2024-2025学年河南省南阳第二十一学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳第二十一学校九年级（上）开学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. −3B. 3mC. a2+1D. 35
2.下列计算正确的是( )
A. 3− 2=1 B. 2 5+3 5=5 10 C. 3×2 2=6 6 D. 6÷ 3= 2
3.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. xy+3=2B. x2+1x−3=0C. ax2+bx+c=0 D. x2=9
4.下列各组线段中是成比例线段的是( )
A. 3cm，6cm，7cm，9cmB. 2cm，5cm，0.6dm，8cm
C. 3cm，9cm，6cm，1.8dmD. 1cm，2cm，3.5cm，4cm
5.关于x的方程(m+2)x|m|+mx−1=0是一元二次方程，则m=( )
A. 2或−2B. 2C. −2D. 0
6.用配方法解方程x2−6x+2=0，配方后所得的方程是( )
A. (x−3)2=11B. (x+3)2=11C. (x−3)2=7D. (x+3)2=7
7.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2(k+1)=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个实数根D. 没有实数根
8.x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2a+4b=( )
A. −2B. −3C. 4D. −6
9.如图，DE//BC，则下列比例式正确的是( )
A. AEEC=ADDB
B. AEAB=ADAC
C. ADBD=DEBC
D. ADAC=DEBC
10.王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为( )
A. (80−x)(70−x)=3000B. 80×70−4x2=3000
C. (80−2x)(70−2x)=3000D. 80×70−4x2−(70+80)x=3000
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 3−2x在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．
12.若最简二次根式2b−a4a+3b与 2a−b+8是同类二次根式，则a+b= ______．
13.若xy=5，则xx−y= ______．
14.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 (a−b)2+|b− 5|−(a+ 5)，结果为______．
15.等腰三角形的边长是方程x2−8x+15=0的解，则这个三角形的周长是______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算：
(1) 12−6 13+ 48；
(2)( 3+2)(2− 3)+( 3− 2)2
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算： 12+(13)−2−(π−3.14)0−| 3−2|．
18.(本小题20分)
用合适的方法解下列方程．
(1)9(x−2)2=16；
(2)(3−x)x=(3−x)；
(3)2x2+x−3=0；(公式法)
(4)x2+10x−11=0.(配方法)
19.(本小题8分)
关于x的一元二次方程mx2−(2m−3)x+(m−1)=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求此方程的根．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE//AC，DF//AE，BDAD=32，BF=9cm，求EF和EC的长．
21.(本小题6分)
2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红.据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件.若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
22.(本小题8分)
某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则每天可销售200箱.现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱.为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x(x>60)元．
(1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；
(2)现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？
23.(本小题12分)
已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚(如图)，一边利用教学楼的后墙(可利用的增长为28m)，另外的边利用学校现有总长55m的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
(1)求线段AB的取值范围；
(2)若围成的面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)能围成面积为300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
答案解析
1.C
【解析】解：A、 −3中的−3<0，不是二次根式，故不符合题意；
B、当m<0时， 3m无意义，故不符合题意；
C、a2+1≥0，则 a2+1符合二次根式的定义，故符合题意；
D、35是三次根式，故不符合题意．
故选：C．
