2024-2025学年广东省东莞市东华高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市东华高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
2.计算：(1+i1−i)2022+(1−i1+i)2023=( )
A. −1+iB. −1−iC. 0D. −2
3.已知向量a，b满足：|a|=1，|a+2b|=2，且(b−2a)⊥b，则|b|=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
4.一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是( )
A. 25B. 35C. 15D. 425
5.已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为12，则球与圆台的体积之比为( )
A. 14B. 12C. 23D. 34
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，ac=6，且sinA+sinC=2sin(A+C)，则b的值为( )
A. 4+2 3B. 4−2 3C. 3−1D. 3+1
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，(ω>0)，在区间(π6,2π3)上单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数f(x)的两条对称轴，则f(−5π12)=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
8.已知函数f(x)=x2+2x+2,x<0|lgx|,x>0，关于x的方程f(x)=m有4个根x1，x2，x3，x4(x1A. [2 2,+∞)B. (3,+∞)C. [2 2,3)D. (0,3)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3.从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积小于6”，则( )
A. 事件A发生的概率为14B. 事件A∪B发生的概率为56
C. 事件A，B是互斥事件D. 事件A，B相互独立
10.下列命题为真命题的是( )
A. ∃x∈R，sinx+csx=2
B. 已知函数f(x)=ln( x2+1+x)+1，则f(2021)+f(−2021)=2
C. 命题“角α是第一象限角”是“csα>0”的充分不必要条件
D. 当a>1时，函数f(x)=|lnx|+x−a有2个零点
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，AC1交平面A1BD于点E，点F为棱CD的中点，则( )
A. 四面体D1−A1CD的体积与表面积的数值之比为 2−16
B. 点C1到平面A1BD的距离为2 33
C. 异面直线BD与AC1所成的角为60°
D. 过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为98
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知cs(α+π6)=12，则sin(α−π3)= ．
13.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.6，P(AB)=0.42，则P(A+B)= ______．
14.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcsC═ccsB，则1tanA+1tanB+1tanC的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求样本中数据的第50百分位数；
(2)求样本数据的平均数；
(3)若将频率视为概率，现在要从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2入进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在[20,30)组的概率．
16.(本小题15分)
已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB．
(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
(1)求证：AM⊥平面PCD；
(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
18.(本小题17分)
甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)记向量ON=( 3,1)的相伴函数为f(x)，若f(x)=65，且x∈(−π6,π3)求sinx的值；
(2)设g(x)=2 3sinx2csx2+6cs2x2−3，试求函数g(x)的相伴特征向量OM，并求出与OM方向相同的单位向量；
(3)已知A(−3,2)，B(3,10)，OT=( 22, 22)为函数ℎ(x)的相伴特征向量，φ(x)=ℎ(x2+π4)，请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.B
6.D
7.D
8.B
9.ABC
10.BCD
11.ABD
12.−12

14.2 73
15.解：(1)依题意，样本中数据落在[50,60)的频率为：
1−(0.01×2+0.02×2)×10=0.4，
样本数据的第50百分位数落在第四组，
第50百分位数为50+0.5−(0.1×2+0.2)0.4×10=52.5．
(2)平均数为(0.01×25+0.01×35+0.02×45+0.02×65+0.04×55)×10=50．
(3)[20,30)与[60,70]两组的频率之比为1：2，
现从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则[20,30)组抽取2人，记为a，b；[60,70]组抽取4人，记为1，2，3，4．
所有可能的情况为：
(a,b)(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共15种．
其中至少有1人的年龄在[20,30)的情况有：
