中，∠A=80∘，当∠B=_______时，ΔABC是等腰三角形．
16. 如图，在平面直角坐标系中，以A(2,0)、B(0,t)为顶点作等腰直角△ABC(其中∠ABC=90°，且点C落在第一象限内)，则点C关于y轴的对称点C'的坐标为__________ (用含t的代数式表示)．
第16题图
第14题图
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题6.0分)
如图，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD.求证：∠B=∠D．
18.(本小题6.0分)
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.若∠B=35∘，∠E=20∘，求∠BAC的度数．
19.(本小题8.0分)
如图，已知：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D，作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点E、F.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)求证E是AB中点．
20.(本小题8.0分)
如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE和DE.若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数．
21.(本小题8.0分)
如图，在ΔABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1=∠2．
22.(本小题10.0分)
如图，在等腰ΔABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，分别交AB，AC于点E，D．
(1)若∠ADE=40∘，求∠DBC的度数；
(2)若BC=6，ΔCDB的周长为15，求AB的长．
23.(本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD=BD．
(1)∠1=∠2=____°．
(2)∠1与∠3相等吗？为什么？
(3)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
24.(本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,0)，B(2,0)，D为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30∘，延长DB至点E，使BE=BD，点P为x轴正半轴上一动点(BP>AB)，点M在EP上，且∠EMA=60∘，AM交BE于点N．
(1)求证：∠ANB=∠APM;
(2)求证：BP-BN=定值．
八年级2023-2024学年度期中教学质量监测
【答案】
1. A 2. B 3. C 4. D 5. A 6. B 7. C
8. A 9. D 10. C
11. 4
12. 12
13. 70
14. 4cm
15. 80°或50°或20°
16. (-t,t+2)
17. 证明：∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB与△COD中，
OA=OC ∠AOB=∠COD OB=OD ，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴∠B=∠D．
18. 解：∵∠B=35∘，∠E=20∘，
∴∠ECD=∠B+∠E=55∘．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2×55∘=110∘．
∴∠BAC=∠ACD-∠B
=110∘-35∘
=75∘．
19. 略
20. 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵∠ABE=40°．
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°．
∵BE=DE，
∴∠D=∠EBC=20°．
∴∠CED=∠ACB-∠D=40°．
21. 证明： ∵AB=AC ，点 D 是 BC 的中点，
∴∠BAD=∠CAD ，
∵AB=AC ， AE=AE ，
∴ΔABE≅ΔACE(SAS)
∴∠1=∠2 ．

22. 【小题1】
解： ∵DE 垂直平分 AB ，
∴∠AED=∠BED=90∘ ， DA=DB ，
∵∠ADE=40∘ ，
∴∠A=∠ABD=50∘ ，
又 ∵AB=AC ，
∴∠ABC=(180∘-50∘)÷2=65∘ ，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65∘-50∘=15∘ ；
【小题2】
∵DE 垂直且平分 AB ，
∴AD=BD ，
ΔBDC 的周长 =BC+BD+CD=15 ，
又 ∵BC=6 ，
∴AB=AC=9 ．

23. 解：(1)22.5；
(2)∠1=∠3．
理由是：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA=90°=∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE=180°，∠2+∠ADB+∠BHD=180°，∠AHE=∠BHD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3；
(3)AB=BD+DH，
理由是：∵在△BDH和△ADC中
∠2=∠3BD=AD∠BDH=∠ADC=90°，
∴△BDH≌△ADC(ASA)，
∴DH=DC，
∴BC=BD+DC=BD+DH，
∵AB=BC，
∴AB=BD+DH．
24. 证明：(1)连接AD，
∵∠ODB=30°，
∴∠ABD=90°-30°=60°，
由三角形的外角的性质可得
∠BAN+ANB=∠ABD=60°，
∠BAN+APM=∠EMA=60°，
∴∠ANB=∠APM；
证明：(2)截取AB长度，在x轴上作C点，使BC=AB，连接CE，
∵A(-2,0)，B(2,0)，
∴AD=BD，AB=4，
∵∠ODB=30°，
∴∠ABD=90°-30°=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵BC=AB，BE=BD，∠EBC=∠ABD=60°，
∴CE=BE=4=AB，
在△ABN和△ECP中，
∠ANB=∠APM∠ABN=∠ECP=120°AB=CE,
∴△ABN≌△ECP(AAS)，
∴BN=CP，
∴BP-BN=BP-CP=BC=AB=4，
∴BP-BN为定值．
【解析】
1. 【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2. 【分析】
