数学2.5 有理数的乘方精品同步测试题

这是一份数学2.5 有理数的乘方精品同步测试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.13世纪数学家斐波那契的《计算之书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘．”则刀鞘数为( )
A. 42B. 49C. 76D. 77
2.红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为9.4×10−7m，则下列说法正确的是( )
A. 9.4×10−7+10=9.4×10−6B. 9.4×10−7−1.4=8×10−7
C. 9.4×10−7是8位小数D. 9.4×10−7是7位小数
3.下列结果相等的是( )
A. 32和23B. (−1)3和−13C. (23)2和223D. (−2)2和−22
4.已知a，b，c满足4a2+2b−4=0，b2−4c+1=0，c2−12a+17=0，则a2+b2+c2等于( )
A. 214B. 294C. 14D. 2016
5.2023年6月，小东一家来到广东旅游，与好友比拼“微信运动”步数，小东查到的步数是13000步．将数据13000用科学记数法表示为( )
A. 0.13×106B. 1.3×105C. 1.3×104D. 13×103
6.计算572023×752024×−12025的结果是( )
A. 57B. 75C. −57D. −75
7.下列两个数互为相反数的是( )
A. 3和13B. −(−3)和|−3|C. (−3)2和−32D. (−3)3和−33
8.下列对于式子(−3)2的说法，错误的是( )
A. 指数是2B. 底数是−3C. 幂为−9D. 表示2个−3相乘
9.下列各组数中，相等的一组是( )
A. −(−2)与+(−2)B. +(−3)与+|−3|C. (−2)3与−23D. (−3)2与−32
10.若|x−1|+(y+3)2=0，则(x+1)×(y+1)等于( )
A. 0B. −3C. −6D. −4
11.已知|a−1|+(b+2)2=0，则多项式7ab−3a2b2+7+8a2b+3a2b2−3−7ab的值是( )．
A. 36B. 24C. −12D. −28
12.观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，根据上述算式中的规律，你认为2200的末位数字是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，….通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是 ．
14.已知实数m，n满足(m−2)2+ n−5=0，则以m，n的值为边长的等腰三角形的周长为______．
15.我国古代典籍《庄子⋅天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：即使是一尺长的木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么世世代代也截取不尽．按此做法，第n天后“一尺之棰”剩余的长度为 尺(用含n的式子表示)．
16.中国第一个空间站“天宫一号”距离地球约370000米，用科学记数法表示为______米．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
根据下列数量关系列出不等式：
(1)x的13倍减去2是负数；
(2)y的2倍与4的和不小于0；
(3)a与b两数和的平方不大于b的平方．
18.(本小题8分)
阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c(a≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：x2+4x−5=x2+4x+(42)2−(42)2−5=(x+2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+3)(x−1)
根据以上材料，解答下列问题：
(1)仿照材料的方法，分解因式：x2+2x−8;
(2)求多项式x2+4x−3的最小值;
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，请判断△ABC的形状．
19.(本小题8分)
已知M=2x2−xy+y2，N=x2−2xy+y2．
(1)化简：2M−N;
(2)当x为最大的负整数，y取m2−3的最小值时，求2M−N的值．
20.(本小题8分)
如图1.在数轴上点M表示的数为m、点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN.我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即MN=n−m请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示数b，点C表示数c；b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|与(c−5)2互为相反数．

(1)a= ______，b= ______，c= ______．
(2)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，3BC−AB的值恰好等于2023.求t值．
21.(本小题8分)
在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：
如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a+5|+(b+1)2=0，c=3，d=8。
(1)求a和b的值；
(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t(s)，
①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t= ______；
②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值。
22.(本小题8分)
若x满足(9−x)(x−4)=4，求(9−x)2+(x−4)2的值．
解：设9−x=a，x−4=b，则ab=(9−x)(x−4)=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+8+b2=25，
