2024-2025学年湖南省益阳市沅江市共华中学八年级（上）开学数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年湖南省益阳市沅江市共华中学八年级（上）开学数学试卷（含详解），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1B. x≠0C. x≠−1D. x>1
2.下列各式正确的是( )
A. ba=b2a2B. a2+b2a+b=a+bC. 2y2x+y=yx+yD. xy+y2x2−y2=yx−y
3.已知点P(m−1,4)与点Q(2,n+2)关于y轴对称，则nm的值为( )
A. −2B. 12C. −12D. 1
4.化简4a22a−b+b2b−2a的结果是( )
A. −2a+bB. −2a−bC. 2a+bD. 2a−b
5.小明和同学去距学校15千米的某景点参观，小明骑自行车先走，过了10分钟，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度比小明骑车速度快50千米/时，设小明骑车速度为x千米/时，则所列方程正确的是( )
A. 15x−50−15x=10B. 15x−15x+50=10
C. 15x−15x−50=16D. 15x−15x+50=16
6.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．
下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；
③OM平分∠BOC；
④MO平分∠BMC．
其中正确的个数为( )
A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②④
7.下列命题中，属于假命题的是( )
A. 等底等高的两个三角形的面积相等B. 三角形的外角和等于内角和的2倍
C. 三角形的一个外角等于两个内角的和D. 全等三角形的面积相等
8.已知在△ABC中，AB=AC=6.5，AD⊥BC于点D，AD=6，BD=2.5，点P为AD边上的动点.点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是( )
A. 5
B. 6
C. 6013
D. 6011
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若∠BED=70°，则∠CAE的度数为( )
A. 30°B. 40°
C. 50°D. 60°
10.如图，已知AB=AC，∠ADB=∠E，要使△BAD≌△CAE，则不符合条件的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠B=∠C
C. BD=CE
D. ∠BAD=∠CAE
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧MN，分别交OA，OB于点M，N，再以点N为圆心，以MN长为半径画弧PQ，交弧MN于点C，画射线OC.若∠AOB=31°52′12″，则∠AOC的度数为______度.
12.计算(1−12)×(1−13)×(1−14)×⋯×(1−12022)=______．
13.计算：|−5|+(2− 3)0= ______．
14.若x−3(x+1)(x−1)=Ax+1+Bx−1，那么A−B= ______．
15.已知关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，且一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，则整数a的值为______．
16.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E.以下四个结论：
①∠CDE=∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD=30°时，BD=CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD=30°．
其中正确的结论是______(把你认为正确结论的序号都填上)．
17.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，连接BE.若BD=3cm，△ABC的周长为16cm，则△BCE的周长为______cm．
18.如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE.若BD=3，CE=5，则DE=______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
先化简再求值：[(x−y)2−(x+y)(x−y)]÷2y，其中x=−3，y=2．
20.(本小题7分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等.请问：A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
21.(本小题8分)
“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物深受大家喜爱.某文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，花费分别是24000元和10000元，已知“冰墩墩”毛绒玩具的订购单价是“雪容融”毛绒玩具的订购单价的1.2倍，并且订购的“冰墩墩”毛绒玩具的数量比“雪容融”毛绒玩具的数量多100件.求文旅店订购的两种毛绒玩具的单价分别是多少元；
22.(本小题8分)
先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2−1x2−2x+1，其中x= 2−1．
23.(本小题9分)
如图，四边形ABCD中，BC=CD，AC=DE，AB//CD，∠B=∠DCE=90°，AC与DE相交于点F．
(1)求证：△ABC≌△ECD；
(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由．
24.(本小题9分)
如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．
25.(本小题9分)
生活中的数学：
(1)启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠発坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是______．
(2)图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，请说明AD=CB的理由．
26.(本小题9分)
如图，某段河流的两岸是平行的，某校八年级数学兴趣小组在林老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在树A的对岸l正对位置选一点B，使得AB⊥l；
②从点B沿河岸直走25米有一树C，继续前行25米到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走到达E处，使得树A、树C、点E三点共线；
④测得DE的长为20米．
(1)根据他们的做法补全图形并标出点B、D、E的位置；
(2)求该段河流的宽度是多少米？
答案解析
1.A
【解析】解：∵分式2x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≠0，
