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高考物理二轮复习专题培优练习重难点08 电场（2份打包，原卷版+解析版）
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例题1. 如图，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在边长为L的正方体的两个顶点上，A是正方体的另一个顶点，如果点电荷q、－q连线中点O的电场强度大小是E，则正方体A点的电场强度大小是( )
A.eq \f(9,16)E B.eq \f(3\r(5),16)E C.eq \f(3,16)E D.eq \f(9\r(5),16)E
答案 B
解析 根据几何知识可得，O点到两个电荷的距离都是eq \f(\r(3),2)L，则O点场强为E＝2keq \f(q,r2)＝eq \f(8kq,3L2)，A点场强EA满足关系式：Eeq \\al(2,A)＝[eq \f(kq,\r(2)L2)]2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kq,L2)))2，解得EA＝eq \f(\r(5)kq,2L2)＝eq \f(3\r(5),16)E，故选B.
例题2. (多选)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标轴上的点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等．一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是( )
A．从O点到C点，电势先升高后降低
B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C．粒子运动到C点时动能大于3Ek
D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量
答案 CD
解析 从O点到C点，电场强度方向保持不变，由于开始场强方向沿x轴正方向，所以沿电场线方向电势逐渐降低，则从O点到C点，电势逐渐降低，A错误；由题图图像可知场强先增大后减小，则静电力也是先增大后减小，所以粒子的加速度先增大后减小，一直做变加速运动，B错误；由图像可知图像的面积表示电势差，则有UOC>3UOA，由动能定理有qUOA＝Ek，qUOC＝EkC，由以上几式可得EkC>3Ek，所以粒子运动到C点时动能大于3Ek，C正确；粒子在AB段图像的面积大于BC段图像的面积，则UAB>UBC，所以粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，D正确.
一、电场性质的理解
1．电场中的各物理量的关系
2．电场强度的判断
(1)场强方向是正电荷所受电场力的方向，也是电场线上某点的切线方向；
(2)电场的强弱可根据电场线的疏密程度判断．
(3)电场中场强大小也可根据场强公式进行比较．
3．电势高低的判断方法
(1)根据电场线方向，沿着电场线方向，电势越来越低；
(2)根据电势差UAB＝φA－φB，若UAB>0，则φA>φB；反之，φA<φB.
(3)依据电势能的高低：由电势的定义式φ＝eq \f(Ep,q)知，正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
4．电势能变化的判断
二、平行板电容器电场问题
1．必须记住的三个公式
定义式C＝eq \f(Q,U)，决定式C＝eq \f(εrS,4πkd)，关系式E＝eq \f(U,d).
2．掌握两个重要结论
(1)电容器与电路(或电源)相连，则两端电压取决于电路(或电源)，稳定时相当于断路，两端电压总等于与之并联的支路电压．
(2)充电后电容器与电路断开，电容器所带电荷量不变，此时若只改变两板间距离，则板间电场强度大小不变．
3．注意一个特例：当有电容器的回路接有二极管时，因二极管的单向导电性，将使电容器的充电或放电受到限制．
三、电场中的图像问题
电场中几种常见的图像
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图所示，水平面内的等边三角形BCD的边长为L，C点恰好位于光滑绝缘直轨道AC的最低点，A点到B、D两点的距离均为L，A点在BD边上的竖直投影点为O。y轴上B、D两点固定两个等量的正点电荷Q。在A点将质量为m、电荷量为 SKIPIF 1 < 0 的小球（自身产生的电场可忽略）套在轨道AC上并将小球由静止释放，已知静电力常量k，重力加速度为g，且 SKIPIF 1 < 0 ，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．从O点沿z轴到A点，电场强度一直增大
B．轨道上C点的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0
C．小球刚到达C点时（未脱离轨道）的加速度大小为 SKIPIF 1 < 0
D．小球在A、C两点之间做往复运动
【答案】B
【解析】A．在z轴正半轴上取一点M，设BM与BD夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，两正点电荷Q单独在M点产生的电场强度为 SKIPIF 1 < 0 ，两正点电荷Q在M点产生的合电场强度为 SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由数学知识可得
当
