2024-2025学年广西钦州市第一中学九上数学开学联考试题【含答案】

这是一份2024-2025学年广西钦州市第一中学九上数学开学联考试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2005B．2003C．﹣2005D．4010
2、（4分）不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB=CD，AB∥CDB．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB=AD，BC=CDD．AB=CD，AD=BC
3、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．抛掷一枚硬币10次，正面朝上必有5次；
B．掷一颗骰子，点数一定不大于6；
C．为了解某种灯光的使用寿命，宜采用普查的方法；
D．“明天的降水概率为90%”，表示明天会有90%的地方下雨.
4、（4分）在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则（ ）
A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠A＝∠B
5、（4分）同一平面直角坐标系中，一次函数与（为常数）的图象可能是
A．B．
C．D．
6、（4分）计算（+3﹣）的结果是（ ）
A．6B．4C．2+6D．12
7、（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）二次根式有意义的条件是（ ）
A．x>3B．x>-3C．x≥3D．x≥-3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）．若2m= 3n，那么m︰n= .
10、（4分）化简：=______．
11、（4分）反比例函数y＝图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），其中0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是_____（用“＜“连接）．
12、（4分）写出一个经过二、四象限的正比例函数_________________________．
13、（4分）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点，分别是，的中点，连接，于点，交于点，若，，则线段的长为__．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在⊿ABC中，AB=17cm，BC=16cm，，BC边上的中线AD=15cm，问⊿ABC是什么形状的三角形？并说明你的理由.
15、（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，，，连接.
（1）求证：；
（2）探究：当等于多少度时，四边形是正方形？并证明你的结论.
16、（8分）某中学图书室计划购买了甲、乙两种故事书．若购买7本甲种故事书和4本乙种故事书需510元；购买3本甲种故事书和5本乙种故事书需350元．
（1）求甲种故事书和乙种故事书的单价；
（2）学校准备购买甲、乙两种故事书共200本，且甲种故事书的数量不少于乙种故事书的数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
17、（10分）如图，的对角线，相交于点，，是上的两点，并且，连接，.
（1）求证；
（2）若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由.
18、（10分）如图，E、F分别平行四边形ABCD对角线BD上的点，且BE＝DF．
求证：∠DAF＝∠BCE．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一组数据：2，3，4，5，6的方差是 ____
20、（4分）对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式： ①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是_______.
21、（4分）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax1；②y＝bx1；③y＝cx1；④y＝dx1．则a、b、c、d的大小关系为_____．
22、（4分）小明的生日是6月19日，他用6、1、9这三个数字设置了自己旅行箱三位数字的密码，但是他忘记了数字的顺序，那么他能一次打开旅行箱的概率是__________.
23、（4分）如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，则不等式kx+b﹣1＞0的解集是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（6，0），C（0，3），点M在边OA上，且M（4，0），P、Q两点同时从点M出发，点P沿x轴向右运动；点Q沿x轴先向左运动至原点O后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度分别为每秒1个单位、每秒2个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与矩形OABC重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．
（1）用含t的代数式表示点P的坐标．
（2）分别求当t=1，t=3时，线段PQ的长．
（3）求S与t之间的函数关系式．
（4）直接写出L落在第一象限的角平分线上时t的值．
25、（10分）如图，正方形ABCD的边长为，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上，
(1)填空：BD=______；
(2)若BE=t，连结PE、PC，求PE+PC的最小值(用含t的代数式表示);
(3)若点E是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．
26、（12分）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A(3，1)和点B(0，-2)，
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点C在y轴上，且S△ABC=2S△AOB，直接写出点C的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=-，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．
【详解】
α,β是方程x2+2x−2005=0的两个实数根，则有α+β=−2.
α是方程x2+2x−2005=0的根,得α2+2α−2005=0,即：α2+2α=2005.
所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α−2=2005−2=2003，
故选B.
此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
2、C
【解析】
A. ∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)；本选项能判定四边形ABCD为平行四边形；
B. ∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD为平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)；本选项能判定四边形ABCD为平行四边形；
C. 由AB=AD，BC=CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形；
D. ∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；本选项能判定四边形ABCD为平行四边形
故选C.
本题考查平行四边形的判定.
3、B
【解析】
利用概率的意义、普查和抽样调查的特点即可作出判断．
【详解】
A. 抛掷一枚硬币10次，可能出现正面朝上有5次是随机的，故选项错误；
B. 正确；
C. 调查灯泡的使用寿命具有破坏性，因而适合抽查，故选项错误；
D. “明天的降水概率为90%”，表示明天下雨的可能性是90%，故选项错误。
故选B.
此题考查概率的意义，随机事件，全面调查与抽样调查，解题关键在于掌握各性质
4、A
【解析】
试题解析：∵在△ABC中，AB=，BC=，AC=，