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
【解答】
解：A、2+4<7，不能组成三角形；
B、5+5>6，能组成三角形；
C、3+4<8，不能组成三角形；
D、2+3=5，不能组成三角形．
故选：B．
3. 解：分两种情况：
当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10>10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25．
故选：C．
题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4. 【分析】
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．
根据三角形的高的定义，得到可以作为三角形的高的条数．
【解答】
解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条；
可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条；
可以作为△ABC的高的有BC，AC、CD共3条．
综上所述，可以作为三角形“高”的线段有：AD、CD、BD、BC、AC共5条．
故选D．
5. 解：∵AB=DE，
∵AB//DE
∴∠B=∠E，
当AC=DF时，不能判定△ABC≌△DEF，
当AB=DE时，且BC=EF，∠B=∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，
当∠A=∠D时，且BC=EF，∠B=∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，
当AC/​/DF时，∠ACB=∠DFE，∠B=∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，
故选：A．
运用全等三角形的判定可求解．
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
6. 【分析】
本题考查了角平分线的画法和性质，掌握角平分线的性质是解决问题的关键．
根据角平分线的画法得出AG是∠BAC的角平分线，然后根据角平分线的性质和三角形面积即可求解．
【解答】
解：作GM⊥AB，垂足为M，
由作法可得：AG是∠BAC的角平分线，
∵GH⊥AC，GM⊥AB，
∴GM=GH=2，
∴△ABG的面积为：12×5×2=5，
故选B．
7. 【解答】
解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
∠ACB=180°-∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠PBC=20°，
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°，
故选：C．
【分析】
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．
8. 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(5-2)×180°=540°，∠A=30°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E=510°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=(6-2)×180°=720°，
∴∠1+∠2=720°-510°=210°，
故选：A．
根据多边形的内角和定理可求解∠B+∠C+∠D+∠E=510°，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=(6-2)×180°=720°，进而可求解．
本题主要考查多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
9. 解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=6+4=10．
故选：D．
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等量代换得到△BDC的周长=AC+BC．
本题考查了作图-基本作图，解决问题的解是掌握线段垂直平分线的性质．
10. 解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB-60°-∠ADC=120°-(∠ODB+∠ADC)=120°-60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；
∵DA//BC，
∴∠DAB=∠ABC=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∵∠ACE=60°，
∴∠ECB=90°，
∴BC⊥CE，④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：C．
由等边三角形的性质得出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAC=∠BAE，由SAS证得△DAC≌△BAE得出BE=DC，∠ADC=∠ABE，则∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=180°-∠ODB-60°-∠ADC=120°-(∠ODB+∠ADC)=60°，即①正确；②正确；∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，则∠BDO=∠CEO错误，即③错误；由平行线的性质得出∠DAB=∠ABC=60°，推出∠ACB=30°，则BC⊥CE，④正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
11. 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠DCB=30°，
∴2BD=BC，
∵CD⊥AB，
∴∠A=∠DCB=30°，
∴2BC=AB，
∴AB=4BD，
∵BD=1，
∴AB=4．
故答案为：4．
根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
12. 解：如图，延长DC到E，可知∠ECB是正多边形的外角，
∵BC/​/AD
∴∠ECB=∠ADC=30°，
∴该正多边形的边数为360°÷30°=12．
故答案是：12．
根据∠ADC=30°推知该正多边形的外角是30°，进而求得这个正多边形的边数．
本题考查了平行线的性质，正多边形的定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13. 【分析】
