黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期入学调研考试数学试卷（原卷版+解析版）

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考试说明：
（1）本试卷满分120分．考试时间为90分钟；
（2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
（3）考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍．将58000000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
2. 在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 将分解因式，所得结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱B. 圆柱C. 六棱柱D. 圆锥
5. 若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
6. 如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A. B. C. D.
7. 空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示.
某同学查阅资料，制作了近五年1月份北京市AQI各类别天数的统计图如下图所示.
根据以上信息，下列推断不合理是（ ）.
A. AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月
B. AQI数据在之间的天数最少的是2014年1月
C. 这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大
D. 2018年1月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别
8. 如图，点A的坐标为0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．
9. 若代数式的值为0，则实数的值为______.
10. 化简：______.
11. 如图，在中，，分别与，交于、两点，若，，则______.
12. 如图，为的直径，为上一点，，，交于点，连接，，那么______.
13. 从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G20次约用到达，从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G20次的运行速度快，约用到达.如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，求“杭京高铁复兴号”的运行速度.设“杭京高铁复兴号”的运行速度为，依题意，可列方程为______.
14. 如图，在矩形中，是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点时，连接，则的面积为____________；的最大值为____________．
15. 阅读下面材料：
在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．
请你根据该同学的作图方法完成以下推理：
____________，
．（依据：____________）
16. 将1，2，3，4，5，…，13,这13个连续整数不重不漏地填入13个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…．前12个数的和是第13个数的倍数．若第1个空格填入13，则第2个空格所填入的数为____________，第13个空格所填入的数为____________．
三、解答题：本题共8小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解不等式组并求该不等式组的非负整数解．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，线段的中点在函数的图象上.
（1）求，的值；
（2）将线段向左平移个单位长度得到线段，，，的对应点分别为，，.
①当点落在函数的图象上时，求的值；
②当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围.
19. 如图，的半径为，内接于，，，为延长线上一点，与相切，切点为.
（1）求点到半径的距离（用含的式子表示）；
（2）作于点，求的度数及的值.
20. 某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：
A.纪念馆志愿讲解员；B.书香社区图书整理；C.学编中国结及义卖；D.家风讲解员；E.校内志愿服务.
每位同学都从中选择一个项目参加.为了解同学们选择这5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下.
收集数据设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）.
B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，
A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，
D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，
C，B，D，C，A，C，C，A，C，E.
整理、描述数据 划记、整理、描述样本数据、绘制统计图如下.
请补全统计表和统计图
选择各志愿服务项目的人数统计表
分析数据、推断结论
①抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是____________（填A-E的字母代号）
②请你任选A-E中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目.
21. 如图，为的直径上的一个动点，点在上，连接，过点作的垂线交于点.已知，设两点间的距离为两点间的距离为．某同学根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究.
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了与的几组值，如下表：
（说明：补全表格时的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当时，的长度约为____________cm．
22. 如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.

（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
23. 在中，为的中点，分别为上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；
（2）如图2，的延长线交于点，点在上，且，求证：；
（3）如图3，为线段上一动点，为的中点，连接为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．
24. 对于平面内的和外一点，给出如下定义：若过点的直线与存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是的“相关依附点”.特别地，当点和点重合时，规定，（或）.已知在平面直角坐标系中，，，的半径为.

（1）如图1，当时，
①若是的“相关依附点”，则的值为______；
②是否为的“2相关依附点”？答：是______（选“是”或“否”）；
（2）若上存在“相关依附点”点，
①当，直线与相切时，求的值；
②当时，求的取值范围；
（3）若存在的值使得直线与有公共点，且公共点是的“相关依附点”，直接写出的取值范围.
AQI数据
301以上
AQI类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
已知：直线和直线外的一点．
求作：过点且与直线垂直的直线，垂足为点．
某同学的作图步骤如下：
步骤
作法
推断
第一步
以点圆心，适当长度为半径作弧，交直线于两点；
第二步
连接作的平分线，交直线于点
___________
直线即为所求作．
志愿服务项目
划记
人数
A纪念馆志愿讲解员
8
B书香社区图书整理
C学编中国结及义卖
12
D家风讲解员
E校内志愿服务
6
合计
40
40
0
1
2.5
3
3.5
4
5
4.0
47
5.0
4.8
4.1
3.7