解得：x≠1．
故选：A．
直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
2.D
【解析】解：A、当a≠b时，原式不成立，故本选项错误；
B、当(a+b)2a+b=a+b，原式不成立，故本选项错误；
C、2y2x+2y=yx+y，故本选项错误；
D、原式成立，故本选项正确．
故选：D．
根据分式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质．
3.B
【解析】解：∵点P(m−1,4)与点Q(2,n+2)关于y轴对称，
∴m−1=−2，n+2=4，
解得：m=−1，n=2，
则nm的值为：2−1=12．
故选：B．
直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
4.C
【解析】解：原式=4a22a−b−b22a−b
=4a2−b22a−b
=(2a+b)(2a−b)2a−b
=2a+b．
故选：C．
先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
本题考查了分式的加减法运算，掌握分式的加减法运算法则是关键．
5.D
【解析】解：由题意可得：15x−15x+50=16．
故选：D．
根据“小明和同学去距学校15千米的某景点参观，小明骑自行车先走，过了10分钟，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
6.D
【解析】解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，①正确；
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA>OC矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：D．
由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
7.C
【解析】解：A、等底等高的两个三角形的面积相等，该命题是真命题，不合题意；
B、三角形的外角和等于内角和的2倍，该命题是真命题，不合题意；
C、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，符合题意；
D、全等三角形的面积相等，该命题是真命题，不合题意；
故选：C．
根据三角形的面积、三角形的内角和与外角和定理、三角形的外角的性质、全等三角形的性质逐一判断即可求解．
本题考查了真假命题，掌握三角形的面积、三角形的内角和与外角和定理、三角形的外角性质、全等三角形的性质是解题的关键．
8.C
【解析】解：∵AD=6，BD=2.5，AB=6.5，
∴AB2=6.52=42.25，AD2+BD2=62+2.52=42.25，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°，
∵D为BC的中点，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，
∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AD，
∴6.5⋅CE=5×6，
∴CE=6013，
∴PE+PB的最小值为6013，
故选：C．
根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
9.C
【解析】解：∵AB的中垂线交AB于点D，交BC于点E，
∴AE=BE，∠EDB=90°，
∴∠B=∠EAD，
∵∠BED=70°，
∴∠B=90°−70°=20°，
∴∠EAD=20°，∠CAB=90°−∠B=70°，
∴∠CAE=70°−20°=50°，
故选C．
根据线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出∠B=∠EAB，求出∠B，即可求出∠EAB和∠CAB，即可求出答案．
本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出∠CAB和∠EAD的度数，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
10.C
【解析】解：A、∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，又由AB=AC，∠ADB∠E，根据AAS可判定△BAD△CAE，故此选项不符合题意；
B、由AB=AC，∠ADB=∠E，∠B=∠C，根据AAS可判定△BAD△CAE，故此选项不符合题意；
C、由AB=AC，BD=CE，∠ADB=∠E，这是两边及一边的对角，不能判定△BAD△CAE，故此选项符合题意；
D、由AB=AC，∠ADB=∠E，∠BAD=∠CAE，根据AAS可判定△BAD△CAE，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据全等三角形的判定解决此题．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解决本题的关键．

【解析】解：由题意得：∠AOB=∠BOC=31°52′12″，
∴∠AOC=2∠AOB=2×31°52′12″=62°104′24″=63°44′24″，
∵1′=60′，
∴24″=0.4′，
∵1°=60′，
∴44.4′=0.74°，
∴∠AOB=63.74°，
故答案为：63.74°．
根据题意可得：∠AOB=∠BOC=31°52′12″，从而可得∠AOC=63°44′24″，然后利用度分秒的进制进行计算，即可解答．
本题考查了度分秒的换算，角平分线的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.12022
【解析】解：原式=12×23×34×…×20212022
=12022．
求出小括号里面的值，进行约分即可得出答案．
本题考查有理数的乘法，求出小括号里面的值，进行约分是解题的关键．
13.6
【解析】解：原式=5+1
=6．
故答案为：6．
利用绝对值的意义和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的意义和零指数幂的意义是解题的关键．
14.3
【解析】解：x−3(x+1)(x−1)=Ax+1+Bx−1=A(x−1)+B(x+1)(x+1)(x−1)=(A+B)x+B−A(x+1)(x−1)，
∴A+B=1B−A=−3，
解得A=2B=−1，
∴A−B=2−(−1)=3，
故答案为：3．
根据异分母分式加法得到x−3(x+1)(x−1)=Ax+1+Bx−1=(A+B)x+B−A(x+1)(x−1)，由此得到方程组A+B=1B−A=−3，求解即可．
此题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握异分母分式加法计算法则是解题的关键．
15.3
【解析】解：去分母得：1−ax+1+2−x=0，
解得：x=4a+1且x≠2，
∵关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，
∴4a+1为整数且4a+1≠2，
解得：a=0或3或−5或−3或−2，
∵一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，
∴a>0，
∴符合条件的a的值为3，
故答案为：3．
解分式方程得x=4a+1且x≠2，则整数a为0，3，−5，−3，−2时分式方程的解为整数解，再解不等式a>0，从而得到满足条件的整数a的值．