此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．
先证明△ABE≌△CBF，可得∠BAE=∠BCF=25°；然后根据AB=BC，∠ABC=90°，求出∠ACB的度数，即可求出∠ACF的度数．
【解答】解：在Rt△ABE与Rt△CBF中，AE=CFAB=CB,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
∴∠BAE=∠BCF=25°；
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=25°+45°=70°，
故答案为70．
14. 【分析】
本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键．
根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；根据全等三角形的性质得到PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
∵MP⊥AB，NM⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90∘，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN=30∘，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60∘，
∴△PMN是等边三角形，
∴PN=PM=MN，
∴△PBM≌△MCN≌△NAP(AAS)，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=12cm，
在Rt△BMP中，∠PMB=30∘，∴2PB=BM，
∴2PB+PB=12cm，∴PB=4cm，
∴CM=4cm．
15. 【分析】
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是注意考虑全面，不要漏解．
此题要分三种情况进行讨论①∠B、∠A为底角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．
【解答】
解：∵∠A=80°，
∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B=(180°-80°)÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B=180°-80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形，
故答案为80°或50°或20°．
16. 【分析】
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及关于y轴对称的点的坐标特征，通过证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
过C作CE⊥y轴于E，并作C关于y轴的对称点C'，证明△AOB≌△BEC(AAS)，可得AO=BE=2，OB=CE=t，即可得解．
【解答】
解：过C作CE⊥y轴于E，并作C关于y轴的对称点C'，
∵A(2,0)，B(0,t)，
∴OA=2，OB=t，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ABO=∠BCE，
∵∠AOB=∠BEC，AB=BC，
∴△AOB≌△BEC(AAS)，
∴AO=BE=2，OB=CE=t，
∴C(t,t+2)，
∴C'(-t,t+2)，
故答案为(-t,t+2)．
17. 利用SAS证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18. 本题主要考查角的平分线以及三角形外角的性质．
首先，由三角形外角的性质可得∠ECD=∠B+∠E=55∘，再根据角平分线的定义可知∠ACD=2×55∘=110∘，再利用三角形外角的性质∠BAC=∠ACD-∠B，即可求得结果．
19. 略
20. 由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三个内角为60°，根据∠ABE=40°，求出∠EBC的度数，根据BE=DE，利用等边对等角得到∠EBC=∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
此题考查了等边三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
21. 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明 ΔABE≅ΔACE 是本题的关键．
由等腰三角形的性质可得 ∠BAD=∠CAD ，由“ SAS ”可证 ΔABE≅ΔACE ，可得结论．
22. 1. 由 DE 垂直平分 AB ，根据线段垂直平分线的性质，可得 ∠AED=∠BED=90∘ ， DA=DB ，又由 ∠ADE=40∘ ，即可求得 ∠ABD 的度数，又由 AB=AC ，即可求得 ∠ABC 的度数，继而求得答案；
2. 由已知条件，运用线段垂直平分线定理得到 AD=CD ，结合 BC=6 ， ΔCDB 的周长为15，求 AB 即可．
23. 【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
(1)求出∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABD=∠BAD=45°，根据角平分线的定义求出即可；
(2)根据等腰三角形的性质得出∠BEA=∠ADB=90°，根据三角形的内角和定理求出∠2=∠3即可；
(3)根据全等三角形的判定得出△BDH≌△ADC，根据全等三角形的性质得出DH=DC，即可求出答案．
【解答】
解：(1)∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=12(180°-∠ADB)=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2=12∠ABD=22.5°，
故答案为22.5；
(2)见答案；
(3)见答案．
24. 【分析】
(1)本题考查的是三角形的外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAN+ANB=∠ABD=60°，
∠BAN+APM=∠EMA=60°，即可得证；
(2)本题考查的是点的坐标与图形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质有关知识.截取AB长度，在x轴上作C点，使BC=AB，连接CE，则△ABD为等边三角形，CE=BE=4=AB，然后利用“角角边”证明△ABN和△ECP全等，根据全等三角形对应边相等BN=CP，再根据BP-CP=BC等量代换即可得解．