江西省抚州市黎川县第一中学2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省抚州市黎川县第一中学2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共18分，每小题3分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：A、是二元一次方程，此项不符合题意；
B、是一元一次方程，此项不符合题意；
C、是一元二次方程，此项符合题意；
D、含有两个未知数，不一元二次方程，则此项不符合题意．
故选：C．
2. 下列命题正确的是（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】D
解析：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意.
故选：D．
3. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为，
故选：．
4. 如图，已知、分别为、上的两点，且，，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
解析：解：，
，
，，
，
故选：C．
5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：；
故选：D．
6. 如图，中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）

①②③④⑤
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
解析：解：①因为∠A+∠2=90°，∠1=∠A，所以∠1+∠2=90°，即△ABC为直角三角形，故正确；
②根据CD2=AD•DB得到，再根据∠ADC=∠CDB=90°，则△ACD∽△CBD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，根据三角形内角和定理可得：∠ACB=90°，故正确；
③因为∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，无法得到两角和为90°，故错误；
④设BC的长为3x，那么AC为4x，AB为5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正确；
⑤由三角形的相似无法推出AC•BD=AD•CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故错误．
所以正确的有三个．
故选C．
二、填空题（共18分，每小题3分）
7. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为___________．
【答案】
解析：解：是一元二次方程的两个根，则
故答案为：
8. 若  ，则 的值为_____．
【答案】##
解析：解：∵ 
∴
故答案为：．
9. 如图，点是矩形内任意一点．若，，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】
解析：解：∵四边形是矩形，
∴，
设两个阴影部分的底分别为，高分别为，则，
∴；
故答案为：．
10. 如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为______m．
【答案】200
解析：解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，即，
∴．
故答案为：200．
11. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=___．
【答案】5
解析：解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=AC=3，BP=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为5
12. 在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D 点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动 设移动时间为t秒，当t为______时，为直角三角形．
【答案】秒或2秒
解析：由题易知，B(6，2)，P(t，t)，Q(2t，0)
则BP2=(6-t)2+(2-t)2；BQ2=(6-2t)2+4；PQ2=2t2；
当△PQB直角三角形时，
①BP2=BQ2+ PQ2时， (6-t)2+(2-t)2=(6-2t)2+4+2t2
解得t=2；t=0(舍去)
②BP2+BQ2= PQ2时， (6-t)2+(2-t)2+(6-2t)2+4=2t2
解得：
②BP2+PQ2=BQ2时， (6-t)2+(2-t)2+2t2= (6-2t)2+4
解得：t=0(舍去)
综上，t=或t=2
故答案为：秒或2秒
三、解答题（共30分，每小题6分）
13. 解下列方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
（1）
∴，
则，
开平方得，，
解得，；
（2）
∴，
∴或，
∴，
14. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）的值为1或
（1）
证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）
解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
15. 如图，AE为菱形ABCD的高，请用无刻度的直尺按要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，过点C画出AB边上的高CF；
（2）在图2中，过点C画出AD边上的高CH．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
（1）
如图所示，
连接菱形ABCD的对角线BD，交AE于G，连接CG并延长交AB于F，CF即为所求；
（2）
如图所示，连接菱形ABCD对角线BD，AC交于点O，连接EO并延长，交AD于H，连接CH，CH即为所求．
16. 如图，有背面完全相同正面分别是黑桃、黑桃、黑桃和梅花的四张扑克牌、一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，，，．张莉和李涵利用扑克牌与小球做游戏，游戏规则是：将四张扑克牌背面朝上洗匀，张莉从中抽取一张，记下牌面数字；李涵从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，若两人记下的数字同为奇数则张莉胜，两人记下的数字同为偶数则李涵胜，其他情况视为平局．

