北师大版八年级数学下册举一反三系列6.5平行四边形章末题型过关卷(北师大版)同步练习(学生版+解析)

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第6章 平行四边形章末题型过关卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）A． AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C． AB=CD，AD=BC D． AB=AD，CB=CD 2．（3分）（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=12BC．连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN的长为（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．（3分）（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ）A．9个 B．8个 C．6个 D．4个4．（3分）（2022秋·云南西双版纳·八年级西双版纳州第一中学校考期中）如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（    ）m．A．24 B．60 C．100 D．1205．（3分）（2022春·河南开封·八年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画(   )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．（3分）（2022春·四川广安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，添加一个条件使四边形ADFC是平行四边形，则这个条件可以是（    ）A．∠FDB＝∠F B．AC＝AD C．∠FDB＝∠BCF D．AD＝CF7．（3分）（2022秋·重庆·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　）A．82 B．4 C．43 D．428．（3分）（2022春·重庆·八年级重庆八中校考期末）如图，A为y轴上一点，B点坐标为（1，0），连接AB，分别以OB、AB为边构造等边△OBD和等边△ABC，且点D恰好落在AB上，点P为平面内一点，当四边形PBCD为平行四边形时，点P坐标为（    ）A．32,323 B．−12,−32 C．32,2+32 D．−12,−2+329．（3分）（2022秋·山东东营·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=12AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD⋅BC；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　）A．6 B．8 C．10 D．13二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·广东江门·八年级统考期末）一个正多边形的内角和比它的外角和多180°，则这个正多边形的每一个内角等于______．12．（3分）（2022秋·河南漯河·九年级校考期中）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则∠CEB'的度数为_______．13．（3分）（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）在▱ABCD中，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，交AD于点E，F，若AD=6，EF=2，则AB的长为______．14．（3分）（2022秋·全国·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60∘，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE // BD，EF⊥BC，DF=2，则EF的长为________．15．（3分）（2022秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．16．（3分）（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，一副三角板如图1放置，AB=CD=6，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED=75°，连接AD，BC，此时四边形ABCD的面积是________．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）已知一个正多边形的边数为n．(1)若这个正多边形的内角和的14比外角和多90°，求n的值．(2)若这个正多边形的一个内角为108°，求n的值．18．（6分）（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，点F，连接AF、CE．(1)试判断AE与CF的关系，并说明理由；(2)若CD=CE，△AEF的面积是2cm2，则▱ABCD的面积为______．19．（8分）（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)若AB=10，AC=4，求BF的长．20．（8分）（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD=DF，连接DE．(1)求证：AE平分∠BAD；(2)若点E为BC中点，∠B=60°，AD=4，求▱ABCD的面积．第6章 平行四边形章末题型过关卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）A． AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C． AB=CD，AD=BC D． AB=AD，CB=CD 【答案】A【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．【详解】解：A、AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；B、∠A=∠B，∠C=∠D，不能判定四边形ABCD为平行四边形；C、AB=CD，AD=BC，能判定四边形ABCD为平行四边形；D、AB=AD，CB=CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形；【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．2．（3分）（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=12BC．连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN的长为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据三角形中位线定理得到MN=12BC、MN∥BC，证明四边形NDCM是平行四边形，可得DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=12AB=3，最后等量代换即可解答．【详解】解：如图：连接CM∵M，N分别是AB、AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12BC，MN∥BC，∵CD=12BC，∴CD=MN，∵MN∥BC，∴四边形NDCM为平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=12AB=12×6=3，∴DN=3．【点睛】本题主要考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．3．（3分）（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ）A．9个 B．8个 C．6个 D．4个【答案】B【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．【详解】解：设EF与NH交于点O，∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个．