江西省上饶市十校联考2022——2023学年上学期八年级期中数学试卷（含答案与解析）

这是一份江西省上饶市十校联考2022——2023学年上学期八年级期中数学试卷（含答案与解析），共23页。试卷主要包含了下列计算正确的是，若分式 的值为0，则x的值为等内容，欢迎下载使用。

1．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6B．a3•a2＝a6
C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a
2．在下列条件下，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DFB．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE
C．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DFD．∠B＝∠E，BC＝EF，AC＝DF
3．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．2C．﹣2D．0或2
4．如图，△ABC中，AB＝BC，点D在AC上，BD⊥BC．设∠BDC＝α，∠ABD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
5．等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
6．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BGN；②；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．已知5x＝m，5y＝n，则52x+y的值为 ．
8．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，DE＝3cm，AE＝2cm，求AC的长为 cm．
9．如果关于x的多项式x2﹣8x+m是一个完全平方式，那么m＝ ．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为 ．
11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为 ．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形 个．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）分解因式：x2y﹣9y．
14．（6分）计算：
①（b﹣c+4）（c﹣b+4）﹣（b﹣c）2
②2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
15．（6分）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．
16．（6分）已知a，b均为正数，且a≠b，试比较a5+b5与a4b+ab4的大小．
17．（6分）如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．
（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P处，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足分别为E、F（如图①），则PE PF；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）把三角尺绕着点P旋转（如图②），两直角边分别与OA、OB交于点E、F，那么PE与PF相等吗？试猜想PE与PF的大小关系，并说明理由．
18．（8分）计算题
（1）解方程组；
（2）整式的乘法a（2﹣a）+（a﹣1）2；
（3）因式分解a3﹣2a2b+ab2；
（4）因式分解18x2﹣32y2．
19．（8分）已知在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B两点作互相平行的直线AM，BN，过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．
（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；
（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判断线段AD，DC与BE之间的关系，并说明理由．
20．（8分）已知：如图，△ABC是等边三角形，AE＝BD，AD与CE交于点F，求∠CFD的度数．
21．（9分）利用因式分解进行简便计算：
（1）；
（2）6212﹣1482﹣769×373．
22．（9分）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式）
（2）利用（1）中所得到的结论，填空：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2＝
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF
①用含a，b的式子表示阴影部分的面积S＝
②若a+b＝10，ab＝20，则阴影部分的面积S＝
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，BD平分∠ABC交AC于点D，F为BC上一点，连接AF交BD于点E．
（ⅰ）若AB＝BF，求证：BD垂直平分AF；
（ⅱ）若AF⊥BD，求证：AD＝CF．
（2）如图2，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，F为BC上一点，∠EFC＝∠B，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点D．写出线段CE和FD的数量关系（不要求写出过程）．
2022-2023学年江西省上饶市十校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6B．a3•a2＝a6
C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法分别进行计算，再逐个判断即可．
【解答】解：A．结果是a6，故本选项不符合题意；
B．结果是a5，故本选项不符合题意；
C．结果是4a2，故本选项不符合题意；
D．结果是a，故本选项符合题意；
故选：D．
2．在下列条件下，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DFB．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE
C．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DFD．∠B＝∠E，BC＝EF，AC＝DF
【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此判断即可．
【解答】解：A、由∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF，根据SAS，可以判定△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．
B、由∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，根据ASA，可以判定△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．
C、由∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF，根据AAS，可以判定△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．