（1）张莉从这四张扑克牌中随机抽取一张，求抽到的扑克牌牌面数字小于的概率；
（2）请用画树状图或列表法说明这个游戏规则对双方是否公平？
【答案】（1）
（2）公平，解析如下．
（1）
解：∵扑克牌为：黑桃、黑桃、黑桃和梅花四张，其中小于的扑克牌为：黑桃、黑桃、黑桃
∴随机抽取一张，求抽到的扑克牌牌面数字小于的概率为：．
（2）
解：树状图如下：

∴张莉两次抽到奇数的结果为：，，，共种，获胜的概率为：；
李涵两次抽到偶数的结果为：，，，共种，获胜的概率为：；
两个人打成平手的结果有种；
∴张莉和李涵获胜的概率相同，游戏公平．
17. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）4．
（1）
证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）
解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
由（1）得
∴∠A =∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
四、解答题（共24分，每小题8分）
18. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
【答案】解：（1）200．
（2）补全图形，如图所示：
（3）列表如下：
∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
19. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE
（1）求证：AB⊥AE；
（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．
【答案】（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．
（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．
解析：证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，
∴∠DCE=90°，CD=CE
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，
即∠BCD=∠ACE
∵在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠BAE=45°+45°=90°
∴AB⊥AE
（2）∵BC2=AD•AB，BC=AC，
∴AC2=AD•AB
∴
∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB
∴∠CDA=∠BCA=90°
∵∠DAE=90°，∠DCE=90°，
∴四边形ADCE为矩形
∵CD=CE，
∴四边形ADCE为正方形.
20. 如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC．
（1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长．
（2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF•AC．

【答案】（1）（2）证明见解析
解析：（1）如图①．
∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5；
（2）如图②．
∵DF∥BE，∴．
∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF•AC．
五、解答题（共18分，每小题9分）
21. 如图，有总长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

（1）如果设花圃的宽米，则长多少米？（用含的代数式表示）；
（2）如果要使花圃面积为45平方米，那么花圃的宽应为多少米？
（3）如果要在两个矩形的一边各开一个1.5米宽的门（做门材料不占用篱笆），且花圃的总面积为54平方米，那么花圃的宽应为多少米？
【答案】（1）
（2）的长应为5米
（3）这时的应为6米
（1）
由题意，得
米，
即的长是米．
（2）
由（1）题结合题意得，
解得，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，（符合题意）．
所以的长应为5米．
（3）
依题意，得，
解得，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，（符合题意）．
所以这时的长应为6米．
22. 如图，在矩形中，，．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为，
（1）当秒时，S的值是多少？
（2）若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由．
【答案】（1）
（2）当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似，理由见解析
（1）
解：当秒时，则，，，，，
由
（2）
解：当点F在矩形的边上的边移动时，在和中，，
①若，即
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
所以当时，
②若即，解得
经检验，是分式方程的解且符合题意，
所以当时， ，
综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
六、解答题（共12分）
23. 【问题发现】
（1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．
【答案】（1）BP=CE，理由见解析；（2），理由见解析；（3）
解析：解：（1）BP=CE，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=60°，
又∵△PAE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，
∴∠BAP=∠EAC，
∴△ABP≌ACE（SAS）
∴BP=CE；
（2），理由如下：
如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠ACE=∠BAC=45°，
∴，
∴，
∵△APE为等腰直角三角形，∠APE=90°，
∴∠PAE=45°，
∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP∽△CAE，
∴，
∴；
（3）连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G，
∵四边形ABCD是正方形，，
∴，∠ABD=∠BAC=45°，∠AFB=∠AFD=90°，
∴
∴∠FAP+∠AFP=90°，
又∵△APE是等腰直角三角形，
∴AP=EP，∠APE=90°，
∴∠APF+∠EPG=90°，
∴∠FAP=∠EPF，
又∵∠AFP=∠EGP=90°，
∴△AFP≌△PGE（AAS），
∴PG=AF=2，EG=FP，
设FP=GE=x，则BG=BF+FP+PG=4+x，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴．
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