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河南省息县部分学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）
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这是一份河南省息县部分学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2. 若是二次函数，则的值为（ ）
A. 2B. C. 2或D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义，令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
【详解】解：根据题意的得：
解得：
∴m=-2，
故选B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
3. 如图，在平行四边形中，，则边的长可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系等知识，根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据三角形三边关系可得的取值范围即可得出答案．
【详解】解：在平行四边形中，，
∴
由三角形的三边关系得，，
∴，
∴，
∴边的长可能是4，不可能是5，6，7，
故选：A．
4. 设一元二次方程的两个实根为和，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【详解】，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解题的关键．
5. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
6. 电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为x，则可列方程（ ）
A. 8（1+x）＝11.52B. 8（1+2x）＝11.52
C. 8（1+x）＝11.52D. 8（1﹣x）＝11.52
【答案】C
【解析】
【分析】设平均每天票房的增长率为，根据第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设平均每天票房增长率为，
根据题意得：．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，随的增大而减小
B. 当时，随的增大而减小
C. 随的增大而减小
D. 随的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性．
【详解】解：，对称轴为
抛物线开口向上，当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
故选：B．
8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，，方程有两个不同的实数根，，方程有两个相同的实数根，，方程没有实数根，根据一元二次方程根的判别式进行判断是解题的关键．
【详解】解：，即：，
∵ ，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
9. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
10. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集．
【详解】解：两条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为：．
故选：C．
二、填空题（共5题）
11. 某校截止到年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
12. 已知一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质．一次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．一次函数，当时，随的增大而减小．据此列式解答即可．
【详解】解：一次函数，随的增大而减小，
，
解得．
故答案为：．
13. 若是二次函数，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数有意义，要求二次项系数不为0即可求解．
【详解】解：若是二次函数，
则，
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是对二次函数的认识，属于基础类知识点考查题．
14. 已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、，代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴，
∵一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴+=2，=﹣3，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点和顶点，直线以每秒1个单位长度向上移动，经过______秒该直线可将平行四边形的面积平分．
【答案】4
【解析】
【分析】连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，证明直线将分成面积相等的两部分，说明当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分，设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为，根据中点坐标公式求出，把代入得，求出，即可得出答案．
【详解】解：连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，，
∴，
同理得：，，
∴，，，
∴，
∴直线将分成面积相等的两部分，
∴当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分，
设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为，
∵，，点和顶点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴经过4秒该直线可将平行四边形的面积平分．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数平移，中点坐标公式，解题的关键是根据平行四边形的性质得出当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分．
三、解答题（共8题）
16. 按要求解下列一元二次方程；
（1）（公式法）
（2）（配方法）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，公式法，掌握解法步骤是关键．
（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
移项得：，
∴，
∴，
∴，
∴，．
17. 某商店经营一种小商品，进价为3元．据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是400件，而销售价每降低一元，平均每天就可以多售出100件．
（1）假定每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润y元，请写出y与x之间的函数关系．
（注：销售利润=销售收入购进成本）
（2）当每件小商品降低多少元时，该商店每天能获利4800元？
【答案】（1）
（2）当每件小商品降低2元或4元时，该商店每天能获利4800元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数应用，一元二次方程的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．
（1）先表示出降价后的销售量为件，根据销售利润=销售收入购进成本，把每件的利润乘以销售量即可得到y与x之间的函数关系；
（2）利用（1）中的函数关系中函数值为4800元列一元二次方程，然后解方程即可；
【小问1详解】
解：由题意可得：
；
【小问2详解】
解：根据题意得，
整理得，
解得，，
答：当每件小商品降低2元或4元时，该商店每天能获利4800元．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根．
（2）若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基础知识是解本题的关键．
（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可：
（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于4，另一个大于5，列出不等式，求出的取值范围．
小问1详解】
证明：
，
非负数，
．
无论取何实数时，原方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
由方程两个实数根一个小于4，另一个大于5，
则有 ，
解得，
即的取值范围是．
19. 如图，在四边形中，与相交于点O．且，点E在上，满足．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合对顶角相等，直接证明即可；
（2）由（1）可得，根据，证明四边形是平行四边形，由，，证明，即可证明四边形是菱形．
【小问1详解】
证明：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD（），
【小问2详解】
证明：△AOE≌△COD
四边形平行四边形
，
四边形是菱形
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【小问1详解】
解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
21. 抛物线与直线交于点．
（1）求，的值；
（2）求抛物线与直线的两个交点，的坐标（点在点右侧）．
【答案】（1）；（2）点坐标，点坐标．
【解析】
【分析】（1）将点代入求出，再把点代入抛物线求出即可．
（2）解方程组即可求出交点坐标．
【详解】解：（1）点在直线上，
，
点坐标，
把点代入得到，
．
（2）由解得或，
点坐标，，点坐标，．
【点睛】本题考查二次函数性质，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求函数图象交点坐标．
22. 现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台B型空气净化器的进价为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？
【答案】（1）1200元
（2）1600元
【解析】
【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）根据总利润单件利润销量列出一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原方程的根，
则，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
【小问2详解】
设B型空气净化器的售价为a元，
根据题意得:，
解得：，
答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．
【点睛】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．
23. 某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
（1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；
（2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【答案】（1）1米； （2）①；②．
【解析】
【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设小道进出口的宽度为米，
依题意得．
整理，得．
解得，，．
（不合题意，舍去），
；
答：小道进出口的宽度应为1米；
【小问2详解】
解：①剩余的种植花草区域的面积为：
②由，得：
，
解得：（舍去）．
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根．
