上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（原卷版）

这是一份上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（原卷版），共4页。试卷主要包含了09， 圆半径的最大值为______， 已知，则_________．等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知a，b均为实数，，则___________.
2. 的展开式中，常数项为______．
3. 已知平面向量的夹角为，则___________
4. 不等式的解集为________．
5. 设，若，则实数的取值集合为__________.
6. 圆半径的最大值为______.
7. 已知，则_________．
8. 已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为________．
9. 在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为______m.
10. 已知是定义在上奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．
11. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________.
12. 定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为__________.
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13. 某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A. B. C. D.
14. 已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（ ）
A. 若∥，，，则∥
B. 若，，，则
C. 若，，则∥
D. 若，，∥，则∥
15. 已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
16. 在平面直角坐标系中，定义为两点，“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：
①已知点，直线，则；
②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）
A. 命题①成立，命题②不成立B. 命题①不成立，命题②成立
C. 命题①②都成立D. 命题①②都不成立
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
18. 已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求的解析式；
（2）求当时，函数的值域．
19. 某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立．
（1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；
（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望．
20. 已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若椭圆上点满足，求的值；
（2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围；
（3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值.
21. 我们把底数和指数同时含有自变量函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.
（1）已知，，求曲线在处的切线方程；
（2）若且，研究函数的单调性；
（3）已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系.