【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．4．（3分）（2022秋·云南西双版纳·八年级西双版纳州第一中学校考期中）如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（    ）m．A．24 B．60 C．100 D．120【答案】D【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．【详解】∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，则一共走了24×5=120米．故选：D．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．5．（3分）（2022春·河南开封·八年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画(   )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题.【详解】在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6．（3分）（2022春·四川广安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，添加一个条件使四边形ADFC是平行四边形，则这个条件可以是（    ）A．∠FDB＝∠F B．AC＝AD C．∠FDB＝∠BCF D．AD＝CF【答案】D【分析】根据平行四边形的判定定理依次分析即可．【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，CE=BE，AD=BD，∴DE∥AC，A、当∠FDB＝∠F时，可得CF∥BD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得四边形ADFC是平行四边形，故符合题意；B、当AC=AD时，无法证明四边形ADFC是平行四边形，故不符合题意；C、当∠FDB＝∠BCF时，无法证明四边形ADFC是平行四边形，故不符合题意；D、当AD=CF时，根据一组对边平行另一组对边相等无法证明四边形ADFC是平行四边形，故不符合题意；【点睛】此题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．7．（3分）（2022秋·重庆·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　）A．82 B．4 C．43 D．42【答案】D【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO=CO，OP=OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC=45°，∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AO=12AC=12×8=4，∴OP′=22 AO=22，∴PQ的最小值=2OP′=42，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．8．（3分）（2022春·重庆·八年级重庆八中校考期末）如图，A为y轴上一点，B点坐标为（1，0），连接AB，分别以OB、AB为边构造等边△OBD和等边△ABC，且点D恰好落在AB上，点P为平面内一点，当四边形PBCD为平行四边形时，点P坐标为（    ）A．32,323 B．−12,−32 C．32,2+32 D．−12,−2+32【答案】B【分析】利用等边三角形的性质可得点D和C的坐标，再利用平行四边形的性质可得P的坐标．【详解】如图，以OB、AB为边构造等边△OBD和等边△ABC，∴∠ODB=∠OBD=60，OB=1，∠CAB=60°，∴∠OAB=30°，∴∠OAD=∠DOA=30°，∴OD=AD=1，∵点D为AB的中点，∴AB=2，AO=3，∴D12,32，∴∠CAO=90°，∴C2,3，∵四边形PBCD是平行四边形，∴DP∥BC，DP=BC，由平移可知P−12,−32，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，平移的性质等知识，利用平移的性质得出点P的坐标是解题的关键．9．（3分）（2022秋·山东东营·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=12AB，连接OE．下列结论：①S▱ABCD=AD⋅BC；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】证得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD=AE=12AB，求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD=AD⋅BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO>AD，即可得到AO>DE；由三角形的中位线定理可得出OE∥AD，则可得出EO⊥BD，则可得出结论．【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE=12AB，∴E是AB的中点，∴DE=BE，∴∠BDE=12∠AED=30°，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD⋅BD，故①不符合题意；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②符合题意；∵Rt△AOD中，AO>AD，∴AO>DE，故③不符合题意；∵O是BD的中点，E是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥AD，∵∠ADB=90°，∴∠EOB=90°，∴EO⊥DB，∴OE垂直平分BD，故④符合题意，所以正确的有：②④．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．（3分）（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　）A．6 B．8 C．10 D．13【答案】B【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB+180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，∵AM∥CF，∴∠AOE＝∠BHC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，又∵∠AOE＝90°，∴BO＝OE＝3，∴AO=AE2−EO2=52−32=4，在△ABO和△MBO中，∠ABO=∠CBOBO=BO∠AOB=∠MOB=90°，∴△ABO≌△MBO（ASA），∴AO＝OM＝4，∴AM＝8，∵AD∥BC，AM∥CF，∴四边形AMCF是平行四边形，∴CF＝AM＝8，【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·广东江门·八年级统考期末）一个正多边形的内角和比它的外角和多180°，则这个正多边形的每一个内角等于______．【答案】108°##108度【分析】设这个正多边形的边数为n，根据正多边形的内角和公式结合正多边形外角和为360°列出方程求解即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得，180°×n−2=360°+180°，∴n=5，180°×5−25=108°，∴这个正多边形的每一个内角等于108°，故答案为：108°．【点睛】本题主要考查了正多边形内角和和外角和，熟知正多边形内角和公式和正多边形外角和为360°是解题的关键．12．（3分）（2022秋·河南漯河·九年级校考期中）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则∠CEB'的度数为_______．【答案】45°##45度【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得∠EB'C和∠C的度数，然后根据三角形内角和定理可求得∠CEB'的度数．