江西省赣州市南康区部分学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份江西省赣州市南康区部分学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 实数的相反数是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．
【详解】的相反数是5．
故选：A．
2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数．
【详解】解：将25000用科学记数法可表示为，
故选：C．
3. 如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形．
【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的，
故选：B．
4. 将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变．
【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件，
故选：C．
5. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A. 五月份空气质量为优的天数是16天B. 这组数据的众数是15天
C. 这组数据的中位数是15天D. 这组数据的平均数是15天
【答案】D
【解析】
【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可．
【详解】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意；
15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意；
把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意；
这组数据的平均数为：，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键.
6. 如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
共有2种方法，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 计算：____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算法则，是解题的关键．
8. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）．
故答案是a（a+2）．
9. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标．
【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为，即．
故答案为：．
10. 观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可．
【详解】解：∵a，，，，…，
∴第n个单项式的系数是1；
∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，
∴第n个式子是．
∴第100个式子是．
故答案为：．
11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，垂足为点E，则__________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，求出AO和DO，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．
12. 平面直角坐标系中，已知点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标．
【详解】解：分三种情况：①为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为
②为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为，
③为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为
综上所述，点的坐标可能是或或
故答案为：或或
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】题目主要考查零次幂、绝对值的化简，分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算零次幂及绝对值化简，然后计算加减法即可；
（2）直接进行分式的减法运算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
14. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析．
【解析】
【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线；
（）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即；
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
15. 若实数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 且，化简．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值化简，数轴等知识点，综合性较强，不仅要结合图形判断式子的符号，还需要熟悉二次根式的性质．
本题利用二次根式性质与数轴的关系解答即可．
【详解】解：根据数轴可知，且，
∴，
故
．
16. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】（1）米；
（2）购买地砖需要花费元．
【解析】
【分析】（1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出通道的面积，再计算即可．
【小问1详解】
解：长方形的周长（米），
答：长方形的周长是米；
【小问2详解】
解：通道的面积
（平方米），
购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费元．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
17. 书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道，某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆225人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确地列出方程是解题的关键．先分别表示出第一个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆225人次，列方程求解．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x，依题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），
答：进馆人次的月平均增长率为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知关于函数．
（1）若这个函数的图象平行于直线，求的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据函数的图象平行于直线，得，求的值即可；
（）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，得到，求的取值范围即可；
本题考查了一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
由题意得：，
解得：，
∴的值为；
【小问2详解】
由题意得：，
解得：，
∴的取值范围是．
19. 已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程两实数根分别为和，且满足，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】（1）由根的判别式，即可得出结论，
（2）将化简，由根与系数关系，求出与的值，代入即可，
本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练应用根的判别式和根与系数关系．
【小问1详解】
解：，
，
该方程总有两个不相等的实数根，
【小问2详解】
解：，
，即：，
由和是方程两实数根，可得：，，
代入，可得：，即，
或，
故答案为：或．
20. 某市园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）21.6米
（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为21.6米；
【小问2详解】
解：由题意得，米，
米，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）20
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（1）根据平行四边形的性质得出，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证；
（2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积是：．
22. 某校给全体学生推送了“天天跳绳”用来督促学生进行体育锻炼，为了检查学生体育锻炼的效果，从全年级随机抽取了若干名学生进行一分钟跳绳的次数调查统计，一分钟跳绳次数记作x，并绘制了如下的统计表：
通过体育老师了解到成绩位于C等级的学生成绩为：140、141、141、142、145、148、150、153、155、156、157、159；
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生一共有_________人；调查的学生“跳绳次数”的中位数是_________；
（2）求该校学生一分钟跳绳次数的平均数；
（3）该校共有学生1600人，若规定一分钟跳绳次数时为优秀．请你估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数．
【答案】（1）40，141次
（2）该校学生一分钟跳绳次数的平均数为144次
（3）估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为880人
【解析】
【分析】（1）根据C等级的学生数及所占的百分比即可求出抽取的学生人数；根据频率计算D等级学生成绩频数，确定中位数位于C等级，从而根据C等级的学生成绩即可求出中位数；
（2）根据加权平均数计算公式即可求得；
（3）一分钟跳绳次数时的占比作为全校优秀的占比即可求得结果．
【小问1详解】
解：抽取人数为：（人）；
D等级的学生为，而，把数据按从大到小排列，则中位数是C等级中的141与141两个数的平均数，故中位数为：；
故答案为：次．
【小问2详解】
解：（次）
答：该校学生一分钟跳绳次数的平均数为次．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为880人．
【点睛】本题考查了频数分布表，求中位数，求样本平均数，用样本估计总体数量等知识，掌握这些知识是关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图， 中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写山线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）（1）
（2）结论：，证明见详解
（3）的长为或2
【解析】
【分析】（1）结论：．利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
（2）结论：如图2中，过点作交的延长线于，连接．证明，推出，，再证明，可得结论．
（3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：结论：．
理由：如图1中，

，，
垂直平分，
．
【小问2详解】
结论：．
理由：如图2中，过点作交的延长线于，连接．

，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．

，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或2．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．组别
“跳绳次数”x/次
频率
组内学生的平均“跳绳次数”/次
A
10%
110
B
35%
130
C
30%
150
D
25%
170