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 有最大值，AD与BD的夹角为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
从O点沿z轴到A点，电场强度先增大后减小。A错误；
B．轨道上C点的电场强度大小
SKIPIF 1 < 0
又
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
B正确；
C D．小球刚到达C点时（未脱离轨道）由牛顿第二定律得
SKIPIF 1 < 0
又
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
C错误；C点速度最大，小球不会在A、C两点之间做往复运动。D错误。
故选B。
2．（2022·山东·烟台二中模拟预测）如图所示，高为 SKIPIF 1 < 0 的绝缘圆柱体，底面半径为R，abcd为过两底面圆心轴线的截面，在c点有一电荷量为+q的点电荷，在a点有一电荷量为-q的点电荷，平面efgh垂直平面abcd、静电力常量为k。下列说法正确的是（ ）
A．h点与g点电场强度相同
B．d点电势高于b点电势
C．正电荷沿eh运动，电场力做正功
D．f点的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】A．h点与g点电场强度大小相同，方向不同，A错误；
B．在c点有一电荷量为+q的点电荷，a点有一电荷量为-q的点电荷，高为 SKIPIF 1 < 0 的绝缘圆柱体，底面半径为R，d点电势等于b点电势，B错误；
C．正电荷沿eh运动，电场力做负功，C错误；
D．电荷q在f点受到a、c处电荷的电场力大小分别为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
合力为
SKIPIF 1 < 0
f点的电场强度大小为
SKIPIF 1 < 0
D正确。
故选D。
3．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图所示，在正方形的四个顶点各固定一个点电荷，直角坐系的x轴、y轴为正方形的对称轴。将一正电荷在原点O处静止释放时，它在以后运动过程中的最大速度为v。则将该电荷从x轴上无限远处以初速度2v沿+x方向射入后，它在以后运动过程中（ ）
A．在两负电荷连线中点处速度最大
B．将以原点O为中心在x轴上往复运动
C．最小速度为 SKIPIF 1 < 0
D．最大速度为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据点电荷形成的电场某位置的电势表达式 SKIPIF 1 < 0 和电场强度表达式 SKIPIF 1 < 0 ，电势是标量，故两个正点电荷和两个负点电荷到O点的距离相等，故O点电势为零。
电场强度为矢量，四个点电荷在O点形成的电场强度方向水平沿x轴负方向。故正点电荷在原点O处静止释放时，它将受电场力的作用向x轴负方向加速运动。
A．在两负电荷连线中点处，根据电场强度的矢量叠加可知，该点处的电场方向水平向左，电势不是最低，故正电荷在该位置左侧速度较大，该位置不是速度最大处，A错误；
BCD．根据点电荷电场强度叠加可知在x轴上的两负电荷连线的中点的左侧，由一点M，该位置电场强度为0，速度最大，电势最低。将一正电荷在原点O处静止释放时，它在以后运动过程中的最大速度为v，根据动能定理可知
SKIPIF 1 < 0
该电荷从x轴上无限远处以初速度2v沿+x方向射入，无穷远电势为0，从无穷远沿+x方向运动到M点，电场力做正功大小等于从原点O处运动到M点；再由M点运动到原点O点逆着电场线方向运动，电场力做负功，速度减小；根据能量守恒，原点O处与无穷远电势相等，电势能相等，故无穷远与原点O的动能相等、速度大小相等。
故根据动能定理可知，
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
同理分析可知，两正电荷连线中点的右侧存在一电势最高，电场强度为0的N点，从原点O运动到N点逆着电场线运动做减速运动，N点速度最小，从N点到正方向无穷远，电场力做正功，动能增加，速度增大，根据能量守恒可知，正无穷远处速度为 SKIPIF 1 < 0 。
故根据动能定理可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
综上所述它在以后运动过程中最大速度为 SKIPIF 1 < 0 ，最小速度为 SKIPIF 1 < 0 ，该电荷将沿x轴正方向一直运动下去，不做往返运动。故C正确，BD错误。
故选C。
4．（2022·广东湛江·模拟预测）如图所示，两个等量负点电荷固定于 SKIPIF 1 < 0 、Q两点，正方形 SKIPIF 1 < 0 为垂直 SKIPIF 1 < 0 、Q连线的平面， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点。 SKIPIF 1 < 0 点正好是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 连线的中点，下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点场强相同
B． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点电势相等
C． SKIPIF 1 < 0 是一个等势面
D．将一正电荷由 SKIPIF 1 < 0 点沿ef移动到 SKIPIF 1 < 0 点，电势能先增加后减小
【答案】B