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2. 若是二次函数，则的值为（ ）
A. 2B. C. 2或D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义，令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
【详解】解：根据题意的得：
解得：
∴m=-2，
故选B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
3. 如图，在平行四边形中，，则边的长可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系等知识，根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据三角形三边关系可得的取值范围即可得出答案．
【详解】解：在平行四边形中，，
∴
由三角形的三边关系得，，
∴，
∴，
∴边的长可能是4，不可能是5，6，7，
故选：A．
4. 设一元二次方程的两个实根为和，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【详解】，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解题的关键．
5. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
6. 电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为x，则可列方程（ ）
A. 8（1+x）＝11.52B. 8（1+2x）＝11.52
C. 8（1+x）＝11.52D. 8（1﹣x）＝11.52
【答案】C
【解析】
【分析】设平均每天票房的增长率为，根据第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设平均每天票房增长率为，
根据题意得：．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，随的增大而减小
B. 当时，随的增大而减小
C. 随的增大而减小
D. 随的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性．
【详解】解：，对称轴为
抛物线开口向上，当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
故选：B．
8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，，方程有两个不同的实数根，，方程有两个相同的实数根，，方程没有实数根，根据一元二次方程根的判别式进行判断是解题的关键．
【详解】解：，即：，
∵ ，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
9. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
10. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集．
【详解】解：两条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为：．
故选：C．
二、填空题（共5题）
11. 某校截止到年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
12. 已知一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质．一次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．一次函数，当时，随的增大而减小．据此列式解答即可．
【详解】解：一次函数，随的增大而减小，
，
解得．
故答案为：．
13. 若是二次函数，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数有意义，要求二次项系数不为0即可求解．
【详解】解：若是二次函数，
则，
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是对二次函数的认识，属于基础类知识点考查题．
14. 已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得+、，代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴，
∵一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴+=2，=﹣3，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值、二次根式被开方数的非负性、绝对值的非负性、一元二次方程根与系数，熟练掌握非负性和一元二次方程根与系数关系是解答的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点和顶点，直线以每秒1个单位长度向上移动，经过______秒该直线可将平行四边形的面积平分．
【答案】4
【解析】
【分析】连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，证明直线将分成面积相等的两部分，说明当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分，设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为，根据中点坐标公式求出，把代入得，求出，即可得出答案．
【详解】解：连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，，
∴，
同理得：，，
∴，，，
∴，
∴直线将分成面积相等的两部分，
∴当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分，
设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为，
∵，，点和顶点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴经过4秒该直线可将平行四边形的面积平分．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数平移，中点坐标公式，解题的关键是根据平行四边形的性质得出当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分．
三、解答题（共8题）
16. 按要求解下列一元二次方程；
（1）（公式法）
（2）（配方法）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，公式法，掌握解法步骤是关键．
（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
移项得：，
∴，
∴，
∴，
∴，．
17. 某商店经营一种小商品，进价为3元．据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是400件，而销售价每降低一元，平均每天就可以多售出100件．
（1）假定每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润y元，请写出y与x之间的函数关系．
（注：销售利润=销售收入购进成本）
（2）当每件小商品降低多少元时，该商店每天能获利4800元？
【答案】（1）
（2）当每件小商品降低2元或4元时，该商店每天能获利4800元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数应用，一元二次方程的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．
（1）先表示出降价后的销售量为件，根据销售利润=销售收入购进成本，把每件的利润乘以销售量即可得到y与x之间的函数关系；
（2）利用（1）中的函数关系中函数值为4800元列一元二次方程，然后解方程即可；
【小问1详解】
解：由题意可得：
；
【小问2详解】
解：根据题意得，
整理得，
解得，，
答：当每件小商品降低2元或4元时，该商店每天能获利4800元．
18. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根．
（2）若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基础知识是解本题的关键．
（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可：
（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于4，另一个大于5，列出不等式，求出的取值范围．
小问1详解】
证明：
，
非负数，
．
无论取何实数时，原方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
由方程两个实数根一个小于4，另一个大于5，
则有 ，
解得，
即的取值范围是．
19. 如图，在四边形中，与相交于点O．且，点E在上，满足．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合对顶角相等，直接证明即可；
（2）由（1）可得，根据，证明四边形是平行四边形，由，，证明，即可证明四边形是菱形．
【小问1详解】
证明：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD（），
【小问2详解】
证明：△AOE≌△COD
四边形平行四边形
，
四边形是菱形
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【小问1详解】
解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
21. 抛物线与直线交于点．
（1）求，的值；
（2）求抛物线与直线的两个交点，的坐标（点在点右侧）．
【答案】（1）；（2）点坐标，点坐标．
【解析】
【分析】（1）将点代入求出，再把点代入抛物线求出即可．
（2）解方程组即可求出交点坐标．
【详解】解：（1）点在直线上，
，
点坐标，
把点代入得到，
．
（2）由解得或，
点坐标，，点坐标，．
【点睛】本题考查二次函数性质，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求函数图象交点坐标．
22. 现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台B型空气净化器的进价为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？
【答案】（1）1200元
（2）1600元
【解析】
【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）根据总利润单件利润销量列出一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原方程的根，
则，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
【小问2详解】
设B型空气净化器的售价为a元，
根据题意得:，
解得：，
答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．
【点睛】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．
23. 某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
（1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；
（2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【答案】（1）1米； （2）①；②．
【解析】
【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设小道进出口的宽度为米，
依题意得．
整理，得．
解得，，．
（不合题意，舍去），
；
答：小道进出口的宽度应为1米；
【小问2详解】
解：①剩余的种植花草区域的面积为：
②由，得：
，
解得：（舍去）．
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根．
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