(a,b)(a,1)(a,2)(a,3)(a,4)(b,1)，(b,2)(b,3)(b,4)，共9种．
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在[20,30)组”为事件A，
则抽取的2人中至少有1人的年龄在[20,30)组的概率为P(A)=915=35．
16.解：(1)∵A+B=3C，A+B+C=π，
∴4C=π，
∴C=π4，
∵2sin(A−C)=sinB，
∴2sin(A−C)=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)，
∴2sinAcsC−2csAsinC=sinAcsC+csAsinC，
∴sinAcsC=3csAsinC，
∴ 22sinA=3× 22csA，
∴sinA=3csA，即csA=13sinA，
又∵sin2A+cs2A=1，∴sin2A+19sin2A=1，
解得sin2A=910，
又∵A∈(0,π)，∴sinA>0，
∴sinA=3 1010；
(2)由(1)可知sinA=3 1010，csA=13sinA= 1010，
∴sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=3 1010× 22+ 1010× 22=2 55，
∴ABsinC=ACsinB=BCsinA=5sinπ4=5 2，
∴AC=5 2sinB=5 2×2 55=2 10，BC=5 2×sinA=5 2×3 1010=3 5，
设AB边上的高为ℎ，
则12AB⋅ℎ=12×AC×BC×sinC，
∴52ℎ=12×2 10×3 5× 22，
解得ℎ=6，
即AB边上的高为6．
17.(1)证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，
所以CD⊥AM，
因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，则AM⊥PD，
又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD；
(2)解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，
则EF=CD，EF//CD，所以EF⊥AD，
在正△PAD中，PE⊥AD，
因为EF∩PE=E，EF，PE⊂平面PEF，
则AD⊥平面PEF，
在正方形ABCD中，AD//BC，
故BC⊥平面PEF，
所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
由CD⊥平面PAD，EF//CD，
则EF⊥平面PEF，又PE⊂平面PAD，
所以EF⊥PE，
设正方形ABCD的边长AD=2a，则EF=2a,PE= 3a，
所以PF= PE2+EF2= 7a，
则cs∠PFE=EFPF=2 77，
故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为2 77．
18.解：(1)设“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，
依题意得P(Ai)=0.8、P(Bi)=0.7且Ai、Bi(i=1、2、3)相互独立，
“甲第三次试跳才成功”为事件A1−A2−A3，且三次试跳相互独立，
∴P(A1−A2−A3)=P(A1−)P(A2−)P(A3)=0.2×0.2×0.8=0.032，
即甲第三次试跳才成功的概率为0.032．
(2)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，C−=A1−B1−，
P(C)=1−P(A1−)⋅P(B1−)=1−0.2×0.3=0.94，
即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.94．
(3)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i=0、1、2)，
“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0、1、2)，
∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1，且M1N0、M2N1为互斥事件，
∴所求的概率为P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)
=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)
=C21×0.8×0.2×0.32+0.82×C21×0.7×0.3
=0.0288+0.2688
=0.2976，
故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.2976．
19.解：(1)由题知，向量ON=( 3,1)的相伴函数为f(x)= 3sinx+csx=2sin(x+π6)，
当f(x)=2sin(x+π6)=65时，sin(x+π6)=35，
又x∈(−π6,π3)，则x+π6∈(0,π2)，所以cs(x+π6)=45，
所以sinx=sin(x+π6−π6)=sin(x+π6)csπ6−cs(x+π6)sinπ6
=35× 32−45×12=3 3−410；
(2)因为g(x)=2 3sinx2csx2+6cs2x2−3
= 3sinx+6(1+csx2)−3= 3sinx+3csx，
故函数g(x)的相伴特征向量OM=( 3,3)，
则与OM=( 3,3)方向相同单位向量为OM|OM|= 36( 3,3)=(12, 32)；
(3)因为函数ℎ(x)的相伴特征向量OT=( 22, 22)，
所以ℎ(x)= 22sinx+ 22csx=sin(x+π4)，
φ(x)=ℎ(x2+π4)=sin[(x2+π4)+π4]=csx2，
设点P(x,csx2)，又A(−3,2)，B(3,10)，
所以AP=(x+3,csx2−2),BP=(x−3,csx2−10)，
若AP⊥BP，则AP⋅BP=(x+3)(x−3)+(csx2−2)(csx2−10)=0，
即x2−9+cs2x2−12csx2+20=0，(csx2−6)2=25−x2，
因为−1≤csx2≤1,−7≤csx2−6≤−5，故25≤(csx2−6)2≤49，
又25−x2≤25，故当且仅当x=0时，(csx2−6)2=25−x2=25成立，
故在y=φ(x)的图象上存在一点P(0,1)，使得AP⊥BP．