【解析】A． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点场强大小相等，方向不同，故A错误；
B． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点为PQ连线的中垂线对称点，根据等量同种电荷电场线的分布，可确定 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点电势相等，故B正确；
C．在 SKIPIF 1 < 0 组成的平面上，电场方向由O点指向平面上各点，根据顺着电场线方向电势降低，可知， SKIPIF 1 < 0 组成的平面上电势不是处处相等，因此， SKIPIF 1 < 0 组成的平面不是等势面，故C错误；
D．将一正电荷由 SKIPIF 1 < 0 点沿ef移动到 SKIPIF 1 < 0 点，电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。
故选B。
二、多选题
5．（2022·四川雅安·模拟预测）在图示电路中，A、B为两块正对的水平金属板，G为静电计。开关S闭合后，静电计指针张开一个角度，板间的带电油滴悬浮在两板之间静止不动，不考虑静电计电量的变化对平行板电容器的影响。下列说法正确的是（ ）
A．若仅将A板水平向右缓慢平移一些，油滴将向上运动
B．若仅将B板竖直向下缓慢平移一些，静电计指针的张角将不变
C．若断开S，仅将A板水平向右缓慢平移一些，静电计指针的张角将变大
D．若断开S，仅将B板竖直向上缓慢平移一些，油滴将向上运动
【答案】AC
【解析】AB．若仅将A板水平向右缓慢平移一些，则由 SKIPIF 1 < 0 知，电容器的电容减小，假设两极板间电势差不变，由 SKIPIF 1 < 0 知，电荷量减小，电容器会放电，但是电路中由于二极管的存在，电容器无法放电，即电荷量不变，所以电容减小时，两极板电势差增大。则对油滴受力分析知，此时油滴所受电场力大于重力，则油滴向上运动。同理可知，仅将B板竖直向下缓慢平移一些，则d增大，由 SKIPIF 1 < 0 知，电容器的电容减小，同理分析知，两极板电势差增大，则静电计指针的张角将增大，故A正确，B错误；
C．若断开S，则电容器两极板的电荷量保持不变，所以仅将A板水平向右缓慢平移一些时，由 SKIPIF 1 < 0 知，电容器的电容减小，由 SKIPIF 1 < 0 知，电荷量不变时，两极板电势差增大，所以静电计指针的张角将变大，故C正确；
D．若断开S，则电容器两极板的电荷量保持不变，因为两极板的电场强度
SKIPIF 1 < 0
在电荷量不变时，与极板间距d无关，所以仅将B板竖直向上缓慢平移一些时，两极板的电场强度不变，故油滴将静止不动，故D错误。
故选AC。
6．（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，实线是一带负电粒子在某一匀强电场中运动轨迹的一部分，粒子经过A点的速度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，经过B点的速度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，粒子由A运动到B点的过程中其速度方向恰好改变了 SKIPIF 1 < 0 ，已知A、B两点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，带电粒子的质量为m，电量大小为q，不考虑带电粒子的重力。则（ ）
A．带电粒子从A到B的过程中，电势能先增加后减少
B．A点的电势低于B点的电势
C．A、B两点间的电势差为 SKIPIF 1 < 0
D．匀强电场的电场强度为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】A．依题意，粒子从A运动到B的过程中，水平向右做减速运动，竖直向下做加速运动，则粒子受到的电场力指向左下方，如图所示
电场力F与初速方向成钝角，可知粒子在电场力反方向上做匀减速、在垂直于电场力方向上做匀速运动，所以粒子的速度先变小后变大，电场力对粒子先做负功后做正功，电势能先增加后减少，故A正确；
B．因 SKIPIF 1 < 0 ，根据动能定理，从A到B的过程中，电场力做正功，则电势能减小，所以粒子在A点的电势能大于在B点的电势能，又因为粒子带负电，所以A点的电势小于B点的电势，故B正确；
C．设 SKIPIF 1 < 0 两点间的电势差为 SKIPIF 1 < 0 ，由动能定理
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故C正确；
D．电场强度等于A、B两点间的电势差与沿电场线方向的距离之比，依题意可知电场的电场强度的方向与电场力的方向相反，指向右上方，不在 SKIPIF 1 < 0 方向上，即A、B两点沿电场线方向的距离小于L，匀强电场的电场强度大于 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误。
故选ABC。
三、解答题
7．（2022·北京·清华附中三模）电量均为+Q的两电荷固定在相距为2d的AB两点，O为AB连线中点，AB连线中垂线上有一点M，到O的距离为A，已知静电力常量k。
（1）求M点的场强。
（2）将一质量为m，带电量为-q的粒子从M点由静止释放，不考虑粒子的重力。
a.若A远小于d，可略去 SKIPIF 1 < 0 项的贡献，试证明粒子的运动为简谐运动；