所以a2+b2=17，即(9−x)2+(x−4)2=17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足(5−x)(x−2)=2，求代数式(5−x)2+(x−2)2的值；
(2)若x满足(6−x)(4−x)=8，求代数式(10−2x)2的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是科学记数法的有关知识，根据科学记数法的方法进行解题即可．
【解答】
解：A.9.4×10−7+10≠9.4×10−6，故该项不正确，不符合题意；
B.9.4×10−7−1.4≠8×10−7，故该项不正确，不符合题意；
C.9.4×10−7=0.00000094，是8位小数，故该项正确，符合题意；
D.9.4×10−7不是7位小数，故该项不正确，不符合题意
3.【答案】B
【解析】解：A选项中，32=9，23=8，故A选项不符合题意；
B选项中，(−1)3=−1，−13=−1，故B符合题意；
C选项中，(23)2=49，223=43，故C不符合题意；
D选项中，(−2)2=4，−22=−4，故D不符合题意，
故选：B．
根据平方和立方的计算方法求出结果即可得到答案．
本题考查了有理数的乘方，关键注意在运算过程中正负号的计算．
4.【答案】B
【解析】解：由题意，知4a2+2b−4+b2−4c+1+c2−12a+17=0，
整理，得(b2+2b+1)+(4a2−12a+9)+(c2−4c+4)=0，
所以(b+1)2+(2a−3)2+(c−2)2=0，
所以b+1=0，2a−3=0，c−2=0，
所以b=−1，a=32，c=2．
故a2+b2+c2=94+1+4=294．
故选：B．
由题意，知4a2+2b−4+b2−4c+1+c2−12a+17=0，利用配方法得到(b+1)2+(2a−3)2+(c−2)2=0，所以利用非负数的性质求得a、b、c的值，然后代入a2+b2+c2求值．
考查了代数式求值，配方法的应用和非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=(a±b)2．
5.【答案】C
【解析】【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】
解：13000=1.3×104．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：(57)2023×(75)2024×(−1)2025
=(57×75)2023×75×(−1)
=12023×75×(−1)
=1×75×(−1)
=−75，
故选：D．
先根据积的乘方的逆运算进行计算，再根据有理数的乘方进行计算，最后根据有理数的乘法求出答案即可．
本题考查了积的乘方，有理数的乘方，能正确运用am⋅bm=(ab)m进行计算是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．根据乘方、化简绝对值、去括号等运算计算各数，然后根据相反数的定义分析判断即可．
【解答】
解：A. 3和13，不是相反数，不符合题意；
B.−−3=3，−3=3，−−3和−3不是相反数，不符合题意；
C.−32=9，−32=−9，−32和−32是相反数，符合题意；
D.−33=−27，−33=−27，−33和−33不是相反数，不符合题意．
故选C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了有理数的乘方，熟记概念是解题的关键.根据有理数的乘方的定义解答．
【解答】
解：(−3)2指数是2，底数是−3，幂为9，表示2个−3相乘，
所以，错误的是C选项．
故选C．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是相反数、绝对值、有理数的乘方的运算，正确求值是解题的关键，根据相反数、绝对值、有理数的乘方的运算对各选项分别计算，即可求解．
【解答】
解：A.−(−2)=2，+(−2)=−2，不符合题意；
B.+(−3)=−3；+|−3|=3，不符合题意；
C.(−2)3=−8，−23=−8，符合题意；
D.(−3)2=9，−32=−9，不符合题意．
10.【答案】D
【解析】解：∵|x−1|+(y+3)2=0，
∴x−1=0，y+3=0，
解得x=1，y=−3，
∴原式=(1+1)×(−3+1)=−4．
故选：D．
先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入(x+1)(y+1)进行计算即可．
本题考查的是非负数的性质，即任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
11.【答案】C
【解析】略
12.【答案】C
【解析】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，⋯，
∴2n(n为正整数)的个位数字是2，4，8，6四个一循环，
∵200÷4=50，
∴2200的末位数字与24的末位数字相同，是6．
故选：C．
根据所给的式子，发现：2n(n为正整数)的个位数字是2，4，8，6四个一循环，由200÷4=50，再根据规律即可得出答案．
本题考查有理数的乘方及数字的变化规律—尾数特征，解题的关键是根据所给的式子，发现：2n(n为正整数)的个位数字是2，4，8，6四个一循环．
13.【答案】8
【解析】略
14.【答案】12
【解析】解：∵(m−2)2+ n−5=0，
∴m−2=0，n−5=0，
解得：m=2，n=5，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时，
∴△ABC的周长=5+5+2=12；
当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时，
∵2+2=4<5，
∴不能组成三角形；
综上所述：△ABC的周长是12，
故答案为：12．
根据偶次方，算术平方根的非负性可得：m−2=0，n−5=0，从而可得：m=2，n=5，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时；当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时；从而进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
15.【答案】12n
【解析】【分析】
本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
