2023-2024学年上海市普陀区桃浦中学高三（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区桃浦中学高三（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.对成对数据(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)用最小二乘法求回归方程是为了使( )
A. i=1n(yi−y−)=0B. i=1n(yi−y i)=0C. i=1n(yi−y i)最小D. i=1n(yi−y i)2最小
2.设a、b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
(1)若a/​/b且b⊂α，则a/​/α
(2)若a/​/α且b⊂α，则a/​/b
(3)若a/​/b且a/​/α，则b/​/α
(4)若a/​/α且b/​/α，则a/​/b
其中不正确的个数是( )
A. 1B. 2个C. 3个D. 4个
3.对于全集R的子集A，定义函数fA(x)=1(x∈A)0(x∈CRA)为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是( )
A. 若A⊆B，fA(x)≤fB(x)B. f∁RA(x)=1−fA(x)
C. fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)D. fA∪B(x)=fA(x)+fB(x)
4.如图，一个由四根细铁杆PA、PB、PC、PD组成的支架(PA、PB、PC、PD按照逆时针排布)，若∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=π3，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O到点P的距离是( )
A. 3
B. 2
C. 2
D. 32
二、填空题：本题共12小题，共53分。
5.若幂函数的图像经过点(43,3)，则此幂函数的表达式为f(x)= ______．
6.不等式x−2x−1≥2的解集是：______．
7.现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为______．
8.已知扇形圆心角α=60°，α所对的弧长l=6π，则该扇形面积为______．
9.函数f(x)=lg(4x−2x−2)的定义域为______．
10.已知x>1，则x+2x−1的最小值为______．
11.将向量OP=(1, 3)绕坐标原点O顺时针旋转30°得到OP1，则OP1的坐标为______．
12.圆x2+y+ax+2ay+2a2+a−1=0的半径的最大值为______．
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=−5，S6=21S2，则S1= ______．
14.若存在实数φ，使函数f(x)=cs(ωx+φ)−12(ω>0)在x∈[π,3π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______．
15.已知边长为2的菱形ABCD中，∠A=120°，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且PQ⊥BD，则AP⋅CQ的最大值是______．
16.己知函数f(x)=|1−1x|(x>0)，若关于x的方程[f(x)]2+mf(x)+2m+3=0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为______．
三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知各项均为正数的数列an满足a1=1，an=2an−1+3 (正整数n≥2)．
(1)求证：数列an+3是等比数列；
(2)求数列an的前n项和Sn．
18.(本小题15分)
如图，三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AE⊥AD，AB⊥AD，BC/​/AD，AB=AE=BC=2，AD=4，F、H分别为ED、EA的中点．
(1)求证：BH//平面AFC；
(2)求平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值．
19.(本小题15分)
已知双曲线C的中心在坐标原点，左焦点F1与右焦点F2都在x轴上，离心率为3，过点F2的动直线l与双曲线C交于点A、B.设|AF2|⋅|BF2||AB|2=λ．
(1)求双曲线C的渐近线方程：
(2)若点A、B都在双曲线C的右支上，求λ的最大值以及λ取最大值时∠AF1B的正切值；(关于求λ的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设|AF2||AB|为μ，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值)
(3)若点A在双曲线C的左支上(点A不是该双曲线的顶点，且λ=1，求证：△AF1B是等腰三角形.且AB边的长等于双曲线C的实轴长的2倍．
20.(本小题19分)
已知f(x)=x+alnx−1，其中a∈R．