∴
∴∠A=90°
故选A.
5、B
【解析】
根据一次函数的图像即可求解判断.
【详解】
由A,C图像可得函数y=mx+n过一，二，三象限，故m＞0，n＞0，
故y=nx+m也过一，二，三象限，故A,C错误；
由B,D图像可得函数y=mx+n过一三四象限，故m＞0，n＜0，
故y=nx+m过一，二，四象限，故B正确，D错误；
故选B.
此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数的性质.
6、D
【解析】
解：．
故选：D.
7、B
【解析】
轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、不符合定义，不是轴对称图形，故本选项错误； B、符合定义是轴对称图形，故本选项正确； C、不符合定义，不是轴对称图形，故本选项错误； D、不符合定义，不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8、D
【解析】
根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．
【详解】
根据被开方数大于等于0得，有意义的条件是
解得：
故选：D
本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3︰2
【解析】
根据比例的性质将式子变形即可.
【详解】
，
，
故答案为： 3︰2
点睛：此题考查比例的知识
10、a+1
【解析】
先根据同分母分式加减法进行计算，再约分化简分式即可.
【详解】
.
故答案为a+1
本题考核知识点：分式的加减.解题关键点：熟记分式的加减法则，分式的约分.
11、．
【解析】
根据反比例函数的k确定图象在哪两个象限，再根据（x1，y1），（x2，y2），其中，确定这两个点均在第一象限，根据在第一象限内y随x的增大而减小的性质做出判断．
【详解】
解：反比例函数y＝图象在一、三象限，
（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数y＝图象上，且，
因此（x1，y1），（x2，y2）在第一象限，
∵反比例函数y＝在第一象限y随x的增大而减小，
∴，
故答案为：．
本题考查了反比例函数的增减性，熟悉反比例函数的图象与性质是解题的关键．
12、y=-2x …（答案不唯一）
【解析】
解：答案不唯一，只要k＜0即可．如：y=-2x …．故答案为y=-2x …（答案不唯一）．
13、．
【解析】
连接BE．首先证明△EMC，△EMB都是等腰直角三角形，再证明△ENF≌△MNB，得到EN＝MN＝5，由勾股定理即可得出BM的长,即可得BC的长度．
【详解】
设，
点、点分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
连接，
，
，
，
，
易得，
，，
中，由勾股定理得：，
即，
解得，，
．
故答案为：．
本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、等腰直角三角形，理由见解析.
【解析】
试题分析: 先根据AD是BD上的中线求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，进而可得出∠ADC=90°，根据勾股定理即可求出AC的长，进而得出结论．
试题解析:
△ABC是等腰三角形，
∵AD是BC边的中线，BC=16cm，
∴BD=DC=8cm，
∵AD ²+BD ²=15 ²+8 ²=17 ²=AB ²，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，
AC==17cm.
∴AC=AB，
即△ABC是等腰三角形.
点睛: 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15、（1）见解析；（2）当时，四边形OCED为正方形,见解析.
【解析】
（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，由矩形的性质可得OE＝DC；
（2）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，根据正方形的判定方法证明即可．
【详解】
解：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝DC；
（2）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴DO＝CO，
又∵四边形OCED是矩形，
∴四边形OCED是正方形．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定和性质，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
16、（1）甲种故事书的单价是50元，乙种故事书的单价是40元；（2）当购买甲种故事书67本，乙种故事书133本时最省钱．
【解析】
（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；
（2）根据题意可以得到费用与购买甲种故事书本数之间的关系，然后利用一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
解：（1）设甲种故事书的单价是x元，乙种故事书的单价是y元，
，得，
答：甲种故事书的单价是50元，乙种故事书的单价是40元；
（2）当购买甲种故事书67本，乙种故事书133本时最省钱，
理由：设购买甲种故事书a本，总费用为w元，
w＝50a+40（200﹣a）＝10a+8000，
∵a≥（200﹣a），
解得，，
∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝8670，200﹣a＝133，
答：当购买甲种故事书67本，乙种故事书133本时最省钱．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
17、（1）详见解析；（2）四边形BEDF是矩形，理由详见解析.
【解析】
（1）已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，由AE＝CF即可得OE＝OF，利用SAS证明△BOE≌△DOF， 根据全等三角形的性质即可得BE＝DF；（2）四边形BEDF是矩形．由（1）得OD＝OB，OE＝OF， 根据对角线互相平方的四边形为平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形， 再由BD＝EF，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可判定四边形EBFD是矩形．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF；
（2）四边形BEDF是矩形．理由如下：
如图所示：
∵OD＝OB，OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD＝EF，
∴四边形EBFD是矩形．
本题考查了平行四边形的性质及判定、矩形的判定，熟练运用相关的性质及判定定理是解决问题的关键.
18、详见解析
【解析】
只要证明△ADF≌△CBE即可解决问题.
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠DAF＝∠BCE．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2
【解析】
=4，∴S2= [(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2.
20、
【解析】
从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，
其中只有①②、①③和③④可以判断四边形ABCD是平行四边形，所以能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 ．
点睛：本题用到的知识点：概率=所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
21、a＞b＞d＞c
【解析】
设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】
因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
22、
【解析】
首先利用列举法可得：等可能的结果有：619，691，169，196，961，916；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：∵等可能的结果有：619，691，169，196，961，916；
∴他能一次打开旅行箱的概率是： ，
故答案为：．
此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、x＜1
【解析】
由一次函数y=kx+b的图象过点（1，1），且y随x的增大而减小，从而得出不等式kx+b﹣1＞1的解集．
【详解】
由一次函数的图象可知，此函数是减函数，即y随x的增大而减小，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（1，1），
∴当x＜1时，有kx+b﹣1＞1．
故答案为x＜1
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）P（1+t，0）（0≤t≤1）；（2）当t=1时， PQ=2，当t=2时， PQ=3；（2）S=；（1）t=或s时，L落在第一象限的角平分线上．
【解析】
（1）求出OP的长即可解决问题；
（2）法两种情形分别求出MQ、PM的长即可解决问题；
（2）法三种情形：①如图1中，当0≤t≤1时，重叠部分是正方形PQLR；②如图2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PQDE；③如图2中，当2＜t≤1时，重叠部分是四边形ABDQ，分别求解即可；
（1）根据OQ=PQ，构建方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）如图1中，∵M（1，0），
∴OM=1．PM=t，
∴OP=1+t，
∴P（1+t，0）（0≤t≤1）．
（2）当t=1时，MQ=2，MP=1，
∴PQ=2．
当t=2时，MQ=2，PM=2，
∴PQ=2+2=3．
（2）①如图1中，当0≤t≤1时，重叠部分是正方形PQLR，S=PQ2=9t2
②如图2中，当1＜t≤2时，重叠部分是四边形PQDE，S=PQ•DQ=9t．
③如图2中，当2＜t≤1时，重叠部分是四边形ABDQ，S=AQ•AB=2[6-2（t-2）]=-6t+20．
综上所述，S=．
（1）L落在第一象限的角平分线上时，OQ=LQ=PQ，
∴1-2t=2t或2（t-2）=t+1-2（t-2），
解得t=或．
∴t=或s时，L落在第一象限的角平分线上．
本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会由方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
25、（1）BD=2 （2） （3）120° 30°
【解析】
.
分析：（1）根据勾股定理计算即可；
（2）连接AP，当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，利用勾股定理求出最小值；
（3）分两种情况考虑：①当E在BC延长线上时，如图2所示，△PCE为等腰三角形，则CP=CE；②当E在BC上，如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，分别求出∠PEC的度数即可．
详解：（1）BD==2 ；
（2）如图1所示：当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，

