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    上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

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    上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

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    这是一份上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷,共13页。试卷主要包含了09,已知,则__________等内容,欢迎下载使用。


    一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)
    1.已知a,b均为实数,,则__________.
    2.的展开式中,常数项为__________.
    3.已知平面向量,的夹角为,且,,则__________.
    4.不等式的解集为__________.
    5.设,,若,则实数a的取值集合为__________.
    6.圆的半径的最大值为__________.
    7.已知,则__________.
    8.已知点P为双曲线(,)右支上的一点,点、分别为双曲线的左、右焦点,若M为的内心,且,则双曲线的离心率为__________.
    9.在一座尖塔的正南方向地面某点A,测得塔顶的仰角为,又在此尖塔北偏东地面某点B,测得塔顶的仰角为,且A,B两点距离为7,在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大,则C点到塔底O的距离为__________.
    10.已知函数是定义在R上的奇函数,且任意,都有,当时,,则函数在区间内所有零点之和为__________.
    11.已知函数,若存在实数,满足,且,则的取值范围为__________.
    12.定义:对于函数和数列,若,则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为,且,若数列具有“函数性质”,且首项为1的数列满足,记的前n项和为,则数列的最小值为__________.
    二、单选题(本大题共4题,满分20分)
    13.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛,通过简单随机抽样,抽得10个班的比赛得分如下:91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的分位数为( )
    A.93B.93.5C.94D.94.5
    14.已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面,,则( )
    A.若,,,则
    B.若,,,则
    C.若,,则
    D.若,,,则
    15.已知函数.若存在,,使得,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    16.在平面直角坐标系中,定义为两点,的“切比雪夫距离”,又设点P与直线l上任意一点Q,称的最小值为点P与直线l间的“切比雪夫距离”,记作,给定下列四个命题:
    ①已知点,直线,则;
    ②定点、,动点满足则点P的轨迹与直线(k为常数)有且仅有2个公共点;下列说法正确的是( )
    A.命题①成立,命题②不成立B.命题①不成立,命题②成立
    C.命题①②都成立D.命题①②都不成立
    三、解答题(本大题共5题,满分76分)
    17.如图,在直三棱柱中,所有棱长均为4,D是AB的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求异面直线与所成角的正弦值.
    18.已知函数是定义在R上的奇函数(,).
    (1)求的解析式;
    (2)求当时,函数的值域.
    19.某大学数理教学部为提高学生的身体素质,并加强同学间的交流,特组织以“让心灵沐浴阳光,让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛,其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段,该比赛采取累计得分制,规则如下:每场比赛不存在平局,获胜者得1分,失败者不得分,其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利,但本次比赛最多进行6场.假设每场比赛中A同学获胜的概率均为,且各场比赛的结果相互独立.
    (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率;
    (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X,求X的分布列及数学期望.
    20.已知椭圆,点、分别为椭圆的左、右焦点.
    (1)若椭圆上点P满足,求的值;
    (2)点A为椭圆的右顶点,定点在x轴上,若点S为椭圆上一动点,当取得最小值时点S恰与点A重合,求实数t的取值范围;
    (3)已知m为常数,过点且法向量为的直线l交椭圆于M、N两点,若椭圆C上存在点R满足(、),求的最大值.
    21.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数,其一般形式为.对幂指函数求导时,可以将函数“指数化”再求导,例如:对于幂指函数,有.
    (1)已知,求曲线在处的切线方程;
    (2)若且,研究函数的单调性;
    (3)已知m,n,s,t均大于0,且,讨论和的大小关系.
    答 案
    一、填空题
    1.【答案】21
    【解析】根据可得到,
    故,,求得,,所以.
    2.【答案】3
    【解析】由展开式中的通项公式为:,
    令,则,故展开式中的常数项为:.
    3.【答案】
    【解析】由题意,可得,所以.
    4.【答案】
    【解析】因为,所以恒成立,
    所以,所以,,所以.
    5.【答案】
    【解析】由可得,
    由于,故,,,
    因此,,,
    ,,,故实数a的取值集合为.
    6.【答案】
    【解析】由可得,
    当表示圆,即解得a的取值范围是,半径为,
    是开口向下对称轴为的抛物线,
    在严格递增,在严格递减,所以时最大值为.
    7.【答案】
    【解析】,
    ,则,故,
    .
    8.【答案】2
    【解析】设内切圆半径为R,由题意知,
    所以,即,
    由点P为双曲线右支上的一点,则,故双曲线的离心率.
    9.【答案】
    【解析】设塔高为OP,如下图所示,
    由题意知:,
    ,,平面AOB,,
    若在C处的仰角最大,即最大,则取得最大值,
    ,当OC取得最小值时,最大,
    设,则,,

