2024-2025学年陕西省咸阳实验中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳实验中学高二（上）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为( )
A. 19B. 23C. 21D. 18
2.已知a=(−2,5)，b=(2,1)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. 145145B. 5145C. 325D. −325
3.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，且m⊥α，n//β，则下列命题为真命题的是( )
A. 若α⊥β，则m⊥nB. 若m//n，则α⊥β
C. 若m⊥β，则n//αD. 若m//β，则n//α
4.若函数f(x)=ln(1+ax)−x是偶函数，则a=( )
A. e2B. eC. eD. e2
5.已知复数z=1+2i，则z−−1+3i4i−1在复平面内对应的点的坐标为( )
A. (417,117)B. (417,−117)C. (−417,117)D. (−417,−117)
6.若集合M={x|sinx=cs2x}，N={x|csx=sin2x}，则( )
A. M∩N=⌀B. M∩N=MC. M∪N=RD. M∪N=M
7.如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么( )
A. 2 S0= S+ S′B. S0= S′S
C. 2S0=S+S′D. S02=2S′S
8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为( )
A. 1+ 22
B. 4+2 22
C. 1+ 32
D. 4+ 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2的共轭复数分别为z1−，z2−，则下列命题为真命题的有( )
A. z1+z2−=z1−+z2−B. |z1⋅z2|=1
C. 若z1−z2>0，则z1>z2D. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0
10.已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5(x1<0,x2,x3,x4,x5>0)的方差为s2，平均数x−>0，则( )
A. 数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的方差为9s2
B. 数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的平均数大于0
C. 数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2
D. 数据x2，x3，x4，x5的平均数大于x−
11.如图1，扇形ABC的弧长为12π，半径为6 2，线段AB上有一动点M，弧AB上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆锥中( )
A. 圆锥的体积为216π
B. 当M为AB中点时，线段MN在底面的投影长为3 7
C. 存在M，使得MN⊥AB
D. MNmin=3 302
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5：2：3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则n= ______．
13.在△ABC中，AD是边BC上的高，若AB=(1,3),BC=(6,3)，则|AD|= ______．
14.max{x1,x2,x3}表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则max{x,2y,4x2+1y2}的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径(单位：mm)数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是[98,103]，样本数据分组为[98,99)，[99,100)，[100,101)，[101,102)，[102,103].已知样本中钢球直径在[100,101)内的个数是20．
(1)求样本容量；
(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在[99,102)的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数．
16.(本小题15分)
设O为坐标原点，向量OZ1、OZ2、OZ3分别对应复数z1、z2、z3，且z1=a2+(2−a)i，z2=−1+(3−2a)i，z3=2−mi(a,m∈R).已知z1−+z2是纯虚数．
(1)求实数a的值；
(2)若Z1，Z2，Z3三点共线，求实数m的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求点P到平面AEF的距离．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2 2c,sinA=cs(B−C)．
(1)求B；
(2)若D是边BC上一点，且AD=CD= 10，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