D、由∠B＝∠E，BC＝EF，AC＝DF，SSA无法判断三角形全等，本选项符合题意，
故选：D．
3．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．2C．﹣2D．0或2
【分析】分式值是0的条件是分子等于0而分母不等于0，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：3x2﹣6x＝0且x﹣2≠0，
解得：x＝0．
故选：A．
4．如图，△ABC中，AB＝BC，点D在AC上，BD⊥BC．设∠BDC＝α，∠ABD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
【分析】由AB＝BC得出∠A＝∠C，根据三角形外角的性质和直角三角形锐角互余，即可得到α﹣∠A＝β，α+∠C＝90°，两式相加即可得出2α＝90°+β，从而求得2α﹣β＝90°．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵α﹣∠A＝β，α+∠C＝90°，
∴2α＝90°+β，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
5．等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【分析】连接AP，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根据AB＝AC即可求出PE+PF．
【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB•PE+AC•PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故选：B．
6．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝∠BGN；②；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】①根据角的和与差及等腰三角形的性质可判断①正确．
②设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，表示EF和FG的长，可判断②正确；
③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得NH＝NM，由线段垂直平分线的性质得BN＝CN＝NG，证明Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），可判断③正确；
④分别表示NG和FG的长，可判断④不正确；
⑤根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得∠E＝30°，由∠B＝60°，可得EG⊥AB，可判断⑤正确．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵CE＝BC，F是AC的中点，
∴CF＝CE，
∴∠E＝∠CFE，
∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠BGE＝90°，
∴EG⊥AB，故⑤正确；
设AG＝x，则AF＝FC＝CE＝2x，
∴FG＝x，BE＝6x，
Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3x，
∴EF＝EG﹣FG﹣3x﹣x＝2x，
∴GF＝EF，故②正确；
③如图，过N作NH⊥AC于H，连接BN，
在等边三角形ABC中，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BN＝CN，
∵MN⊥AB，
∴NH＝NM，
∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN＝NG，
∴BN＝CN＝NG，
在Rt△NGM和Rt△NCH中，
，
∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），
∴∠GNM＝∠CNH，
∴∠MNH＝∠CNG，
∵∠ANM＝∠ANH＝60°，
∴∠CNG＝120°，故③正确；
∵MN是BG的垂直平分线，
∴BN＝GN，
等边△ABC中，AD⊥BC，
∴BN＝CN，
∴GN＝CN，故④错误；
∵BN＝CN＝NG，
∴∠DCN＝∠DBN，∠NBM＝∠NGM，
∵∠ACN＝∠ACB﹣∠DCN＝60°﹣∠DBN＝∠ABN＝∠NGM，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACN＝∠BGN，故①正确；
其中正确的有：①②③⑤，一共4个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．已知5x＝m，5y＝n，则52x+y的值为 m2n ．
【分析】先把要求的式子变成（5x）2•5y，再把5x＝m，5y＝n代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵5x＝m，5y＝n，
∴52x+y＝52x•5y＝（5x）2•5y＝m2•n＝m2n．
故答案为：m2n．
8．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，DE＝3cm，AE＝2cm，求AC的长为 7 cm．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DBF和△EFC是等腰三角形，从而可得DB＝DF＝8cm，EC＝EF，然后根据已知可求出EC＝EF＝DF﹣DE＝5cm，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACG，
∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠FCG，
∵DF∥BG，
∴∠CBF＝∠DFB，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF＝8cm，EC＝EF，
∵DE＝3cm，
∴EC＝EF＝DF﹣DE＝8﹣3＝5（cm），
∵AE＝2cm，
∴AC＝AE+EC＝2+5＝7（cm），
故答案为：7．
9．如果关于x的多项式x2﹣8x+m是一个完全平方式，那么m＝ 16 ．
【分析】根据两数和的完全平方等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案．
【解答】解：由x2﹣8x+m是一个完全平方式，得
m＝42＝16，
故答案为：16．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为 18 ．
【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当动点P和E重合时△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【解答】解：∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当动点P和E重合时△ACP的周长最小值，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴AB＝2AC＝12，
∵AP+CP＝AP+BP＝AB＝12，
∴△ACP的周长最小值＝AC+AB＝6+12＝18，
故答案为：18；
11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为 ．
【分析】根据CD平分∠ACB，BE⊥CD，证出△BDC≌△EDC，得到BC＝BE，BD＝DE即可．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△BDC≌△EDC（ASA），
∴BC＝CE＝4，BD＝DE，
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE，