根据形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式判断即可．
本题考查了二次根式的定义，掌握形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的关键．
2.D
【解析】解：A． 3与 2不能合并，所以A选项不符合题意；
B.2 5+3 5=5 5，所以B选项不符合题意；
C.3×2 2=6 2，所以C选项不符合题意；
D. 6÷ 3= 6÷3= 2，所以D选项符合题意．
故选：D．
利用二次根式的减法运算对A选项进行判断；利用二次根式的加法运算对B选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对C选项进行判断；利用二次根式的除法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
3.D
【解析】解：A中方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B中方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C中方程当a=0时不是一元二次方程，不符合题意；
D中方程是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
4.C
【解析】解：A、由于3×9≠6×7，所以不成比例，不符合题意；
B、由于0.6dm=6cm，2×8≠5×6，所以不成比例，不符合题意；
C、由于1.8dm=18cm，3×18=9×6，所以成比例，符合题意；
D、由于1×4≠2×3.5，所以不成比例，不符合题意．
故选：C．
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
5.B
【解析】解：由题意知m+2≠0m=2,
所以m=2．
故选B．
本题考查一元二次方程的概念．
根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即m+2≠0m=2，解出m的值即可．
6.C
【解析】解：∵x2−6x+2=0，
∴x2−6x=−2，
则x2−6x+9=−2+9，即(x−3)2=7，
故选：C．
先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方，继而写成完全平方式即可．
本题主要考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤．
7.C
【解析】解：△=[−(k+3)]2−4×2(k+1)=(k−1)2，
∵(k−1)2≥0，
即△≥0，
∴方程有两个实数根．
故选：C．
先计算判别式得到△=[−(k+3)]2−4×2(k+1)=(k−1)2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
8.A
【解析】解：把x=1代入方程x2+ax+2b=0得1+a+2b=0，
所以a+2b=−1，
所以2a+4b
=2(a+2b)
=2×(−1)
=−2．
故选：A．
先把x=1代入方程x2+ax+2b=0得a+2b=−1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．
本题考查了一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的步骤是关键．
9.A
【解析】解：A.∵DE//BC，
∴AEEC=ADDB，
故A符合题意；
B.∵DE//BC，
∴AEAC=ADAB，
故B不符合题意；
C.∵DE//BC，
∴∠D=∠B，∠E=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
故C不符合题意；
D.∵DE//BC，
∴∠D=∠B，∠E=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=DEBC，
故D不符合题意；
故选：A．
根据平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐一判断即可．
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例是解题的关键．
10.C
【解析】解：由题意可得，
(80−2x)(70−2x)=3000，
故选：C．
根据题意可知裁剪后的底面的长为(80−2x)cm，宽为(70−2x)cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
11.x≤32
【解析】解：由题意得：3−2x≥0，
解得：x≤32，
故答案为：x≤32．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.2.5
【解析】解：∵最简二次根式2b−a4a+3b与 2a−b+8是同类二次根式，
∴2b−a=24a+3b=2a−b+8，解得a=1b=1.5．
a+b=1+1.5=2.5．
故答案为：2.5．
根据同类二次根式的定义列出方程组解答即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
13.54
【解析】解：∵xy=5，
∴x=5y，
∴xx−y=5y5y−y=54；
故答案为：54．
根据xy=5，得到x=5y，代入xx−y，进行求解即可．
本题考查比例的性质，知道比例的性质是解题的关键．
14.−2a
【解析】解：由数轴可得：a−b<0，b− 5<0，
故原式=b−a+ 5−b−a− 5
=−2a．
故答案为：−2a．
直接利用数轴上a，b的位置，得出a−b<0，b− 5<0，再利用二次根式以及绝对值的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质、实数与数轴，正确掌握相关性质是解题关键．
15.11或13
【解析】解：解方程x2−8x+15=0得：x=3或x=5，
当腰长为3时，则等腰三角形的三边长为3，3，5，
∵3+3>5，
∴此时能构成三角形，
∴这个三角形的周长是3+3+5=11；
当腰长为5时，则等腰三角形的三边长为3，5，5，