(1)求OA⋅AB(结果用θ表示)；
(2)若θ=60°
①求CA⋅CB的取值范围；
②设OM=tOB(0答案解析
1.C
【解析】解：将这10个数据从小到大排列为：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，
所以这组数据的中位数是19+232=21．
故选：C．
根据中位数的定义即可求解．
本题主要考查中位数的求解，考查计算能力，属于基础题．
2.A
【解析】解：根据a=(−2,5)，b=(2,1)，可得|a|= 4+25= 29，|b|= 4+1= 5，a⋅b=−2×2+5×1=1．
所以cs=a⋅b|a|⋅|b|=1 29⋅ 5= 145145，即a、b夹角的余弦值等于 145145．
故选：A．
根据平面向量数量积的坐标表示、向量的模的公式，求出|a|、|b|、a⋅b，然后利用向量的夹角公式算出答案．
本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、向量的模与夹角公式等知识，属于基础题．
3.B
【解析】解：对于A，可能相交，如图所示正方体中，若m为直线BB1，
α为平面A1B1C1D1，β为平面ADD1A1，若n为CC1，则m//n，故A错误；
对于B：由m//n，n//β，可得m//β或m⊂β，
当m⊂β，又m⊥α，所以α⊥β，
当m//β，则在β内存在l//m，又m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故B正确；
对于C：m⊥β，m⊥α，则可得α//β，又n//β，所以n//α或n⊂α，故C错误；
对于D：m//β，m⊥α，可得α⊥β，又n//β，可得n//α或n与α相交，故D错误．
故选：B．
利用空间直线，平面的位置关系逐项判断可得每个选项的正确性．
本题考查空间直线，平面位置关系的判定，属于中档题．
4.A
【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(1+ax)−x的定义域为R，
因为函数f(x)=ln(1+ax)−x是偶函数，
所以f(−x)=f(x)，所以ln(1+a−x)+x=ln(1+ax)−x，
可得2x=ln(1+ax)−ln(1+a−x)，
可得2x=ln(1+ax1+a−x)=ln[(1+ax)axax+1]=lnax=xlna对x∈R均成立，
所以a=e2．
故选：A．
根据题意，利用偶函数的定义，可得ln(1+a−x)+x=ln(1+ax)−x对定义域内的每一个数均成立，变形可得a的值，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及对数的运算，属于基础题．
5.B
【解析】解：由题意，z−=1−2i，则z−−1+3i4i−1=1−2i−1+3i4i−1=i(4i+1)(4i−1)(4i+1)=4−i17，
¯−1+3i4i−1在复平面内对应的点的坐标为(417,−117).
故选：B．
根据复数的运算化简，可得所求坐标．
本题考查复数的运算，属于基础题．
6.B
【解析】解：集合M={x|sinx=cs2x}，N={x|csx=sin2x}，
由sinx=cs2x，可得sinx=1−2sin2x，可得2sin2x+sinx−1=0，
解得sinx=12或sinx=−1，
所以M={x|x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ或x=3π2+2kπ,k∈Z}，
由csx=sin2x，可得csx=2sinxcsx，解得csx=0或sinx=12，
所以N={x|x=π6+2kπ或x=5π6+2kπ或x=π2+kπ,k∈Z}，
所以M∩N=M．
故选：B．
解方程分别求得M，N，进而可判断结果．
本题考查交集定义、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.A
【解析】解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，
根据相似比的性质可得：(aa+2r)2 =S′S(aa+r)2=S′S0，可得：a+2ra= S S′a+ra= S0 S′
消去r，可得2 S0= S+ S′
故选：A．
棱台不妨看作三棱台，利用相似的性质，面积之比是相似比的平方，化简即可．
本题考查棱台的结构特征，结论可作公式应用，是基础题．
8.B
【解析】解：如图，
连接BC1，D1B1，则N为BC1的中点，
将三棱锥B−B1C1D1沿BC1展开成平面图形如下图，
∴|NN′|即为三角形PMN周长的最小值，
∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，N为BC1中点，
∴其中BN=BN′= 22，∠C1BC1′=135°，
∵|NN′|2=|BN|2+|BN′|2−2|BN||BN′|cs135°= 12+12+2× 22× 22× 22= 4+2 22．
故本题选B．
9.AD
【解析】解：对于A，设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，
z1+z2=a+c+(b+d)i，z1−=a−bi，z2−=c−di，
故z1+z2−=a+c−(b+d)i=z1−+z2−，故A正确；
对于B，令z1=i，z2=2i，
故z1⋅z2=2i2=−2，
故|z1⋅z2|=2，故B错误；
对于C，令z1=2+i，z2=1+i，满足z1−z2>0，但虚数不能比较大小，故C错误；
对于B，若z1z2=0，