b.简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，请描述与该粒子所做简谐运动相对应的圆运动，并求该粒子做简谐运动的周期及动能的最大值。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；方向为O指向M；（2）a.见解析；b. SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）两个等量正电荷在M处产生的电场强度并合成如图所示
M点的场强为
SKIPIF 1 < 0
方向为O指向M。
（2）a.粒子运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为
SKIPIF 1 < 0
即粒子的运动为简谐运动。
b．简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，二者周期相同，此时圆周运动以O点为圆心，圆面与纸面垂直，由牛顿第二定律可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
又
SKIPIF 1 < 0
其中
SKIPIF 1 < 0
联立，可得
SKIPIF 1 < 0
8．（2022·海南·模拟预测）如图所示，矩形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其所在平面存在与 SKIPIF 1 < 0 平行的匀强电场。矩形对角线的交点 SKIPIF 1 < 0 处有一个电子发射源，可沿平面的各个方向发射动能均为 SKIPIF 1 < 0 的电子，且所有到达矩形边界的电子中，到达 SKIPIF 1 < 0 点的电子动能最大，大小为 SKIPIF 1 < 0 。
（1）求电场强度的大小和方向；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 点的电势为零，求 SKIPIF 1 < 0 点的电势；
（3）求电子到达 SKIPIF 1 < 0 点时的动能。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，方向由C指向A；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由于所有到达矩形边界的电子中，到达 SKIPIF 1 < 0 点的电子动能最大，可知电子受到的电场力方向沿着 SKIPIF 1 < 0 方向，故电场强度的方向由 SKIPIF 1 < 0 指向 SKIPIF 1 < 0 ，电子由O点运动到 SKIPIF 1 < 0 点，由动能定理有
SKIPIF 1 < 0
其中
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
解得电场强度大小为
SKIPIF 1 < 0
（2）过 SKIPIF 1 < 0 点向 SKIPIF 1 < 0 作垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示
可知 SKIPIF 1 < 0 的连线为等势线，即
SKIPIF 1 < 0
由几何关系可知
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的电势差为
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 点的电势为
SKIPIF 1 < 0
（3）过 SKIPIF 1 < 0 点向 SKIPIF 1 < 0 作垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的连线为等势线，即
SKIPIF 1 < 0
由几何关系可知
SKIPIF 1 < 0
电子到达 SKIPIF 1 < 0 点时的动能与到达 SKIPIF 1 < 0 点时的动能相等，由动能定理可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
即电子到达 SKIPIF 1 < 0 点时动能为 SKIPIF 1 < 0 。
判断依据
判断方法
电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷
的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电势能的大小
正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低
静电力做功
根据UAB＝eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
v－t图像
当带电粒子只受静电力时，从v－t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，进而可判定粒子运动中经过的各点的场强方向、场强大小、电势高低及电势能的变化情况．
φ－x图像
(1)从φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，进而确定电场强度的方向及试探电荷电势能的变化．
(2)φ－x图线切线的斜率大小等于沿x轴方向电场强度E的大小．
E－x图像
以场强沿x轴方向为例：
(1)E>0表示场强沿x轴正方向，E<0表示场强沿x轴负方向．
(2)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低需根据电场方向判定．
Ep－x图像
(1)图像的切线斜率大小等于静电力大小．
(2)可用于判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况.