第一次剩下12尺，第二次剩下12×12=122尺，第三次剩下12×12×12=123尺，由此即可解决问题．
【解答】
解：由题意可得：第一次剩下12尺，第二次剩下12×12=122尺，第三次剩下12×12×12=123尺，
则第n天后“一尺之棰”剩余的长度为：12n．
故答案为：12n．
16.【答案】3.7×105
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，据此作答即可．
【解答】
解：370000=3.7×105．
故答案为：3.7×105．
17.【答案】解：(1)根据题意得：x3−2<0；
(2)根据题意得：2y+4≥0；
(3)根据题意得：(a+b)2≤b2．
【解析】(1)根据“x的13倍减去2是负数”，即可列出关于x的一元一次不等式；
(2)根据“y的2倍与4的和不小于0”，即可列出关于y的一元一次不等式；
(3)根据“a与b两数和的平方不大于b的平方”，即可列出关于a，b的不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意是关键．
18.【答案】解：(1)x2+2x−8，
=x2+2x+1−1−8，
=(x+1)2−9，
=(x+1−3)(x+1+3)，
=(x−2)(x+4)；
(2)x2+4x−3=x2+4x+4−4−3=(x+2)2−7，
∵x+22⩾0，
∴多项式x2+4x−3的最小值是−7；
(3)a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
即a2+b2+c2+50−6a−8b−10c=0，
(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2−9−16−25+50=0，
(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，
∵(a−3)2≥0，(b−4)2≥0，(c−5)2≥0，
∴a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=32+42=c2
∴△ABC是直角三角形．
【解析】本题考查因式分解，配方法的的应用，偶次方的非负性，勾股定理逆定理有关知识．
(1)读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；
(2)将原式进行配方，然后根据偶次方的非负性求解即可；
(3)把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后根据各个非负数等于0，求出各条边长，然后再利用勾股定理逆定理解答．
19.【答案】解：(1)因为M=2x2−xy+y2，N=x2−2xy+y2，
所以2M−N=2(2x2−xy+y2)−(x2−2xy+y2)
=4x2−2xy+2y2−x2+2xy−y2
=3x2+y2；
(2)因为x为最大的负整数，y取m2−3的最小值，
所以x=−1，y=−3，
所以当x=−1，y=−3时，原式=3×(−1)2+(−3)2
=3×1+9
=3+9
=12．
【解析】(1)把M，N的值代入式子中，进行化简计算，即可解答；
(2)根据题意可得x=−1，y=−3，然后把x，y的值代入(1)中化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的加减−化简求值，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】−3 −1 5
【解析】解：(1)∵a，c满足|a+3|与(c−5)2互为相反数，
∴|a+3|+(c−5)2=0，
又∵|a+3|≥0，(c−5)2≥0，
∴a+3=0，c−5=0，
∴a=−3，c=5，
∵b是最大的负整数，
∴b=−1；
故答案为：−3，−1，5；
(2)由题意得：a=−3−2t，b=−1+t，c=5+3t，
∴BC=c−b=(5+3t)−(−1+t)=2t+6，AB=b−a=(−1+t)−(−3−2t)=3t+2，
∵3BC−AB的值恰好等于2023，
∴3BC−AB=3(2t+6)−(3t+2)=2023，
解得：t=669，
答：经过669秒后，3BC−AB的值恰好等于2023．
(1)根据相反数的意义得|a+3|+(c−5)2=0，再根据非负数的性质可得a，b的值，然后根据b是最大的负整数可得b的值；
(2)先依题意得a=−3−2t，b=−1+t，c=5+3t，则BC=2t+6，AB=3t+2，再根据3BC−AB的值恰好等于2023，得3(2t+6)−(3t+2)=2023，据此解出t即可．
此题主要考查了数轴，非负数的性质，理解数轴上两点之间的距离，熟练掌握非负数的性质是解决问题的关键．
21.【答案】(1)∵|a+5|+(b+1)2=0，
∴|a+5|=0，(b+1)2=0，
∴a=−5，b=−1；
(2)①t=34；
②设t秒重叠2个单位长度．
m在n后面时，CB=3−(−1)=4，
则4t=3t+4+2，
解得：t=6；
m在n前面时，AD=8−(−5)=13，
则4t=3t+13−2，
解得：t=11。
综上，t=6s或11s．
【解析】【分析】
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握非负数性质是解决此题关键．
(1)根据非负数的性质可得答案；
(2)①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可．
【解答】
解：(1)详细见答案；
(2)①设木棒m的中点E在数轴上对应的数为−5−12=−3，
∴EO=3，
∴t=EO4=34s。
故答案为：t=34；
②见答案．
22.【答案】解：(1)设5−x=a，x−2=b，
则ab=(5−x)(x−2)=2，a+b=(5−x)+(x−2)=3，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+4+b2=9，
所以a2+b2=5，即(5−x)2+(x−2)2=5．
(2)设6−x=a，4−x=b，
则ab=(6−x)(4−x)=8，a−b=(6−x)−(4−x)=2，a+b=10−2x．
因为(a−b)2=a2−2ab+b2=4，ab=8，
所以a2+b2=20，
所以(10−2x)2=(a+b)2=a2+2ab+b2=20+16=36．
【解析】(1)设5−x=a，x−2=b，根据题目中给出的方法进行求解即可；
(2)设6−x=a，4−x=b，根据题目中给出的方法进行求解即可．
本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并灵活运用是解答本题的关键．