∵AB=，BE=t，
∴PE+PC的最小值为，
（3）分两种情况考虑：
①当点E在BC的延长线上时，

如图2所示，△PCE是等腰三角形，则CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP，
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，
∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，
∵∠BAP+∠PEC=90°，
∴2∠PEC+∠PEC=90°，
∴∠PEC=30°；
②当点E在BC上时，

如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，
∴∠CPE=∠PCE，
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
又AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB=90°，
∴2∠BCP+∠BCP=90°，
∴∠BCP=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠PEC=180°-∠AEB=120° .
点睛：本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短及分类讨论的数学思想，运用勾股定理是解（1）的关键，确定点P的位置是解（2）的关键，分两种情况讨论是解（3）的关键.
26、（1）y=x-2；（2）(0，2)或(0，-6)
【解析】
（1）根据一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，1）和点B（0，-2），可以求得一次函数的表达式；
（2）根据题意，设出点C的坐标，然后根据S△ABC=2S△AOB，即可求得点C的坐标．
【详解】
解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，1）和点B（0，-2），
∴，得，
即一次函数的表达式是y=x-2；
（2）设点C的坐标为（0，c），
∵点A（3，1），点B（0，-2），
∴OB=2，
∵S△ABC=2S△AOB，
∴，
解得，c1=2，c2=-6，
∴C点坐标为 （0，2）或（0，-6）．
本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分