∵AC＝7，BC＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝3，
∴BE＝AE＝3，
∴BD＝BE＝，
故答案为：．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，∠ABC的平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形 3 个．
【分析】根据在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，利用三角形内角和定理求得∠BAC＝75°，然后可得等腰三角形．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AD是高，
∴∠DAC＝45°，
∴CD＝AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵∠ABC＝60°，BE是∠ABC平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD＝30°，
∴AF＝BF，
即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝30°+45°＝75°，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝EB，
即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故答案为：3．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）分解因式：x2y﹣9y．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
【解答】解：x2y﹣9y
＝y（x2﹣9）
＝y（x+3）（x﹣3）．
14．（6分）计算：
①（b﹣c+4）（c﹣b+4）﹣（b﹣c）2
②2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
【分析】①根据平方关差公式得（b﹣c+4）（c﹣b+4）＝[4+（b﹣c）][4﹣（b﹣c）]，再用平方差公式进行计算．
②注意到2＝（3﹣1），则原式可变形为（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1，再利用平方差公式进行计算即可
【解答】解：①原式＝[4+（b﹣c）][4﹣（b﹣c）]﹣（b﹣c）2
＝42﹣（b﹣c）2﹣（b﹣c）2
＝16﹣2（b﹣c）2
＝16﹣2b2+4bc﹣2c2．
②原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332
15．（6分）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；
（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．
【分析】（1）连接BE交AC于点F，线段BF即为所求．
（2）延长BA交DE的延长线于W，连接AD，CW交于点O，连接OB交AC于G，线段BG即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，线段BF即为所求．
（2）如图2中，线段BG即为所求．
16．（6分）已知a，b均为正数，且a≠b，试比较a5+b5与a4b+ab4的大小．
【分析】将两个代数式相减，通过比较差的正负，比较两个式子的大小．
【解答】解：∵（a5+b5）﹣（a4b+ab4）
＝（a5﹣a4b）+（b5﹣ab4）
＝a4（a﹣b）+b4（b﹣a）
＝（a﹣b）（a4﹣b4）
＝（a﹣b）（a2+b2）（a2﹣b2）
＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）2，
∵a，b均为正数，且a≠b，
∴a2+b2＞0，a+b＞0，（a﹣b）2＞0．
∴（a5+b5）﹣（a4b+ab4）＞0．
∴a5+b5＞a4b+ab4．
17．（6分）如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．
（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P处，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足分别为E、F（如图①），则PE ＝ PF；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）把三角尺绕着点P旋转（如图②），两直角边分别与OA、OB交于点E、F，那么PE与PF相等吗？试猜想PE与PF的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理证明即可；
（2）证明△MPE≌△NPF（ASA），根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
故答案为：＝；
（2）PE＝PF，理由如下：
过P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，如图②所示：
则∠PME＝∠PNF＝90°，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠OPM＝∠OPN＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠NPF，
由（1）得，PM＝PN，
在△MPE和△NPF中，
，
∴△MPE≌△NPF（ASA），
∴PE＝PF．
18．（8分）计算题
（1）解方程组；
（2）整式的乘法a（2﹣a）+（a﹣1）2；
（3）因式分解a3﹣2a2b+ab2；
（4）因式分解18x2﹣32y2．
【分析】（1）把①代入②求出y，再把y值代入①求出x即可；
（2）利用单项式乘多项式法则把括号去掉，再进行合并即可；
（3）（4）题都是先提取公因式，然后利用乘法公式进行因式分解．
【解答】解：（1），
把①代入②得：3（y﹣2）+2y＝﹣1，
3y﹣6+2y＝﹣1，
5y＝5，
y＝1，
把y＝1代入①得：x＝﹣1，
∴方程组的解为：；
（2）原式＝2a﹣a2+a2﹣2a+1
＝1；
（3）原式＝a（a2﹣2ab+b2）
＝a（a﹣b）2；
（3）原式＝2（9x2﹣16y2）
＝2（3x+4y）（3x﹣4y）．
19．（8分）已知在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B两点作互相平行的直线AM，BN，过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．
（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；
（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判断线段AD，DC与BE之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）延长AC交BN于点F，证明△ADC≌△FEC（ASA），即可得出结论；
（2）在EB上截取EH＝EC，连接CH，证明△DAC≌△HCB（AAS），得出AD＝CH，DC＝BH，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，延长AC交BN于点F，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
又∵AB⊥AM，
∴∠BAM＝90°，
又∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴BC＝CF，
∴AC＝FC，
又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，
在△ADC和△FEC中，，
∴△ADC≌△FEC（ASA），
∴DC＝EC；