    解得:,,,

    当时,OC最小,,
    即若在C处的仰角最大,则C点到塔底O的距离为.
    10.【答案】
    【解析】奇函数,对于都有
    ,,则,即,
    则函数是周期为4的周期函数.且关于直线对称,
    作出函数与的图象知共有5个交点,其横坐标从小到大依次为,,,,,
    所以,,,,
    则,故在内所有的零点之.
    11.【答案】
    【解析】结合解析式可知当时,;当时,.
    因为,所以.
    令,得,则,故.
    令,则,
    令得;令得,
    所以函数在上严格递减,在上严格递增,
    所以,当时,,
    因为,所以.所以的取值范围为.
    12.【答案】
    【解析】由二次函数最低点为可知:,
    又,所以,则.
    由题意得,
    又由,得,
    因为,所以,
    即,又,,
    所以,则,即,
    故是以1为首项,2为公比的等比数列,所以,.
    令,则,
    故当时,,当时,,故.
    二、单选题
    13.【答案】A
    【解析】将比赛得分从小到大重新排列:85,87,89,90,91,91,92,93,94,96,
    因为,所以这组数据的分位数是第8个数93,故选:A.
    14.【答案】D
    【解析】对于A,若,,,则m,n可能平行,也可能异面,A错误;
    对于B,若,,,则可能有,也可能有,也可能平面,相交,B错误;
    对于C,若,,则有可能是,也可能,C错误,
    对于D,根据线面平行的性质定理可知若,,,则,正确,故选:D.
    15.【答案】D
    【解析】由,
    因,必有,或者,,
    由,,分别得到,.
    于是,,或者,,得的最大值为,故选:D.
    16.【答案】D
    【解析】对于①,设点Q是直线上一点,且,可得,
    由,解得,即有,
    当时,取得最小值;
    由,解得或,即有,
    的范围是,无最值,
    综上可得,P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故①正确;
    对于②,定点、,动点,
    满足,
    可得P不y轴上,P在线段间成立,可得,解得,
    由对称性可得也成立,即有两点P满足条件;
    若P在第一象限内,满足,即为,为射线,
    由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,
    则点P的轨迹与直线(k为常数)有且仅有2个公共点.故②正确;
    综上可得,故选:C.
    三、解答题
    17.【答案】(1)见解析;(2)
    【解析】(1)连接交于O,在直三棱柱中,所有棱长均为4,
    因此四边形是正方形,所以O是的中点,而D是AB的中点,
    因此有,而平面,平面,所以平面;
    (2)由(1)可知:,因此异面直线与所成角为(或其补角),
    因为是正方形,所以,
    在直三棱柱中,所有棱长均为4,
    因此四边形是正方形,因此有,
    在直三棱柱中,侧棱垂直于底面,因此也就垂直底面中任何直线,
    因此有,
    由余弦定理可知:,
    因此.
    18.【答案】(1);(2)
    【解析】(1)由函数是R上的奇函数,
    则有,解得,
    即,,,
    即,,解得,
    经验证得,时,是奇函数,所以.
    (2)由(1)知,,
    当时,,
    因此当时,,当时,,所以所求值域为.
    19.【答案】(1);(2)
    【解析】(1)由题可知,A同学连胜2场或连败2场,则其概率.
    (2)由题可知,X的取值可能是2,4,6,
    由(1)知,,当时,前2场打平,后两场A连胜或连败,
    则,

    所以分布列为:,所以数学期望.
    20.【答案】(1);(2);(3)
    【解析】(1)因为,所以设点,
    则,所以,即,
    所以;
    (2)设,则,,
    则,
    所以,,
    要时取最小值,则必有,所以;
    (3)设过点且法向量为的直线l的方程为,,,
    联立,消去x得,
    则,,
    则,

    又,
    又点R在椭圆C上,则,
    所以,
    即,
    所以,
    所以,
    所以,即的最大值为.
    21.【答案】(1)略;(2)在上单调递增;
    (3)略.
    【解析】(1)略
    (2)依题意,,,
    求导得,

    设,,
    求导得,
    由,得,由,得,
    则函数在上严格递减,在上严格递增,
    因此,从而,
    所以在上严格递增.
    (3)略

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