例题1. 如图，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在边长为L的正方体的两个顶点上，A是正方体的另一个顶点，如果点电荷q、－q连线中点O的电场强度大小是E，则正方体A点的电场强度大小是( )
A.eq \f(9,16)E B.eq \f(3\r(5),16)E C.eq \f(3,16)E D.eq \f(9\r(5),16)E
答案 B
解析 根据几何知识可得，O点到两个电荷的距离都是eq \f(\r(3),2)L，则O点场强为E＝2keq \f(q,r2)＝eq \f(8kq,3L2)，A点场强EA满足关系式：Eeq \\al(2,A)＝[eq \f(kq,\r(2)L2)]2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kq,L2)))2，解得EA＝eq \f(\r(5)kq,2L2)＝eq \f(3\r(5),16)E，故选B.
例题2. (多选)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，坐标轴上的点0、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等．一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是( )
A．从O点到C点，电势先升高后降低
B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C．粒子运动到C点时动能大于3Ek
D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量
答案 CD
解析 从O点到C点，电场强度方向保持不变，由于开始场强方向沿x轴正方向，所以沿电场线方向电势逐渐降低，则从O点到C点，电势逐渐降低，A错误；由题图图像可知场强先增大后减小，则静电力也是先增大后减小，所以粒子的加速度先增大后减小，一直做变加速运动，B错误；由图像可知图像的面积表示电势差，则有UOC>3UOA，由动能定理有qUOA＝Ek，qUOC＝EkC，由以上几式可得EkC>3Ek，所以粒子运动到C点时动能大于3Ek，C正确；粒子在AB段图像的面积大于BC段图像的面积，则UAB>UBC，所以粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，D正确.
一、电场性质的理解
1．电场中的各物理量的关系
2．电场强度的判断
(1)场强方向是正电荷所受电场力的方向，也是电场线上某点的切线方向；
(2)电场的强弱可根据电场线的疏密程度判断．
(3)电场中场强大小也可根据场强公式进行比较．
3．电势高低的判断方法
(1)根据电场线方向，沿着电场线方向，电势越来越低；
(2)根据电势差UAB＝φA－φB，若UAB>0，则φA>φB；反之，φA<φB.
(3)依据电势能的高低：由电势的定义式φ＝eq \f(Ep,q)知，正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．
4．电势能变化的判断
二、平行板电容器电场问题
1．必须记住的三个公式
定义式C＝eq \f(Q,U)，决定式C＝eq \f(εrS,4πkd)，关系式E＝eq \f(U,d).
2．掌握两个重要结论
(1)电容器与电路(或电源)相连，则两端电压取决于电路(或电源)，稳定时相当于断路，两端电压总等于与之并联的支路电压．
(2)充电后电容器与电路断开，电容器所带电荷量不变，此时若只改变两板间距离，则板间电场强度大小不变．
3．注意一个特例：当有电容器的回路接有二极管时，因二极管的单向导电性，将使电容器的充电或放电受到限制．
三、电场中的图像问题
电场中几种常见的图像
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图所示，水平面内的等边三角形BCD的边长为L，C点恰好位于光滑绝缘直轨道AC的最低点，A点到B、D两点的距离均为L，A点在BD边上的竖直投影点为O。y轴上B、D两点固定两个等量的正点电荷Q。在A点将质量为m、电荷量为 SKIPIF 1 < 0 的小球（自身产生的电场可忽略）套在轨道AC上并将小球由静止释放，已知静电力常量k，重力加速度为g，且 SKIPIF 1 < 0 ，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．从O点沿z轴到A点，电场强度一直增大
B．轨道上C点的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0
C．小球刚到达C点时（未脱离轨道）的加速度大小为 SKIPIF 1 < 0
D．小球在A、C两点之间做往复运动
【答案】B
【解析】A．在z轴正半轴上取一点M，设BM与BD夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，两正点电荷Q单独在M点产生的电场强度为 SKIPIF 1 < 0 ，两正点电荷Q在M点产生的合电场强度为 SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由数学知识可得
当
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 有最大值，AD与BD的夹角为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