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；
(2)设g(x)=f(x)+1x，函数y=g(x)在x=x0时取到最小值g(x0)，求a关于x0的表达式，并求g(x0)的最大值；
(3)当a=−1时，设T(x)=f(x)+2 x−x，数列{an}(n∈N,n≥1)满足a1∈(0,1)，且an+1=T(an)，证明：an+1+an+3>2an+2(n∈N,n≥1)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．
故选：D．
利用最小二乘法求回归方程的定义，判断选项的正误即可．
本题考查线性回归直线方程的性质，最小二乘法的定义的应用，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析4个结论：
(1)若a/​/b且b⊂α，则a/​/α或a⊂α，(1)错误；
(2)若a/​/α且b⊂α，则a/​/b或a与b异面，(2)错误；
(3)若a/​/b且a/​/α，则b/​/α或b⊂α，(3)错误；
(4)若a/​/α且b/​/α，则a与b平行、相交或异面，(4)错误；
其中有4个结论不正确．
故选：D．
根据题意，由直线与直线平行、直线与平面平行的性质分析4个结论是否正确，即可得答案．
本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，涉及直线、平面平行的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：A：∵A⊆B，可得x∈A则x∈B，∵fA(x)=1(x∈A)0(x∈CRA)，fB(x)=1(x∈B)0(x∈CRB)，而CRA中可能有B的元素，但CRB中不可能有A的元素，∴fA(x)≤fB(x)，故A正确；
B：因为f∁RA(x)=1,x∈CUA0,x∈A，综合fA(x)的表达式，可得f∁RA=1−fA(x)，故B正确；
C：fA∩B(x)=1,x∈A∩B0,x∈CR(A∩B)=1,x∈A∩B0,x∈(CRA)∪(CRB)=1,x∈A0,x∈CRA⋅1,x∈B0,x∈CRB=fA(x)⋅fB(x)，故C正确；
D：fA∪B(x)=0,x∈A∪B1,x∈CU(A∪B)≠fA(x)+fB(x)，故D错误；
故选：D．
根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，进而求解；
考查接受新知识，理解运用新知识的能力，交集、并集、补集运算法则，属于中档题；
4.【答案】B
【解析】解：由题意，取PA=PB=PC=PD=a，
由题意得四棱锥P−ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PN上；
过正四棱锥的棱PA与PC作正四棱锥的轴截面如图所示：
由题意可得ABCD是正方形，且AB=BC=CD=DA=a，
∴AC= 2a，∵PA=PC=a，
∴PA2+PC2=AC2，∴∠APC=90°，
∴PN= 22a，∴PO= 22a−1，
∵△PON∽△PNC，
RT△POM∽RT△PHC⇒POPC=OMNC，
∴ 22a−1a=1 22a，解得a= 2+2，
∴PO= 22a−1= 2．
故选：B．
取PA=PB=PC=PD=a，由题意得四棱锥P−ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PN上，过正四棱锥的棱PA与PC作正四棱锥的轴截面如图所示，利用平面几何知识即可求解．
本题主要考查空间几何体的性质，考查与棱相切的球体，把空间问题平面化，是解题的关键．属中档题．
5.【答案】x4
【解析】解：设此幂函数的表达式为f(x)=xα，
依题意可得，(43)α=3，即3α4=3，解得α=4，
所以此幂函数的表达式为f(x)=x4．
故答案为：x4．
设此幂函数的表达式为f(x)=xα，从而可得(43)α=3，求解即可．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
6.【答案】[0,1)
【解析】【分析】
本题主要考查分式不等式的求解，根据分式不等式的性质进行转化是解决本题的关键．
根据分式不等式的解法进行求解即可．
【解答】
解：由x−2x−1≥2得x−2x−1−2=x−2−2(x−1)x−1=−xx−1≥0，
即xx−1≤0，即0≤x<1，
故不等式的解集为[0,1)，
故答案为[0,1)．
7.【答案】2
【解析】解：由题设，数据集(从小到大排列)中共有10个数据，则10×25%=2.5，
所以该组数的第25百分位数为第三个数2．
故答案为：2．
根据已知数据集，应用百分数的求法求第25百分位数即可．
本题考查百分位数，属于基础题．
8.【答案】54π
【解析】解：由弧长公式可得l=6π=π3r⇒r=18，
所以扇形面积为S=12lr=12×6π×18=54π．
故答案为：54π．
根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
9.【答案】(1,+∞)
【解析】解：由题意4x−2x−2>0，即(2x−2)(2x+1)>0，
∴2x>2，x>1，∴定义域为(1,+∞)．
故答案为：(1,+∞)．
根据对数函数的性质得不等式，然后解指数不等式可得．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
10.【答案】2 2+1
【解析】解：∵x>1，
