上海市桃浦中学2025届高三上学期阶段性评估（9月）数学试卷

这是一份上海市桃浦中学2025届高三上学期阶段性评估（9月）数学试卷，共8页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，则__________．
2．不等式的解集是__________．
3．数列1，5，9，13，…的一个通项公式可能是__________．
4．函数的最大值等于__________．
5．函数的最小正周期为__________．
6．若复数z满足（i是虚数单位），则__________．
7．直线，，则直线与的夹角为＝__________．
8．的二项展开式中的常数项是__________(用数值作答)．
9．圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于__________．
10．从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有__________种．（结果用数值表示）
11．在中，，且在方向上的数量投影是，则的最小值为__________．
12．设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，，，，则的取值范围为__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．已知，．若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
14．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（ ）人．
A．16B．18C．20D．24
15．已知，且，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
16．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“集合”．给出下列4个集合：
①②
③④
其中所有“集合”的序号是（ ）．
A．②③B．③④C．①②④D．①③④
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设，．
（1）若，试判断集合A与集合B的关系；
（2）若，求实数a组成的集合C．
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，E是PC的中点，已知，，求：
.
（1）的面积；
（2）异面直线BC与AE所成角的大小．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，向量，，且．
（1）求角B；
（2）若，求的面积的最大值．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知椭圆，、、、这四点中恰有三点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）求函数的定义域D，并判断的奇偶性；
（2）如果当时，的值域是，求a与t的值；
（3）对任意的，，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
桃浦中学高三数学阶段性评估（9月）
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．2． 3． 4．4
5．6．7．8．3003
9．10．9611．12．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．B 14．A 15．C 16．A
三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17～19题每题14分，20题16分，21题18分）
17．解：（1）由得或，所以．（2分）
若，得，即，所以，（4分）
故．（6分）
（2）因为，又．
①当时，则方程无解，则；（9分）
②当时，则，由，得，
所以或，即或，（13分）
故集合．（14分）
18．解：（1）∵平面ABCD，∴，
由平面PAD，（3分）
∴．
又∵在中，，（5分）
∴．（7分）
（2）连接．
∵，∴就是异面直线BC与AE所成的角或其补角，（9分）
在中，，
在中，．
∵E是PC的中点，∴，
同理可求得．（11分）
在中，，
∴，（13分）
∴异面直线BC与AE所成的角的大小为．（4分）
19．解：（1）∵，∴，（2分）
，，（4分）
又，∴，∴，∴．（6分）
（2）∵，，
∴，即，（9分）
∴，即，当且仅当时等号成立．（11分）
，当时，．（14分）
20．（1）Q，M关于x轴对称，则椭圆C过）Q，M点．
又由可得点P不在椭圆C上，
故椭圆C过Q，M，N这三点，（2分）
代入得，解得，
所以椭圆C的方程为．（4分）
（2）直线MN的方程为．（5分）
设与椭圆C相切，联立得，
求得（舍正），（7分）
直线l，的距离，（8分）
又，所以面积的最大值是．（9分）
另解：（参数法）设点E的坐标为，，（5分）
直线MN的方程为，（6分）
则点E到直线MN的距离，（8分）
所以面积的最大值是．（9分）
（3）设，
与椭圆方程联立，得．（10分）
设，，
由韦达定理得，，（11分）
由DA，DB为邻边的平行四边形为菱形得，
AB的一个方向向量是，
即，
，（14分）
故．
由题知，则，（15分）
所以存在时，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形．（16分）
21．解：（1）令，解得，，（2分）
对任意，，
所以函数是奇函数．（4分）
（2）由知，函数在上单调递减，
因为，所以在上是增函数．（6分）
又因为时，的值域是，所以，
且在的值域是，
故且（结合图像易得）．（8分）
解得（舍去）．
所以，．（10分）
（3）假设存在使得，（11分）
即，
，解得，（14分）
下证：，即证：．
证明：
∵，，∴，，，
∴，即，∴，
所以存在，使得．（18分）