专题09 解析几何-2024年高考数学一模试题分类汇编学案（山东专用）（原卷版+解析版）

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命题方向
模拟演练
直线和圆的位置关系
1．（2024·山东泰安·一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．物物线C．直线D．圆
【答案】D
【解析】设点，点，则，.
由可得：，即.
所以点的轨迹为圆，故选D
2．（2024·山东济宁·一模）已知为坐标原点，直线与圆相交于，两点，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】圆即，圆心为，半径，
又直线，令，则，即直线恒过点，即直线恒过圆心，
又直线与圆相交于，两点，所以，
所以
，故选C
3．（2024·山东聊城·一模）已知是圆外的动点，过点作圆的两条切线，设两切点分别为，，当的值最小时，点到圆心的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】设，则，
则，
，
，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故当的值最小时，点到圆心的距离为，故选A.

4．（2024·山东菏泽·一模）已知圆与圆相交于A、B两点，直线交轴于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为两圆相交，则，
即，解得，
两圆的方程相减得，
即直线的方程为，
当时，直线的方程为，
此时轴，与轴没有交点，不符题意，
当时，令，得，
即，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选B
5.（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为 .
【答案】4
【解析】依题意，点关于直线的对称点在圆上，
则，解得，因此点在圆上，
则，解得，
所以实数的值为4.
抛物线
6．（2024·山东潍坊·一模）已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为，
又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为.
故选：B
7．（2024·山东临沂·一模）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点（ ）
A．存在点，使为等边三角形
B．若为上一点，则最小值为1
C．若，则直线与圆相切
D．若以为直径的圆与圆相外切，则
【答案】AC
【解析】由已知圆的方程化为，
得其圆心，半径，
由于抛物线方程为，其焦点为
对于选项A，若为等边三角形，当且仅当；
若点到点的距离为，
由抛物线的定义可知，即，
代入抛物线方程可得，，故A正确；
对于选项B，因为点在抛物线上，为上一点，
，
由于为上，设，且，
则，
当且仅当时，原式取得最小值，的最小值，故B不正确；
对于选项C，设，且，
若，即，得，
解得，所以此时，
不妨取，，
此时直线的方程为：，即，
则圆心到该直线的距离为，
所以此时直线与圆相切，同理可证明的情形也成立，故C正确；
对于选项D，设的中点为，若以为直径的圆与相外切时，
只需保证，
设，且，，得，
得方程：（*），
其中，反解得：代入上式，
化简可得：，
显然，故D不正确.
故选：AC.
8．（2024·山东菏泽·一模）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）

A．B．以为直径的圆与直线相切
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，
联立，消可得，
则，，
，
则
故，
同理，故A正确；
对于C，设与轴交于，，

则，，故C正确；
对于D，
则
，
而，
所以，故D正确；
对于B，中点，即
则到直线的距离，
以为直径的圆的半径，
所以，
当时相切，当时不相切，故B错误.
故选：ACD.
双曲线
9．（2024·山东泰安·一模）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
的周长为，
由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，
，，直线的方程为，
即代入整理得，
解得或（舍），所以点的纵坐标为，
，故选D
10．（2024·山东聊城·一模）设，是双曲线的左、右焦点，是上的一点，若的一条渐近线的倾斜角为，且，则的焦距等于（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】D
【解析】由渐近线的倾斜角为，可得，
由，可得，故，，
则，故，故选D.
11．（2024·山东济宁·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限的交点为，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设，为锐角，
因为，，所以，，
，，又，
，
，
，
，
，
，（负值舍去），，
，，
双曲线的离心率．
故选：D．
12．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
【答案】C
【解析】由双曲线方程可知：，
可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，
圆的圆心为（即），半径为；
圆的圆心为（即），半径为．
连接，，，，则，
，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.
故选：C.
13．（2024·山东临沂·一模）已知是双曲线的左､右焦点，点在上. ，则的离心率为 .
【答案】
【解析】过点作轴的垂线垂足为，由已知得，，
则，，解得，
∴点的坐标为，
将点的坐标代入双曲线方程得，
整理得，
将代入得，
即，解得或
∵，∴舍去，
∴，

14．（2024·山东菏泽·一模）已知斜率为的直线过双曲线的右焦点且交双曲线右支于A、B两点，在第一象限，若，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】过作轴，垂足为.如图所示

的斜率为，则,,
在双曲线上，
即，于是有，
进而得出，解得或（舍），
，即（负舍），
故的离心率为.
15．（2024·山东潍坊·一模）已知平面直角坐标系中，直线：，：，点为平面内一动点，过作交于，作交于，得到的平行四边形面积为1，记点的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设点，则点到的距离为，
直线方程为，
联立，解得，
所以，
所以，
所以，
所以点的轨迹为两个双曲线、，
因为双曲线的实半轴长为，双曲线的实半轴长为，
若与圆有四个交点，则，即，
所以实数的取值范围是．
椭圆
16．（2024·山东烟台·一模）在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点，由及，得，
即，而，消去得：，
设椭圆上的点，
则点到直线的距离，其中锐角由确定，
当时，，而，所以的最小值为.
故选：A
17．（2024·山东淄博·一模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义得：，
，设，
根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则，
则在中，由余弦定理得，，
化简得，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A.
18．（2024·山东聊城·一模）已知椭圆的一个焦点的坐标为，一条切线的方程为，则的离心率 .
【答案】
【解析】联立直线与椭圆方程，可得，
由为椭圆切线，则有，
化简得，又，故，
又椭圆的一个焦点的坐标为，故有，
则，故，则.
圆锥曲线的综合问题（解答题）
19．（2024·山东济宁·一模）已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，为坐标原点，且，，垂足为点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)求面积的取值范围．
【解】（1）①当直线l斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线l在y轴右侧，
直线OA的方程为，
由，解得，，所以，，
所以，直线AB的方程为，此时．
同理，当直线l在y轴左侧时，．
②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，，，
由消去y整理得，，
∴，且，，
又∵，∴即：，
所以，，
则，
故，
所以满足，
所以，．
综上，，所以，点P的轨迹方程为．
（2）①由（1）可知，当直线l斜率不存在或斜率为0时，．
②当直线l斜率存在且不为0时，
，
∵，∴，当且仅当，即等号成立．
∴，∴，
∴，
综上，．