∴y=x+2x−1=(x−1)+2x−1+1≥2 2+1(当且仅当x−1=2x−1，即x= 2+1时取得“=”)，
∴ymin=2 2+1．
故答案为：2 2+1．
将y=x+2x−1化为：y=(x−1)+2x−1+1，然后利用基本不等式解之即可．
本题考查基本不等式的应用，y=x+2x−1化为：y=(x−1)+2x−1+1是关键，属于基础题．
11.【答案】( 3,1)
【解析】解：向量OP=(1, 3)，
则|OP|=2，OP终边的角为60°，
将向量OP=(1, 3)绕坐标原点O顺时针旋转30°得到OP1=(x,y)，
则x=|OP|cs(60°−30°)= 3，y=|OP|sin(60°−30°)=1．
故答案为：( 3,1)．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
12.【答案】2 33
【解析】解：圆x2+y+ax+2ay+2a2+a−1=0，转换为标准式为：(x+a2)2+(y+a)2=−34a2−a+1．
故r2=−34a2−a+1=−34(a+23)2+23；
当a=−23时，r2取得最大值为23，即r的最大值为2 33．
故答案为：2 33．
首先把圆的一般式转换为标准式，进一步利用二次函数的性质求出r的最大值．
本题考查的知识要点：圆的方程之间的转换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】1或−13
【解析】解：设{an}的公比是q，
S4−S2=a3+a4=a1q2+a2q2=q2S2，同理S6−S4=q4S2，
由已知S2≠0，否则公比q=−1，S4=0，与已知矛盾，
所以S2，S4−S2，S6−S4也成等比数列，(S4−S2)2=S2(S6−S4)，
又S4=−5，S6=21S2，所以(−5−S2)2=S2(21S2+5)，解得S2=−1或S2=54，
又S4=S2+q2S2=(1+q2)S2，所以S2与S4同号，因此S2=−1，
所以−5=(1+q2)×(−1)，q2=4，q=±2，
若q=2，则S2=a1+a1q=3a1，a1=−13，即S1=−13，
若q=−2，则S2=a1+a1q=−a1=−1，a1=1，即S1=1．
故答案为：1或−13．
由等比数列性质得出S2，S4−S2，S6−S4也成等比数列，从而求得S2，然后求得公比q后，再求得a1即得S1．
本题主要考查了等比数列的求和公式及等比数列的性质的应用，属于中档题．
14.【答案】[13,53)
【解析】解：因为f(x)=cs(ωx+φ)−12(ω>0)，由f(x)=0，得到cs(ωx+φ)=12，
所以ωx+φ=π3+2kπ(k∈Z)或ωx+φ=−π3+2kπ(k∈Z)，
所以x=π3−φ+2kπω(k∈Z)或x=−π3−φ+2kπω(k∈Z)，
又因为存在实数φ，使函数f(x)在x∈[π,3π]上有且仅有2个零点，所以
7π3−φ+2kπω−5π3−φ+2kπω≤2π且11π3−φ+2kπω−π3−φ+2kπω>2π，即2π3ω≤2π且10π3ω>2π，解得13≤ω<53．
故答案为：[13,53).
利用y=csx的图像与性质，直接求出函数f(x)的零点，再利用题设条件建立不等关系π3−φ+2kπω−−π3−φ+2kπω≤2π且11π3−φ+2kπω−π3−φ+2kπω>2π，从而求出结果．
本题考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．
15.【答案】14
【解析】解：如图，连接BD，AC，设BD，AC交于点O，则BD⊥AC，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
A(0,1)，C(0,−1)，内切圆的半径为 32，
∵PQ⊥BD，且P，Q点在内切圆上，
∴设P(m,n)，Q(m,−n)，m,n∈(− 32, 32)，
∴AP=(m,n−1),CQ=(m,1−n)，
∴AP⋅CQ=m2−(n−1)2，
∵m2+n2=( 32)2，∴设m= 32sinθ,n= 32csθ，
∴m2−(n−1)2=34sin2θ−( 32csθ−1)2=−32cs2θ+ 3csθ−14=−32(csθ− 33)2+14，
∴csθ= 33时，−32(csθ− 33)2+14取最大值14，
∴AP⋅CQ的最大值为14．
故答案为：14．
可连接BD，AC，设BD交AC于点O，可得出BD⊥AC，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出A(0,1)，C(0,−1)，内切圆的半径为 32，且设P(m,n)，Q(m,−n)，从而得出AP⋅CQ=m2−(n−1)2，可设m= 32sinθ,n= 32csθ，从而可得出AP⋅CQ=−32cs2θ+ 3csθ−14，然后配方即可求出最大值．
本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，圆的标准方程，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
16.【答案】(−32,−43]
【解析】解：画出函数f(x)=|1−1x|(x>0)的图象，如图所示，
令y=f(x)，则y2+my+2m+3=0有2个不相等的实数解，
其范围分别为(0,1)和[1,+∞)，
则12+m+2m+3≤002+m×0+2m+3>0解得−32故答案为：(−32,−43].