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了一元一次不等式组的整数解，求出a值是本题的关键．
16.①②③
【解析】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAD=180°−40°−∠ADB，∠CDE=180°−40°−∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°−70°−40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC，
∵AB=AC，
∴DC=AB，
∴△ABD≌△DCE(ASA)，
∴BD=CE；故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED>40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∴∠BAD=60°，故④错误，
故答案为：①②③．
①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED>40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD=60°，故④错误．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
17.10
【解析】解：∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴AD=BD=3cm，AB=6cm，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AC+BC=16−6=10(cm)，
△BCE的周长=BC+CE+AE=BC+CE+AE=10(cm)．
故答案为：10．
由已知条件，利用垂直平分线的性质可得其两条边AE=BE，然后等效替换即可求出周长．
本题考查了等腰三角形的性质及判定及垂直平分线的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
18.8
【解析】解：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
∠BDA=∠AEC∠ABD=∠CAEAB=CA,
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD=AE=3，AD=CE=5，
∴DE=AD+AE=8，
故答案为：8．
根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，根据“AAS”判断△ADB≌△CEA是解题的关键．
19.解：[(x−y)2−(x+y)(x−y)]÷2y
=(x2−2xy+y2−x2+y2)÷2y
=(−2xy+2y2)÷2y
=−x+y，
当x=−3，y=2时，
原式=−(−3)+2
=3+2
=5．
【解析】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少(x+0.3)万元，
根据题意得15x=20x+0.3，
解得x=0.9，
经检验x=0.9是原方程的解，
x+0.3=1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元．
【解析】设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少(x+0.3)万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可．
本题考查了分式的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
21.解：设文旅店订购的“雪容融”毛绒玩具的单价为x元，则“冰墩墩”毛绒玩具的单价为1.2x元，
由题意得：240001.2x−10000x=100，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×100=120，
答：文旅店订购的“雪容融”毛绒玩具的单价为100元，“冰墩墩”毛绒玩具的单价为120元．
【解析】设文旅店订购的“雪容融”毛绒玩具的单价为x元，则“冰墩墩”毛绒玩具的单价为1.2x元，根据订购的“冰墩墩”毛绒玩具的数量比“雪容融”毛绒玩具的数量多100件．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.解：原式=1x−1×(x−1)2(x+1)(x−1)=1x+1，
当x= 2−1时，
原式=1x+1=1 2−1+1= 22．
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
23.(1)证明：在Rt△ABC和Rt△ECD中，
AC=DEAB=EC，
∴Rt△ABC≌Rt△ECD(HL)，
(2)解：AC⊥DE.理由如下：
∵△ABC≌△ECD，
∴∠BCA=∠CDE，
∵∠B=∠DCE=90°，
∴∠BCA+∠ACD=90°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
∴∠DFC=180°−(∠CDE+∠ACD)=90°，
∴AC⊥DE．
【解析】(1)根据HL即可证明△ABC≌△ECD．
(2)根据△ABC≌△ECD得到∠BCA=∠CDE，结合∠B=∠DCE=90°得到∠DFC=90°，即可得结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
24.(1)证明：在△ABE和△DCE中，
∠A=∠D∠AEB=∠DECAB=DC，
∴△ABE≌△DCE(AAS)；
(2)解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=2∠EBC=50°，
∴∠EBC=25°．
【解析】(1)根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
(2)根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．
本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
25.(1)三角形具有稳定性；
(2)证明：∵O是AB和CD的中点，
∴AO=BO，CO=DO，
在△AOD和△BOC中，
AO=BO∠AOD=∠BOCDO=CO，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴AD=BC．
【解析】(1)利用三角形的稳定性进行解答即可；
(2)利用SAS判定△AOD≌△BOC，再利用全等三角形的性质可得答案．
此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的稳定性，关键是掌握全等三角形的判定方法．
26.解：(1)根据题意，图如下：
．
(2)根据题意，得∠ABC=∠EDC=90°AC=CD∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=ED=20(米)，
故该段河流的宽度是20米．
【解析】(1)根据要求画出相应的图形即可；
(2)根据要求证明△ABC≌△EDC即可．
本题考查了作图，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．