【详解】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'，点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，∴∠BAB'=30°,AB=AB'，∠B=∠AB'C'，∴∠B=∠AB'B=75°，∴∠AB'C'=∠B=75°，∴∠EB'C=180−75°×2=30°，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠C=180°−∠B=105°，∴∠CEB'=180°−∠C−∠EB'C=180°−105°−30°=45°，故答案为：45°．【点睛】此题考查了旋转的性质、平行四边形的性质和三角形内角和定理，熟练运用相关性质和定理求得∠EB'C和∠C的度数是解此题的关键．13．（3分）（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）在▱ABCD中，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，交AD于点E，F，若AD=6，EF=2，则AB的长为______．【答案】4或2##2或4【分析】先证AE=AB，同理，DC=DF，则AE=AB=DC=DE，再分两种情况，分别求出AB的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=DC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB，同理，DC=DF，∴AE=AB=DC=DF，分两种情况：①如图1，则AE+DF=EF+AD，即AB+AB=2+6，解得：AB=4；②如图2，则AE+EF+DF=AD，即AB+2+AB=6，解得：AB=2；综上所述，AB的长为4或2，故答案为：4或2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．14．（3分）（2022秋·全国·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60∘，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE // BD，EF⊥BC，DF=2，则EF的长为________．【答案】23【分析】由平行四边形的性质及直角三角形的性质，可以得出△CDF是等边三角形，再根据勾股定理进行解答即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，又∵EF⊥BC，∴∠CEF=90°-∠DCF=30°，∴CF=12CE，又∵AE//BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，∴CF=CD，∴△CDF是等边三角形，∴CD=CF=DF=2，∴CE=4，∴EF=CE2−CF2=42−22=23，故答案为23.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、等边三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理的应用等，综合性较强，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.15．（3分）（2022秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．【答案】4．【分析】先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×12b=12ab，最后根据a2+b2=8，判断12ab的最大值即可．【详解】解：如图，延长EP交BC于点F，∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°−150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=12CP=12b，a2+b2=42=16，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，在△EAD和△PAB中，AE=AP∠EAD=∠PABAD=AB，∴△EAD≌△PAB(SAS)，∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB(SAS)，∴EP=AP=CD，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×12b=12ab，又∵(a−b)2=a2−2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2=16，∴12ab≤4，即四边形PCDE面积的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．16．（3分）（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，一副三角板如图1放置，AB=CD=6，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED=75°，连接AD，BC，此时四边形ABCD的面积是________．【答案】23+3【分析】延长CE交AB于点F，先根据特殊直角三角形的性质和∠AED=75°，推出AB∥CD，从而可证四边形ABCD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出CF长，最后计算平行四边形ABCD的面积即可．【详解】解：如图2，延长CE交AB于点F，∵∠AED=75°，∴∠EAD+∠ADE=180°−∠AED=105°，又∠BAE+∠CDE=45°+30°=75°，∴∠BAD+∠CDA=∠BAE+∠CDE+∠EAD+∠ADE=180°，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形是ABCD平行四边形，∵CE⊥CD，∴CE⊥AB，即EF⊥AB，∴EF=12AB=62，EC=33CD=2，∴CF=EC+EF=6+222，∴S四边形ABCD=AB×CF=6+222×6=23+3．故答案为：23+3．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）已知一个正多边形的边数为n．(1)若这个正多边形的内角和的14比外角和多90°，求n的值．(2)若这个正多边形的一个内角为108°，求n的值．【答案】(1)n的值为12；(2)n的值为5．【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答；（2）先求得这个正多边形的每个外角为72°，根据多边形外角和定理解答即可．【详解】（1）解：依题意，得n−2⋅180×14=360+90，解得n=12，即n的值为12；（2）解：∵正多边形的一个内角为108°，∴这个正多边形的外角为72°．∵多边形的外角和为360°，∴n=36072=5，即n的值为5．【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，解题的关键是牢记正多边形的内角和公式与外角和等于360°．18．（6分）（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，点F，连接AF、CE．(1)试判断AE与CF的关系，并说明理由；(2)若CD=CE，△AEF的面积是2cm2，则▱ABCD的面积为______．【答案】(1)AE=CF，AE∥CF，理由见解析；(2)12cm2．【分析】（1）求出∠ABE=∠CDF，由AE⊥BD，CF⊥BD可得∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，证明△ABE≌△CDFAAS，即可得到AE=CF；（2）证明四边形AECF为平行四边形，△ABF和△CED是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE=EF，EF=FD，求出△ABE和△AFD的面积是2cm2，进而可得答案．【详解】（1）解：AE=CF，AE∥CF，理由：∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFDAB=CD，∴△ABE≌△CDFAAS，∴AE=CF，（2）解：∵AE=CF，AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF=CE，∵CD=CE，AB=CD，∴AF=AB，∴△ABF和△CED是等腰三角形，∵AE⊥BF，CF⊥ED，∴BE=EF，EF=FD，∵△AEF的面积是2cm2，∴△ABE和△AFD的面积是2cm2，∴△ABD的面积是6cm2，∴▱ABCD的面积为12cm2，故答案为：12cm2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键．