∵3+5>5，
∴此时能构成三角形，
∴这个三角形的周长是3+5+5=13；
综上所述，这个三角形的周长是11或13，
故答案为：11或13．
先利用因式分解法求出方程的解为x=3或x=5，再分当腰长为3时，当腰长为5时，两种情况根据构成三角形的条件讨论求解即可．
本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，解一元二次方程，正确记忆相关知识点是解题关键．
16.解：(1)原式=2 3−2 3+4 3
=4 3；
(2)原式=4−3+3−2 6+2
=6−2 6．
【解析】(1)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
(2)利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17.解： 12+(13)−2−(π−3.14)0−| 3−2|
=2 3+9−1−(2− 3)
=2 3+9−1−2+ 3
=3 3+6．
【解析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．
本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，正确记忆相关知识点是解题关键．
18.解：(1)∵9(x−2)2=16，
∴(x−2)2=169，
∴x−2=±43，
∴x1=23，x2=103；
(2)移项得，(3−x)x−(3−x)=0，
∴(3−x)(x−1)=0，
∴3−x=0或x−1=0，
∴x1=3，x2=1；
(3)a=2，b=1，c=−3，
∵Δ=12−4×2×(−3)=25>0，
∴x=−1± 252×2=−1±54，
∴x1=−32，x2=1；
(4)∵x2+10x−11=0，
∴x2+10x=11，
∴x2+10x+25=11+25，
即(x+5)2=36，
∴x+5=±6，
∴x1=−11，x2=1．
【解析】(1)利用直接开平方法解答即可；
(2)移项，利用因式分解法解答即可求解；
(3)利用公式法解答即可求解；
(4)移项，利用配方法解答即可求解．
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19.解：(1)根据题意得m≠0且Δ=[−(2m−3)]2−4m(m−1)≥0，
解得m≤98且m≠0；
(2)由(1)可知m≤98且m≠0，
又∵m为正整数，
∴m=1，
∴原方程变形为x2+x=0，解得x1=0，x2=−1．
【解析】(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：m≠0且Δ=[−(2m−3)]2−4m(m−1)≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；
(2)利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即Δ≥0．
20.解：∵DF//AE，
∴BFFE=BDAD=32，
∵BF=9cm，
∴FE=6cm，BE=BF+EF=15cm，
∵DE//AC，
∴BECE=BDAD=32，
∴CE=10cm．
【解析】利用DF//AE得到BFFE=BDAD=32，求出FE=6cm，BE=BF+EF=15cm，根据DE//AC得到BECE=BDAD=32，由此求出CE=10cm．
此题考查平行线分线段成比例，掌握其性质是解题的关键．
21.解：设月平均增长率是x，
由题意得，5(1+x)2=7.2，
解得x=0.2=20%或x=−2.2(舍去)，
答：月平均增长率是20%．
【解析】设月平均增长率是x，则2月份的销售量是5(1+x)万件，3月份的销售量为5(1+x)2万件，据此列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
22.(200−2x)
【解析】解：(1)平均每天的销售量为80−2(x−60)=(200−2x)(箱)．
故答案为：(200−2x)．
(2)依题意得：(x−50)(200−2x)=1200，
整理得：x2−150x+5600=0，
解得：x1=70，x2=80．
当x=70时，利润率=70−5050×100%=40%<50%，符合题意；
当x=80时，利润率=80−5050×100%=60%>50%，不合题意，舍去．
答：应按每箱70元销售．
(1)利用平均每天的销售量=200−2×提高的价格，即可用含x的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
(2)根据每天的销售利润=每箱的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合销售利润不能超过50%，即可确定x的值．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.解：(1)设线段AB的长为x m，则AD的长为(55−3x+2)m，
根据题意得0<55−3x+2≤28，解得293≤x<19，
∴线段AB的取值范围为293≤x<19；
(2)根据题意列方程，得x(55−3x+2)=270，
解得x1=10，x2=9；
当x=10时，55−3x+2=27(米)，
当x=9时，55−3x+2=30(米)，而墙长28m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为270m2，自行车车棚的长和宽分别为27米，10米；
(3)不能围成面积为300m2的自行车车棚．理由如下：
根据题意得x(55−3x+2)=300，
整理得：x2−19x+100=0，
∵Δ=(−19)2−4×100=−39<0，
∴方程无实数根，
∴不能围成面积为300m2的自行车车棚．
【解析】(1)设线段AB的长为x m，则AD的长为(55−3x+2)m，根据可利用的增长为28m，即可求解；
(2)表示出矩形面积，求出即可；
(3)由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题．
此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．