从O点沿z轴到A点，电场强度先增大后减小。A错误；
B．轨道上C点的电场强度大小
SKIPIF 1 < 0
又
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
B正确；
C D．小球刚到达C点时（未脱离轨道）由牛顿第二定律得
SKIPIF 1 < 0
又
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
C错误；C点速度最大，小球不会在A、C两点之间做往复运动。D错误。
故选B。
2．（2022·山东·烟台二中模拟预测）如图所示，高为 SKIPIF 1 < 0 的绝缘圆柱体，底面半径为R，abcd为过两底面圆心轴线的截面，在c点有一电荷量为+q的点电荷，在a点有一电荷量为-q的点电荷，平面efgh垂直平面abcd、静电力常量为k。下列说法正确的是（ ）
A．h点与g点电场强度相同
B．d点电势高于b点电势
C．正电荷沿eh运动，电场力做正功
D．f点的电场强度大小为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】A．h点与g点电场强度大小相同，方向不同，A错误；
B．在c点有一电荷量为+q的点电荷，a点有一电荷量为-q的点电荷，高为 SKIPIF 1 < 0 的绝缘圆柱体，底面半径为R，d点电势等于b点电势，B错误；
C．正电荷沿eh运动，电场力做负功，C错误；
D．电荷q在f点受到a、c处电荷的电场力大小分别为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
合力为
SKIPIF 1 < 0
f点的电场强度大小为
SKIPIF 1 < 0
D正确。
故选D。
3．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图所示，在正方形的四个顶点各固定一个点电荷，直角坐系的x轴、y轴为正方形的对称轴。将一正电荷在原点O处静止释放时，它在以后运动过程中的最大速度为v。则将该电荷从x轴上无限远处以初速度2v沿+x方向射入后，它在以后运动过程中（ ）
A．在两负电荷连线中点处速度最大
B．将以原点O为中心在x轴上往复运动
C．最小速度为 SKIPIF 1 < 0
D．最大速度为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据点电荷形成的电场某位置的电势表达式 SKIPIF 1 < 0 和电场强度表达式 SKIPIF 1 < 0 ，电势是标量，故两个正点电荷和两个负点电荷到O点的距离相等，故O点电势为零。
电场强度为矢量，四个点电荷在O点形成的电场强度方向水平沿x轴负方向。故正点电荷在原点O处静止释放时，它将受电场力的作用向x轴负方向加速运动。
A．在两负电荷连线中点处，根据电场强度的矢量叠加可知，该点处的电场方向水平向左，电势不是最低，故正电荷在该位置左侧速度较大，该位置不是速度最大处，A错误；
BCD．根据点电荷电场强度叠加可知在x轴上的两负电荷连线的中点的左侧，由一点M，该位置电场强度为0，速度最大，电势最低。将一正电荷在原点O处静止释放时，它在以后运动过程中的最大速度为v，根据动能定理可知
SKIPIF 1 < 0
该电荷从x轴上无限远处以初速度2v沿+x方向射入，无穷远电势为0，从无穷远沿+x方向运动到M点，电场力做正功大小等于从原点O处运动到M点；再由M点运动到原点O点逆着电场线方向运动，电场力做负功，速度减小；根据能量守恒，原点O处与无穷远电势相等，电势能相等，故无穷远与原点O的动能相等、速度大小相等。
故根据动能定理可知，
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
同理分析可知，两正电荷连线中点的右侧存在一电势最高，电场强度为0的N点，从原点O运动到N点逆着电场线运动做减速运动，N点速度最小，从N点到正方向无穷远，电场力做正功，动能增加，速度增大，根据能量守恒可知，正无穷远处速度为 SKIPIF 1 < 0 。
故根据动能定理可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
综上所述它在以后运动过程中最大速度为 SKIPIF 1 < 0 ，最小速度为 SKIPIF 1 < 0 ，该电荷将沿x轴正方向一直运动下去，不做往返运动。故C正确，BD错误。
故选C。
4．（2022·广东湛江·模拟预测）如图所示，两个等量负点电荷固定于 SKIPIF 1 < 0 、Q两点，正方形 SKIPIF 1 < 0 为垂直 SKIPIF 1 < 0 、Q连线的平面， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点。 SKIPIF 1 < 0 点正好是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 连线的中点，下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点场强相同
B． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点电势相等
C． SKIPIF 1 < 0 是一个等势面
D．将一正电荷由 SKIPIF 1 < 0 点沿ef移动到 SKIPIF 1 < 0 点，电势能先增加后减小
【答案】B
【解析】A． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点场强大小相等，方向不同，故A错误；
B． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点为PQ连线的中垂线对称点，根据等量同种电荷电场线的分布，可确定 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点电势相等，故B正确；
C．在 SKIPIF 1 < 0 组成的平面上，电场方向由O点指向平面上各点，根据顺着电场线方向电势降低，可知， SKIPIF 1 < 0 组成的平面上电势不是处处相等，因此， SKIPIF 1 < 0 组成的平面不是等势面，故C错误；
D．将一正电荷由 SKIPIF 1 < 0 点沿ef移动到 SKIPIF 1 < 0 点，电场力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。
故选B。
二、多选题
5．（2022·四川雅安·模拟预测）在图示电路中，A、B为两块正对的水平金属板，G为静电计。开关S闭合后，静电计指针张开一个角度，板间的带电油滴悬浮在两板之间静止不动，不考虑静电计电量的变化对平行板电容器的影响。下列说法正确的是（ ）
A．若仅将A板水平向右缓慢平移一些，油滴将向上运动
B．若仅将B板竖直向下缓慢平移一些，静电计指针的张角将不变
C．若断开S，仅将A板水平向右缓慢平移一些，静电计指针的张角将变大
D．若断开S，仅将B板竖直向上缓慢平移一些，油滴将向上运动
【答案】AC
【解析】AB．若仅将A板水平向右缓慢平移一些，则由 SKIPIF 1 < 0 知，电容器的电容减小，假设两极板间电势差不变，由 SKIPIF 1 < 0 知，电荷量减小，电容器会放电，但是电路中由于二极管的存在，电容器无法放电，即电荷量不变，所以电容减小时，两极板电势差增大。则对油滴受力分析知，此时油滴所受电场力大于重力，则油滴向上运动。同理可知，仅将B板竖直向下缓慢平移一些，则d增大，由 SKIPIF 1 < 0 知，电容器的电容减小，同理分析知，两极板电势差增大，则静电计指针的张角将增大，故A正确，B错误；
C．若断开S，则电容器两极板的电荷量保持不变，所以仅将A板水平向右缓慢平移一些时，由 SKIPIF 1 < 0 知，电容器的电容减小，由 SKIPIF 1 < 0 知，电荷量不变时，两极板电势差增大，所以静电计指针的张角将变大，故C正确；
D．若断开S，则电容器两极板的电荷量保持不变，因为两极板的电场强度
SKIPIF 1 < 0
在电荷量不变时，与极板间距d无关，所以仅将B板竖直向上缓慢平移一些时，两极板的电场强度不变，故油滴将静止不动，故D错误。
故选AC。
6．（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，实线是一带负电粒子在某一匀强电场中运动轨迹的一部分，粒子经过A点的速度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，经过B点的速度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，粒子由A运动到B点的过程中其速度方向恰好改变了 SKIPIF 1 < 0 ，已知A、B两点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，带电粒子的质量为m，电量大小为q，不考虑带电粒子的重力。则（ ）
A．带电粒子从A到B的过程中，电势能先增加后减少
B．A点的电势低于B点的电势
C．A、B两点间的电势差为 SKIPIF 1 < 0
D．匀强电场的电场强度为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】A．依题意，粒子从A运动到B的过程中，水平向右做减速运动，竖直向下做加速运动，则粒子受到的电场力指向左下方，如图所示
电场力F与初速方向成钝角，可知粒子在电场力反方向上做匀减速、在垂直于电场力方向上做匀速运动，所以粒子的速度先变小后变大，电场力对粒子先做负功后做正功，电势能先增加后减少，故A正确；
B．因 SKIPIF 1 < 0 ，根据动能定理，从A到B的过程中，电场力做正功，则电势能减小，所以粒子在A点的电势能大于在B点的电势能，又因为粒子带负电，所以A点的电势小于B点的电势，故B正确；
C．设 SKIPIF 1 < 0 两点间的电势差为 SKIPIF 1 < 0 ，由动能定理
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故C正确；
D．电场强度等于A、B两点间的电势差与沿电场线方向的距离之比，依题意可知电场的电场强度的方向与电场力的方向相反，指向右上方，不在 SKIPIF 1 < 0 方向上，即A、B两点沿电场线方向的距离小于L，匀强电场的电场强度大于 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误。
故选ABC。
三、解答题
7．（2022·北京·清华附中三模）电量均为+Q的两电荷固定在相距为2d的AB两点，O为AB连线中点，AB连线中垂线上有一点M，到O的距离为A，已知静电力常量k。
（1）求M点的场强。
（2）将一质量为m，带电量为-q的粒子从M点由静止释放，不考虑粒子的重力。
a.若A远小于d，可略去 SKIPIF 1 < 0 项的贡献，试证明粒子的运动为简谐运动；
b.简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，请描述与该粒子所做简谐运动相对应的圆运动，并求该粒子做简谐运动的周期及动能的最大值。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；方向为O指向M；（2）a.见解析；b. SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）两个等量正电荷在M处产生的电场强度并合成如图所示
