[数学]安徽省六校教育研究会2024-2025学年高一上学期新生入学素质测试试题(解析版)

这是一份[数学]安徽省六校教育研究会2024-2025学年高一上学期新生入学素质测试试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分.）
1. 下列各数中，比大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以，故A不合题意；
对于B，因，所以，故B不合题意；
对于C，因为，所以，故C不合题意；
对于D，因为，所以，故D符合题意.
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D．
3. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】在中，，
所以，
所以，即.
故选：C.
4. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一．已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A. 纳米B. 纳米C. 纳米D. 纳米
【答案】B
【解析】由科学记数法得，0.015毫米纳米.
故选：B．
5. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得短桌的长为宽的两倍，即有，即.
故选：B.
6. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以.
故选：A.
7. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A. 200B. 300C. 400D. 500
【答案】B
【解析】设改造后每天生产的产品件数为，则，解得，
经检验，是分式方程的根，且满足题意，
故改造后每天生产的产品件数为300.
故选：B.
8. 某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，
画树状图如下，
共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，
故他们选择同一项活动的概率是.
故选：C．
9. 如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】过点作交于点，
则，，
又，则与全等，
则，，
由平行四边形性质可得且，
故且，即四边形为平行四边形，
即有.
故选：B.
10. 如图，水平放置的矩形中，，菱形的顶点，在同一水平线上，点G与的中点重合，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点E运动到上时停止.在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，设交于点，
因为四边形为菱形，，
所以，所以是等边三角形，
因为，所以，
所以，
所以，
当时，重合部分为如图所示，
依题意，为等边三角形，则，
所以，当时，如图所示，
依题意，，则，
所以；
因为，所以当时，；
当时，同理可得；
当时，同理可得，，
综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，
当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，
当时，函数图象为一条线段，
当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，
当时，函数图象为开口向上的一段抛物线.
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分.）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】.
12. 如图，是圆的直径，的顶点均在上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则______．
【答案】
【解析】∵是圆的直径，∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为，
∵所对的弧的和为半圆，∴.
13. 如图，四边形四个顶点的坐标分别是，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为__________．
【答案】
【解析】设P为平面上一点，连接连接，相交于，
则，
所以，当且仅当为交点时等号成立，
即最小时，为对角线的交点，
易知直线的方程为，
设直线方程为，代入，
可得，解得，则直线方程为，
联立，解得，所以点的坐标为.
14. 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接.再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为.若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为______．
【答案】
【解析】设与交于点，
∵矩形，
∴，
由折叠可知，，，
设，则：，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，
解得：，经检验是原方程的解，∴.
三、解答题（共8小题，共58分.）
15. 先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
将代入，得：原式．
16. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标．
解：（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
所以反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，所以点，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
则一次函数的解析式为：．
（2）设点，
由点的坐标得，
，∴，即，
解得：或（舍去），即点．
17. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语义书，那么数学书最多还可以摆多少本？
解：（1）设书架上数学书x本，则语文书本，
根据题意得，，解得，所以，
所以书架上数学书60本，语义书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，则，
解得，所以数学书最多还可以摆90本．
18. 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动漫游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的员工共有__________人，表中x的值为__________；
（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；
（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”员工人数．
解：（1）本次调查的员工共有（人），
表中x的值为.
（2），
所以在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为.
（3）（人），
所以估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人．
19. 中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，）
解：在中，尺，，
（尺）；
在中，尺，，
（尺）；
（尺），
观察可知，春分和秋分时日影顶端为的中点，
（尺），
∴春分和秋分时日影长度为9.2尺．
20. 如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当的半径为2，时，求的值．
解：（1）连接，设与交于点F．
，∴点O、B在的垂直平分线上，
垂直平分，即，
，
，
是的直径，是的切线.
（2）的半径为2，是的直径，，
，
，
，
.
21. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线．
（1）求m的值；
（2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设的图象与x轴交点为．若，求的取值范围．
解：（1）∵点在二次函数的图象上，
，解得，
∴抛物线为，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）∵点在的图象上，
，解得，
∴抛物线为，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，
，
∴当时，函数有最小值为1，当时，函数有最大值为，
∴当时，新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
（3）的图象与x轴交点为，，
∴，
，
，
，
，解得，
所以a的取值范围为．
22. 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接．
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是__________，数量关系是__________．
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
解：（1）；
因，所以，
∵，
∴，，
在和中，
∵，∴，
∴，，
所以，即．
（2），
证明：，
又，
，则，
结合，
．
（3）①连接交于O，由（1）知，，
，且，
，
∵点F与点C关于对称，
垂直平分，
，
，∴四边形是正方形，
，
与x的函数表达式为，
由，其最小值为18．
②过D作于H，则是等腰直角三角形，
，
连接，由直角三角形性质有，
∴，
，
，则，
，解得或，
或．
游园线路
人数
国风古韵观赏线
44
世界公园打卡线
x
亲子互动漫游线
48
园艺小清新线
y