分析f(x)的图象，可知关于f(x)的二次方程有2根，范围分别为(0,1)和(1,+∞)，在按二次方程根的分布处理．
考查含有绝对值函数的图象，复合函数根的个数问题的处理，属于拔高题；
17.【答案】(1)证明：已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an=2an−1+3(正整数n≥2)，
则an+3=2(an−1+3)，
又a1+3=4，
即数列{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列；
(2)解：由(1)可得an+3=4×2n−1=2n+1，
即an=2n+1−3，
则Sn=(22+23+...+2n+1)−3n=4×(1−2n)1−2−3n=2n+2−3n−4．
【解析】(1)由已知可得an+3=2(an−1+3)，然后求证即可；
(2)由(1)可得an=2n+1−3，然后结合等比数列前n项和的公式求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列前n项和的公式，属基础题．
18.【答案】解：(1)证明：连接FH，如图所示：

∵F、H分别为ED、EA的中点，
∴在△AED中，FH/​/AD且FH=12AD，
∵BC/​/AD，BC=2，AD=4，
∴FH/​/BC且FH=BC，
∴四边形FHBC是平行四边形，
∴FC//BH，
又BH⊄平面平面AFC，FC⊂平面AFC，
∴BH//平面AFC；
(2)∵三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，即平面EAD⊥平面ABCD，AE⊥AD，
又平面EAD∩平面ABCD=AD，AE⊂平面EAD，
∴AE⊥平面ABCD，
又AB⊂平面ABCD，则AE⊥AB，
则建立以A为原点的空间直角坐标系A−xyz，如图所示：
AB=AE=BC=2，AD=4，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(0,2,1)，
∴AC=(2,2,0)，AF=(0,2,1)，
由(1)得平面EAB的法向量为j=(0,1,0)，
设平面ACF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC=2x+2y=0n⋅AF=2y+z=0，取y=−1，则x=1，z=2，
∴平面ACF的一个法向量为n=(1,−1,2)，
设平面ACF与平面EAB所成锐二面角为α，
∴csα=|cs|=|n⋅j||n|⋅|j|=11× 6= 66，
故平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值为 66．
【解析】(1)连接FH，由题意得FH/​/AD且FH=12AD，结合题意可得FH/​/BC且FH=BC，即四边形FHBC是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
(2)由题意得平面EAD⊥平面ABCD，AE⊥AD，可得AE⊥AB，建立以A为原点的空间直角坐标系A−xyz，利用向量法，即可得出答案．
本题考查空间中直线与平面的位置关系和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为双曲线C的中心在坐标原点，左焦点F1与右焦点F2都在x轴上，离心率为3，
可得设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
由e=ca= 1+b2a2=3，
可得b=2 2a，即有渐近线的方程为y=±2 2x；
(2)由(1)可得c=3a，b=2 2a，所以双曲线的方程为8x2−y2=8a2，设|AF2|=t1，|BF2|=t2，
因为点A，B都在双曲线C的右支上，所以|AB|=t1+t2，
所以λ=|AF2|⋅|BF2||AB|2=t1t2(t1+t2)2≤t1t2(2 t1t2)2=14，当且仅当t1=t2时取得等号，即λmax=14，
当λ=14时，t1=t2，所以|AF1|=2a+t1=2a+t2=|BF1|，
所以l⊥x轴且∠AF1F2=∠BF1F2，
又双曲线的方程为8x2−y2=8a2，
可令x=3a，解得y=±8a，可得|AF2|=8a，又|F1F2|=6a，
所以tan∠AF1F2=|AF2||F1F2|=8a6a=43，
tan∠AF1B=tan2∠AF1F2=2tan∠AF1F21−tan2∠AF1F2=−247．