则|z1z2|=|z1||z2|=0，解得|z1|=0或|z2|=0，
故z1=0或z2=0，故D正确．
故选：AD．
结合复数的四则运算，复数模公式，共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数模公式，共轭复数的定义，属于基础题．
10.AD
【解析】解：对于A，由方差的性质可知，数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的方差为32×s2=9s2，故A正确；
对于B，由平均数的性质可知，数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的平均数为3x−−2，
因为x−>0，所以3x−−2的正负无法判断，故B错误；
对于C，因为x1<0，x2，x3，x4，x5>0，
所以x1是这组数据中最小的数，
去掉x1后，数据显然更集中，所以数据x2，x3，x4，x5的方差小于s2，故C错误；
对于D，数据x2，x3，x4，x5的平均数为x2+x3+x4+x54=5x−−x14=x−+x−−x14，
因为x1<0，x−>0，
所以x−−x14>0，
所以x−+x−−x14>x−，
即数据x2，x3，x4，x5的平均数大于x−，故D正确．
故选：AD．
根据平均数和方差的性质逐项判断各个选项即可．
本题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题．
11.BCD
【解析】解：根据题意可得圆锥母线长为6 2，圆锥的底面半径为12π2π=6，
所以圆锥的高为 (6 2)2−62=6，
对A选项，圆锥的体积为13×π×62×6=72π，故A选项错误；
对B选项，M为AB中点时，设圆锥的底面圆心为O，
易知线段MN在底面的投影为图中的HN，其中H为BO中点，
又易知图1中BN=12π3=4π，
所以上图圆O中∠BON=4π6=2π3，又BO=NO=6，所以HO=3，
由余弦定理可得HN= 32+62−2×3×6×(−12)=3 7，故B选项正确；
对C，D选项，由B选项图中，易知BN=6 3，又AB=AN=6 2，
由余弦定理易知△ABN的三个角都为锐角，所以存在M，使得MN⊥AB，
即过N作NM⊥AB于点M，且此时MN最小，
根据等面积法可知 12×6 3× (6 2)2−(3 3)2=12×6 2×MN，
解得MN=3 302，故C，D选项正确．
故选：BCD．
12.200
【解析】解：60n=35+2+3，解得n=200．
故答案为：200．
根据分层抽样方法计算即可．
本题考查分层抽样，属于基础题．
13. 5
【解析】解：设BD=mBC=(6m,3m)，
则AD=AB+BD=(1,3)+(6m,3m)=(6m+1,3m+3)，
由AD⋅BC=0，得AD⋅BC=6(6m+1)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=0，
解得m=−13，所以AD=(1−2,3−1)=(−1,2)，
所以|AD|= (−1)2+22= 5．
故答案为： 5．
设BD=mBC=(6m,3m)，表达出AD=(6m+1,3m+3)，根据垂直关系得到方程，求出m=−13，进而得到答案．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．
14.2
【解析】解：设N=max{x,2y,4x2+1y2}，则x≤N，2y≤N，4x2+1y2≤N，
因x>0，y>0，则得2xy(4x2+1y2)≤N3．
又因2xy⋅(4x2+1y2)≥2xy⋅(2 4x2⋅1y2)=2xy⋅4xy=8，
所以N3≥8，
当且仅当x=2y=4x2+1y2=2，
即x=2，y=1时等号成立，故max{x,2y,4x2+1y2}的最小值为2．
故答案为：2．
设N=max{x,2y,4x2+1y2}，因x>0，y>0，可得2xy(4x2+1y2)≤N3，借助于基本不等式可得N3≥8，验证等号成立的条件x=2y=4x2+1y2=2，即得Nmin．
本题属于新概念题，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
15.解：(1)因为样本中钢球直径在[100,101)内的个数是20，其频率为0.40，
所以样本容量为n=200.4=50．
(2)样本中这批产品的不合格产品件数为(0.08+0.08)×50=8，
由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为850×1000=160．
【解析】(1)用频数除以频率即可求解；
(2)首先求出样本中不合格产品的占比，由此乘以该批钢球总数即可得解．
本题考查频率分布直方图的性质与应用，属基础题．
16.解：(1)由题意可得z1−+z2=a2−1+(1−a)i，
由于复数z1−+z2是纯虚数，则a2−1=01−a≠0，解得a=−1；
(2)由(1)可得z1=1+3i，z2=−1+5i，则点Z1(1,3)，Z2(−1,5)，点Z3(2,−m)
所以，Z1Z2=(−2,2),Z1Z3=(1,−m−3)
因Z1，Z2，Z3三点共线，所以Z1Z2//Z1Z3，所以(−2)×(−m−3)=1×2，
所以m=−2．
【解析】(1)根据z1−+z2是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；
(2)根据Z1Z2//Z1Z3，求解即可．
本题考查纯虚数、共轭复数的定义、三点共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，