（2）解：AD+DC＝BE；理由如下：
如图2，在EB上截取EH＝EC，连接CH，
∵AC＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠DEB＝60°，
∴△CHE是等边三角形，
∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠BEC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DAC+∠DCA＝60°，
又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，
∴∠DCA+∠BCH＝60°，
∴∠DAC＝∠BCH，
在△DAC与△HCB中，，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH，DC＝BH，
又∵CH＝CE＝HE，
∴BE＝BH+HE＝DC+AD，
即AD+DC＝BE．
20．（8分）已知：如图，△ABC是等边三角形，AE＝BD，AD与CE交于点F，求∠CFD的度数．
【分析】首先证明△ABD≌△CAE，则可得∠BAD＝∠ACE，然后，根据三角形外角的性质，∠DFC＝∠ACE+∠DAC，等量代换即可求得．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠B＝∠CAB＝60°，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝60°，
∴∠ACE+∠DAC＝60°，
∵∠DFC＝∠ACE+∠DAC，
∴∠DFC＝60°．
21．（9分）利用因式分解进行简便计算：
（1）；
（2）6212﹣1482﹣769×373．
【分析】（1）利用差的完全平方公式进行因式分解计算即可；
（2）先用平方差公式，再提取公因式进行因式分解计算即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝（621+148）×（621﹣148）﹣769×373＝769×473﹣769×373＝769×（473﹣373）＝769×100＝76900．
22．（9分）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式）
（2）利用（1）中所得到的结论，填空：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2＝ 45
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF
①用含a，b的式子表示阴影部分的面积S＝ a2+b2﹣ab
②若a+b＝10，ab＝20，则阴影部分的面积S＝ 20
【分析】（1）图2大正方形边长为a+b+c，其面积为（a+b+c）2，分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，其面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，二者面积相等，从而可得要求得等式；
（2）将a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38代入（1）中等式，变形可得答案；
（3）①利用S阴影等于直角三角形BCD的面积加上正方形ECGF的面积，再减去三角形BGF的面积，化简即可得答案；
②将①中结论配方，然后将a+b＝10，ab＝20代入计算即可．
【解答】解：（1）图2大正方形边长为a+b+c，其面积为（a+b+c）2，
分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，其面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
二者面积相等
由此得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣76＝45
故答案为：45．
（3）①∵S阴影＝a2+b2﹣（a+b）b
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
故答案为：a2+b2﹣ab．
②由①知阴影部分面积为 a2+b2﹣ab
∵a+b＝10，ab＝20
∴a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20
故答案为：20．
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如图1，BD平分∠ABC交AC于点D，F为BC上一点，连接AF交BD于点E．
（ⅰ）若AB＝BF，求证：BD垂直平分AF；
（ⅱ）若AF⊥BD，求证：AD＝CF．
（2）如图2，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，F为BC上一点，∠EFC＝∠B，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点D．写出线段CE和FD的数量关系（不要求写出过程）．
【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性质可得出答案；
（ⅱ）过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，证明△ABE≌△CAM（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CM，证明△AED≌△CMF（ASA），则可得出AD＝CF；
（2）延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝EF，根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠ACF，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝CF，然后求解即可．
（3）过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G．证明△CEF≌△GEF（ASA），由全等三角形的性质得出CE＝GE，证明△CGH≌△FDH（ASA），得出CG＝DF．则可得出结论．
【解答】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，
∴BE⊥AF，AE＝EF，
即BD垂直平分AF；
（ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，
∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，
∴∠CAM＝∠ABE，
在△ABE和△CAM中，
，
∴△ABE≌△CAM（AAS），
∴AE＝CM，
∵AF⊥BD，AF⊥CM，
∴BD∥CM，
∴∠FCM＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠FCM＝∠ABD，
∴∠FCM＝∠EAD，
在△AED和△CMF中，
，
∴△AED≌△CMF（ASA），
∴AD＝CF；
（2）解：BD＝2CE．
理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，
∴BD＝2CE．
（3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G．
∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，
∴∠EFC＝∠GFE，
又∵CE⊥FE，
∴∠CEF＝∠GEF＝90°，
在△CEF和△GEF中，
，
∴△CEF≌△GEF（ASA），
∴CE＝GE，即CE＝CG，
∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．
又∵∠GCH＝∠DFH，
∴△CGH≌△FDH（ASA），
∴CG＝DF．
∴CE＝FD．