20．（2024·山东潍坊·一模）已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为．
(1)求的方程和离心率；
(2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．
【解】（1）由题意可得，，
可得，，可得，
可得，，
解得，，
所以离心率，
所以椭圆的方程为，离心率；
（2）由（1）可得，由题意设直线的方程为，则，
设，，
联立，整理可得，
显然，且，，
直线，的斜率，，
则
，
因为，即，解得，
所以直线的斜率．
即的值为3．

21．（2024·山东泰安·一模）已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．
【解】（1）圆过，
，
又圆过，
，
又
，
椭圆的方程为.
（2）设，则，

由题知且，
则，
，
由，解得，
，
又，
，
又，
，
直线的斜率或.
22．（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设点，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A作，垂足为 H，求的最大值.
【解】（1）设，则的中点，
根据题意得，
即，
整理得，
化简整理，得点的轨迹方程.
（2）设，
由对称性可知直线的斜率存在，所以可设直线，
联立直线与曲线的方程，得，
消元整理，得，
则，①
②
所以，令，得点纵坐标，
同理可得点纵坐标，故，
将代入上式整理，得，
将②代入得，
若，则直线，恒过不合题意；
若，则，恒过，
因为直线恒过，且与始终有两个交点，又，
，垂足为，所以点轨迹是以为直径的圆（不含点），
设中点为，则圆心，半径为1，所以，
当且仅当点在线段上时，取最大值.
23．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.
(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.
【解】（1）令双曲线半焦距为c，依题意，，
由，解得，
则双曲线的方程为，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去得，，，
设，则，
直线的斜率分别为，
所以.
（2）设直线的方程为，则直线的方程为，
由，得点的纵坐标，
用替换上式中的得点的纵坐标，
则
而，当且仅当时取等号，
因此，所以的最大值为.
24．（2024·山东聊城·一模）已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且经过点，动直线不经过点、与相交于、两点，且直线和的斜率之积等于3.
(1)求的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求出定点坐标.
【解】（1）由抛物线关于轴对称，故可设，
由在抛物线上，故，解得，
故；
（2）设、，，
同理可得，即有，
联立直线方程与抛物线方程，有，
即，，
，，
即有，化简得，
此时，则有解，
则，即直线过定点.

25．（2024·山东菏泽·一模）如图，已知椭圆与轴的一个交点为，离心率为，，为左、右焦点，M，N为粗圆上的两动点，且．

(1)求椭圆的方程；
(2)设，的斜率分别为，，求的值；
(3)求△面积的最大值．
【解】（1）由题意得，，解之得，
∴椭圆的方程为；
（2）由（1）知，所以，
设直线、、的倾斜角分别为、、、，
则，，，
则，所以，
所以，所以，即．
（3）设直线，
将直线方程与椭圆方程联立 得，
，∴，同理得，
由（2）知，，
又，
同理，，
，
∴，
∴，
，
，
令，则，
当，即时等号成立，所以的最大值是．
26．（2024·山东临沂·一模）动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.
【解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
因为与，都内切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，所以，
故的方程为：.
（2）（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：，显然当时，，
故直线经过定点.
（ii）设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，所以直线的方程为，
令得，
，
所以直线经过定点，又，
所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
27．（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E．
①证明：G，E，H三点共线；
②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值．
【解】（1）设，与直线的切点为N，则，
所以
化简得，所以C的方程为：；
（2）①设线段的中点为，
因为，所以可设，，
又因为，
所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线，
所以G，E，H三点共线．
②设，，，，AB中点为E，中点为F，
将代入得：，所以，，
所以，
同理，，（均在定直线上）
因为，所以△EAT与△EAH面积相等，与△EBH面积相等；
所以四边形的面积等于四边形GAHB的面积，
设，，
直线，即
整理得：直线，又因为，所以，
同理，直线，，所以
所以
所以四边形GAHB面积
，
当且仅当，即，即时取等号，
所以四边形面积的最大值为16．
28．（2024·山东日照·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．

(1)当时，
①求证：；
②求平面和平面所成角的余弦值；
(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【解】（1）①由椭圆定义可知，
所以的周长，所以，
因为离心率为，故，解得，
则，由题意，椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆方程为，
直线，即，
联立得，解得或，
当时，，当时，，
因为点A在x轴上方，所以，
故⊥，折叠后有⊥，
因为二面角为直二面角，即平面⊥，交线为，
平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥；
②以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
其中平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令得，故，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为；
（2）设折叠前，折叠后对应的，
设直线方程为，
将直线与椭圆方程联立得，，
则，
在折叠前可知，
折叠后，在空间直角坐标系中，，，
由，，
故，
所以①，
分子有理化得，
所以②，
由①②得，
因为
，
故，
即，
将代入上式得
，
两边平方后，整理得，
即，解得，
因为，所以.
解析几何
直线和圆的位置关系
抛物线
双曲线
椭圆
圆锥曲线的综合问题（解答题）