M点的场强为
SKIPIF 1 < 0
方向为O指向M。
（2）a.粒子运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为
SKIPIF 1 < 0
即粒子的运动为简谐运动。
b．简谐运动可视为某一匀速圆周运动沿直径方向上的投影运动，二者周期相同，此时圆周运动以O点为圆心，圆面与纸面垂直，由牛顿第二定律可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
又
SKIPIF 1 < 0
其中
SKIPIF 1 < 0
联立，可得
SKIPIF 1 < 0
8．（2022·海南·模拟预测）如图所示，矩形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其所在平面存在与 SKIPIF 1 < 0 平行的匀强电场。矩形对角线的交点 SKIPIF 1 < 0 处有一个电子发射源，可沿平面的各个方向发射动能均为 SKIPIF 1 < 0 的电子，且所有到达矩形边界的电子中，到达 SKIPIF 1 < 0 点的电子动能最大，大小为 SKIPIF 1 < 0 。
（1）求电场强度的大小和方向；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 点的电势为零，求 SKIPIF 1 < 0 点的电势；
（3）求电子到达 SKIPIF 1 < 0 点时的动能。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，方向由C指向A；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由于所有到达矩形边界的电子中，到达 SKIPIF 1 < 0 点的电子动能最大，可知电子受到的电场力方向沿着 SKIPIF 1 < 0 方向，故电场强度的方向由 SKIPIF 1 < 0 指向 SKIPIF 1 < 0 ，电子由O点运动到 SKIPIF 1 < 0 点，由动能定理有
SKIPIF 1 < 0
其中
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
解得电场强度大小为
SKIPIF 1 < 0
（2）过 SKIPIF 1 < 0 点向 SKIPIF 1 < 0 作垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示
可知 SKIPIF 1 < 0 的连线为等势线，即
SKIPIF 1 < 0
由几何关系可知
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的电势差为
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 点的电势为
SKIPIF 1 < 0
（3）过 SKIPIF 1 < 0 点向 SKIPIF 1 < 0 作垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的连线为等势线，即
SKIPIF 1 < 0
由几何关系可知
SKIPIF 1 < 0
电子到达 SKIPIF 1 < 0 点时的动能与到达 SKIPIF 1 < 0 点时的动能相等，由动能定理可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
即电子到达 SKIPIF 1 < 0 点时动能为 SKIPIF 1 < 0 。
判断依据
判断方法
电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷
的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电势能的大小
正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低
静电力做功
根据UAB＝eq \f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
v－t图像
当带电粒子只受静电力时，从v－t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，进而可判定粒子运动中经过的各点的场强方向、场强大小、电势高低及电势能的变化情况．
φ－x图像
(1)从φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，进而确定电场强度的方向及试探电荷电势能的变化．
(2)φ－x图线切线的斜率大小等于沿x轴方向电场强度E的大小．
E－x图像
以场强沿x轴方向为例：
(1)E>0表示场强沿x轴正方向，E<0表示场强沿x轴负方向．
(2)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低需根据电场方向判定．
Ep－x图像
(1)图像的切线斜率大小等于静电力大小．
(2)可用于判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况.
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