专题12.1 幂的运算【八大题型】-2024-2025学年八年级数学上册讲义（华东师大版）

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专题12.1 幂的运算【八大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9264" 【题型1 由幂的运算进行求化简求值】  PAGEREF _Toc9264 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc105" 【题型2 由幂的运算进行简便运算】  PAGEREF _Toc105 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc22001" 【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】  PAGEREF _Toc22001 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc17586" 【题型4 由幂的运算求字母的值】  PAGEREF _Toc17586 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc24726" 【题型5 由幂的运算表示代数式】  PAGEREF _Toc24726 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29151" 【题型6 由幂的运算比较大小】  PAGEREF _Toc29151 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc30419" 【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】  PAGEREF _Toc30419 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18046" 【题型8 幂的运算中的新定义问题】  PAGEREF _Toc18046 \h 5知识点：幂的运算1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．（m，n，…，p都是正整数）．（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．2．幂的乘方（1）幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．（2）幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．【拓展】幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）．（2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）．3．积的乘方（1）积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（积的乘方的意义）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）=a3b3．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ．因此，我们有．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．4．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．【拓展】（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．（2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．【题型1 由幂的运算进行求化简求值】【例1】（23-24八年级·河南周口·期末）若a2n=2（n为正整数），则（4a3n）2÷4a4n的值为 ．【变式1-1】（23-24八年级·重庆南川·期末）已知3m=2，2n=3，则9m⋅2n= ．【变式1-2】（23-24八年级·湖北黄石·期末）已知50a=20，8b=20，则1a+1b= ．（a、b为正整数）【变式1-3】（23-24八年级·湖南株洲·期末）已知2x+y=16,4x+12y=8，则23x+y= ．【题型2 由幂的运算进行简便运算】【例2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）计算：-5122024×1252023= ．【变式2-1】（23-24八年级·上海普陀·期末）简便计算：(-13)100×2733= ．【变式2-2】（23-24八年级·上海奉贤·期中）用简便方法计算：35×(-23)5×(-5)6（结果，可用幂的形式表示）．【变式2-3】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算：(-49)11×(-32)22．【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】【例3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）若a+b+c=1，则(-2)a-1×(-2)3b+2×(-2)2a+3c的值为 .【变式3-1】（23-24八年级·北京·期末）已知2x+3y-3=0，求3⋅9x⋅27y的值为（　　）A．21 B．81 C．243 D．48 【变式3-2】（23-24春·广西崇左·八年级统考期中）若2a+3b-4c-2=0，则9a×27b÷81c的值为 ．【变式3-3】（23-24八年级·四川成都·期中）若x+4y-2=0，则22x⋅44y的值为 ．【题型4 由幂的运算求字母的值】【例4】（23-24八年级·河北沧州·期中）已知3a+1×5a+1=152a-3，则a的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-1】（23-24八年级·四川眉山·阶段练习）若 34×34×34=3m，43+43+43+43=4n，则m-n的值为(      )A．-5 B．0 C．3 D．8【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中若22n+3+4n+1=192，则n的值为 ．【变式4-3】（23-24八年级·江苏泰州·期末）若m，n均为正整数，且 2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值为 ．【题型5 由幂的运算表示代数式】【例5】（23-24八年级·山东淄博·期中）若am=an(a>0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：(1)若3x×9x×27x=312，求x的值．(2)若x=5m，y=4-25m，用含x的代数式表示y．【变式5-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）若x=3m，y=9m-3，用x的代数式表示y，则y= ．【变式5-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知2m=a，2n=b，3m=c，请用含a，b，c的式子表示下列代数式：(1)2m+n (2)42m+3n(3)36m【变式5-3】（2024八年级·全国·专题练习）在等式的运算中规定：若ax=ay(a>0且a≠1，x，y是正整数），则x=y，利用上面结论解答下列问题：(1)若9x=36，求x的值；(2)若3x+2-3x+1=18，求x的值；(3)若m=2x+1，n=4x+2x，用含m的代数式表示n．【题型6 由幂的运算比较大小】【例6】（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411=2211=222，且3>2∴322>222，即322>411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82=232=26，且8>6∴28>26，即28>82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】(1)比较344、433、522的大小(2)比较8131、2741、961的大小(3)已知a2=2，b3=3，比较a、b的大小【变式6-1】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）比较大小：721 1714（用“＞”“＜”或“＝”填空）．【变式6-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）已知a=2731，b=361，c=941，试比较a，b，c的大小并用“>”把它们连接起来： ．【变式6-3】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若a3=2，b5=3，则a,b的大小关系是a b（填“<”或“>”）．解：∵a15=a35=25=32；b15=b53=33=27，且32>27，∴a15>b15，∴a>b，(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质： ；A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方类比阅读材料的方法，解答下列问题：(2)比较8131，2741，961的大小；(3)比较2100与375的大小．【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】【例7】（2024八年级·江苏·专题练习）若2a=5，2b=10，2c=50，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①c=2b-1；②c=a+b；③b=a+1；④c=ab【变式7-1】（2024·河北唐山·八年级期末）若2×2×⋅⋅⋅⋅⋅×2k个2=4×4×⋅⋅⋅×4m个4，则k与m（k，m都为正整数，且k≥2）的关系是（    ）A．k=m B．k=2m C．k+m=6 D．m-k=2【变式7-2】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）已知9x=m，3y=n，27z=mn，那么x，y，z满足的等量关系是 ．【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=409，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．【题型8 幂的运算中的新定义问题】【例8】（23-24八年级·湖北随州·期末）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若ax=N (a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log525，可以转化为指数式52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga(M⋅N)=logaM+logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，理由如下：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，∴M⋅N=am⋅an=am+n，由对数的定义得m+n=loga(M⋅N)又∵m+n=logaM+logaN，∴loga(M⋅N)=logaM+logaN．请解决以下问题：(1)将指数式34=81转化为对数式_______；(2)求证：loga MN= logaM-logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)；(3)拓展运用：计算log69+log68-log62=______．【变式8-1】（23-24八年级·山东济南·期中）我们定义：三角形＝ab•ac，五角星＝z•（xm•yn），若＝4，则的值＝ ．【变式8-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）定义一种新运算a,b：若ax=b，则a,b=x．例如：32=9，则3,9=2．已知2,5+2,6=2,m，则m的值为 ．【变式8-3】（23-24八年级·上海浦东新·期中）如果ac=b，那么我们规定：Fa,b=c，例如，因为23=8，34=81那么我们就说F2,8=3，F3,81=4；(1)请根据上述定义，填空：F4,16=______；F2,64=______；F25,16625=______；(2)已知Fx,5=a，Fx,6=b，Fx,m=c，且a+b=c，求m的值．