∴AB⊥BC，CD⊥AD，
∵AB∩PB=B，AD∩PD=D，
∴BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴PA⊥BC，PA⊥CD，
∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．
(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点，
∴P(0,0,2)，A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)，
AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)，AP=(0,0,2)，
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=x+z=0n⋅AF=y+z=0，取x=1，得n=(1,1,−1)，
∴点P到平面AEF的距离为：
d=|AP⋅n||n|=2 3=2 33．
【解析】(1)推导出AB⊥BC，CD⊥AD，从而BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，进而PA⊥BC，PA⊥CD，由此能证明PA⊥平面ABCD．
(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面AEF的距离．
本题考查线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.解：(1)由sinA=cs(B−C)，可得sin(B+C)=cs(B−C)，
即sinBcsC+csBsinC=csBcsC+sinBsinC，
则(sinB−csB)(sinC−csC)=0，
若sinB−csB=0，则tanB=1，
又B∈(0,π)，所以B=π4；
若sinB−csB≠0，则csC=sinC，即tanC=1，
且C∈(0,π)，所以C=π4，
但a=2 2c，由正弦定理可得sinA=2 2sinC=2>1，不合题意；
综上所述：B=π4．
(2)因为AD=CD= 10，则BD=2 2c− 10，

在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcsB，
即10=c2+(2 2c− 10)2−2c(2 2c− 10)× 22，
整理可得5c2−6 5c=0，解得c=6 55或c=0(舍去)，
则a=2 2c=12 105，
所以△ABC的面积S△ABC=12acsinB=12×12 105×6 55× 22=365．
【解析】(1)根据题意结合三角恒等变换可得(sinB−csB)(sinC−csC)=0，进而可得结果；
(2)根据题意利用余弦定理解得c=6 55，再结合面积公式运算求解．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属中档题．
19.解：(1)OA⋅AB=|OA||AB|cs(π−∠OAB)=−|AB|cs∠OAB=csθ−1；
(2)当θ=60°时，OA⋅OB=12
①CA⋅CB=(OA−OC)⋅(OB−OC)=OA⋅OB−OA⋅OC−OC⋅OB+1．
设∠BOC=α，由条件知，α∈[0,2π3]，
∴CA⋅CB=32−cs(π3+α)−csα=32−12csα+ 32sinα−csα
=32−32csα+ 32sinα=32− 3( 32csα−12sinα)=32− 3cs(α+π6)．
∵α∈[0,2π3]，∴cs(α+π6)∈[− 32, 32]，
∴CA⋅CB∈[0,3]；
②设AM=λAC(0<λ<1)，则OM=OA+AM=OA+λAC=(1−λ)OA+λOC=tOB，
∴OC=tλOB−1−λλOA，
由OC=1可得，|tλOB−1−λλOA|=1，
即(tλ)2+(1−λλ)2−2×tλ×1−λλ×OA⋅OB=1，整理得λ=t2−t+12−t，
∴CMAM=1−λλ=1−t2t2−t+1，
∴S△COMS△BMA=OM·CMMB·AM=t1−t×1−t2t2−t+1=t2+tt2−t+1．
即f(t)=t2+tt2−t+1(0而f(t)=t2+tt2−t+1=1+2t−1t2−t+1．
令2t−1=a(−1当a=0时，g(0)=1；
当a≠0时，g(a)=1+4a+3a，利用单调性定义可证明函数y=a+3a在(−1,0)和(0,1)都是递减的，
设x1,x2∈0,1，且x1则x1y2，所以y=a+3a在(0,1)上单调递减，
由于y=a+3a是奇函数，则y=a+3a在(−1,0)和(0,1)单调递减，
因此，a+3a>4或a+3a<−4，
∴函数f(t)=t2+tt2−t+1(0【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于困难题．
(1)直接利用平面向量的数量积把OA⋅AB用θ表示；
(2)①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把CA⋅CB用∠BOC表示，化简整理后由∠BOC得范围求得CA⋅CB的取值范围；
②设AM=λAC(0<λ<1)，则OM=OA+AM=OA+λAC=(1−λ)OA+λOC=tOB，∴OC=tλOB−1−λλOA，由OC=1可得，tλOB−1−λλOA=1，整理得λ=t2−t+12−t，然后把S△COMS△BMA转化为含有t的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数f(t)的值域．