(3)证明：设直线l的方程为x=my+3a，将代入双曲线的方程，可得(8m2−1)y2+48may+64a2=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得y1+y2=−48am8m2−1，y1y2=64a28m2−1，
由λ=1，可得|AF2|⋅|BF2|=|AB|2，
故 1+m2|y1|⋅ 1+m2|y2|=( 1+m2|y1−y2|)2，
又y1，y2同号，所以y1y2=(y1−y2)2，即5y1y2=(y1+y2)2，
所以5×64a28m2−1=(−48am8m2−1)2，解得m2=54，
此时直线l的斜率的绝对值为2 5<2 2，
可知直线l与双曲线的两支都相交，
又y1y2=64a28m2−1=64a29，所以|AB|2=|AF2|⋅|BF2|=(1+m2)y1y2=94×64a29=16a2，
则|AB|=4a，它等于双曲线实轴长的2倍，
此时|AF1|=|AF2|−2a=|BF2|+4a−2a=|BF2|+2a=|BF1|，
所以△AF1B是等腰三角形．
【解析】(1)由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，进而得到渐近线方程；
(2)设双曲线的方程为8x2−y2=8a2，|AF2|=t1，|BF2|=t2，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；
(3)设直线l的方程为x=my+3a，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，可得证明．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=x+alnx−1，
可得f′(x)=1+ax，
若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x+2y+3=0垂直，
因为直线x+2y+3=0的斜率为−12，
所以1+a2=2，
解得a=2；
(2)因为g(x)=f(x)+1x=x+alnx−1+1x，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=1+ax−1x2=x2+ax−1x，
当x=0时，x2+ax−1=−1<0，
所以x2+ax−1=0有两异号实根，
不妨设x0为方程的正根，
当0当x>x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以a=1x0−x0(x0>0)，
当x=x0时，函数g(x)取得极小值也是最小值，最小值g(x0)=x0+1x0+(1x0−x0)lnx0−1，
不妨设F(x)=x+1x+(1x−x)lnx−1，函数定义域为(0,+∞)，
可得F′(x)=−(1x2+1)lnx，
当00，F(x)单调递增；
当x>1时，F′(x)<0，F(x)单调递减，
所以F(x)≤F(1)=1．
综上，a=1x0−x0，g(x0)的最大值为1；
(3)证明：要证an+1+an+3>2an+2，
即证an+3−an+2>an+2−an+1，
因为T(an)=an+1，
此时要证T(an+2)−an+2>T(an+1)−an+1，
因为当a=−1，T(x)=f(x)+2 x−x=x−lnx−1+2 x−x=2 x−lnx−1，
不妨设G(x)=T(x)−x=2 x−x−lnx−1，函数定义域为(0,+∞)，
可得G′(x)=2×12⋅1 x−1−1x=−( x−12)2−34x<0，
所以函数G(x)在(0,+∞)上单调递减，
要证T(an+2)−an+2>T(an+1)−an+1，
需证G(an+2)>G(an+1)，
即证an+2又T(an)=an+1，
要证T(an+1)即证G(an+1)<0，
因为G(1)=0，G(x)在(0,+∞)上单调递减，
极值an+1>1，
因为T(x)=2 x−lnx−1，函数定义域为(0,+∞)，
可得T′(x)=2×12⋅1 x−1x= x−1x，
当0在x>1时，T′(x)>0，T(x)单调递增，
所以T(x)≥T(1)=1，
又a1∈(0,1)，
所以T(a1)>1，
同理an+1=T(an)>1．
故an+1+an+3>2an+2．
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，根据导数与函数曲线切线的关系以及直线垂直斜率的关系，列出等式即可求解；
(2)根据导数与函数单调性的关系，利用换元法，建立新函数，可得答案；
(3)利用综合法，整理不等式，通过构建新函数，对新函数进行求导，利用导数研究函数单调性求最值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．