19．（8分）（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)若AB=10，AC=4，求BF的长．【答案】(1)见解析(2)BF=3，证明见解析【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE=EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再由EF∥BC可证出结论；（2）先证明BF=DE=12BG，再证明AG=AC，可得到BF=12AB−AG=12AB−AC．【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G，∵AE⊥CE，∴∠AEG=∠AEC=90°，在△AEG和△AEC中，∠GAE=∠CAEAE=AE∠AEG=∠AEC∴△AGE≌△ACE（ASA）．∴GE=EC．∵BD=CD，∴DE为△CGB的中位线，∴DE∥AB．∵EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形．（2）解：∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE．∵D、E分别是BC、GC的中点，∴BF=DE=12BG．∵△AGE≌△ACE，∴AG=AC，∴BF=12AB−AG=12AB−AC∴BF=1210−4=3【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE=EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．20．（8分）（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD=DF，连接DE．(1)求证：AE平分∠BAD；(2)若点E为BC中点，∠B=60°，AD=4，求▱ABCD的面积．【答案】(1)证明见解析(2)43【分析】（1）根据平行四边形的性质可知AB∥DF，可得∠BAE=∠AFD，根据等边对等角可知∠DAE=∠AFD，等量代换可得∠BAE=∠DAE，即可证明AE平分∠BAD；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，证明△AEB≌△FECASA，可得AB=FC=DC=12DF=2，再根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，求出BC边的高为AG的长度，即可求出▱ABCD的面积．【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAE=∠AFD，∴∠BAE=∠DAE，∴AE平分∠BAD．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∵四边形ABCD是平行四边形，AD=4，∴AD∥BC，AB∥DF，AB=DC，AD=BC=4，∴∠ABE=∠FCE，∵点E为BC中点，∴BE=EC=12AD=2，∵AD=DF，∴DF=4，∵在△AEB和△FEC中，∠AEB=∠FECBE=EC∠ABE=∠FCE，∴△AEB≌△FECASA，∴AB=FC，∴DC=FC，∴AB=DC=12DF=2，∵∠B=60°，AG⊥BC，∴∠BAG=30°，∴BG=12AB=1，∴BC边的高为AG=AB2−BG2=22−12=3，∴S▱ABCD=BC×AG=4×3=43．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．21．（8分）（2022春·河南新乡·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，如果点E、F同时出发，设运动时间为t(s)．当t何值时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？【答案】t=2s或6s【分析】分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当AE=CF时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC−BF=(6−2t)cm，∵AG∥BC，∴当AE=CF是，四边形AECF是平行四边形，即t=6−2t，解得：t=2s；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC−BF=(2t−6)cm，∵AG∥BC，∴当AE=CF是，四边形AECF是平行四边形即t=2t−6，解得：t=6s；综上所述：当t=2s或6s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．22．（8分）（2022春·广东广州·八年级广州市南武中学校考期中）如图：(1)如图1，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求证：BM=CN．(2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2．(3)如图3，PT是△PQR的中线，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)PT=27【分析】（1）用AAS证明△ABM≅△DCN即可；（2）作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，利用勾股定理和平行四边形的性质即可证明；（3）倍长中线补全图形，证明四边形PQSR是平行四边形，将第二问结论代入数值计算即可．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC,AB=DC，∴∠ABM=∠DCN，又∵AM⊥BC,DN⊥BC，∴∠BMA=∠CND=90°，在△ABM和△DCN中，∠ABM=∠DCN∠AMB=∠DNCAB=DC，∴△ABM≅△DCN(AAS) ，∴BM=CN．(2)证明：作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如图所示，在Rt△DBN和Rt△DCN中，根据勾股定理得BD2=BN2+DN2，DC2=CN2+DN2，∴BD2−CD2=BN2−CN2=(BC+CN)2−CN2=BC2+2BC⋅CN，同理，在Rt△AMB和Rt△AMC中，根据勾股定理得AB2=BM2+AM2，AC2=CM2+AM2，∴AC2−AB2=CM2−BM2=(BC−BM)2−BM2=BC2−2BC⋅BM，∴AC2+BD2=BC2+2BC⋅CN+CD2+BC2−2BC⋅BM+AB2，联系第一问，易证：△ABM≅△DCN，∴BM=CN,∴2BC⋅CN−2BC⋅BM=0，又∵AD=BC，∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2．(3)延长PT至S，使得PT=TS，连接QS，RS，如图所示，∵PT是△PQR的中线，∴QT=RT，∴四边形PQSR为平行四边形，∴PQ=RS=7，RP=QS=5，由（2）得PS2+RQ2=PQ2+QS2+SR2+PR2，∴2PT2+62=72+52+72+52，解得PT2=112×14=28，∵PT>0 ，∴PT=27．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识点，第2问运用勾股定理，第3问用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．23．（8分）（2022春·湖北咸宁·七年级校考期中）如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．（1）求点C、点D的坐标及S四边形ABDC；（2）点Q在y轴上，且S△QAB=S四边形ABDC，求出点Q的坐标；（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．【答案】（1）C(0，2），D(4，2）；S四边形ABDC=8；（2）Q(0，4）或Q(0，﹣4）；（3）∠CPO=∠DCP+∠BOP，证明见解析．【分析】（1）根据平移直接得到点C、点D的坐标，用面积公式计算S四边形ABDC；（2）设出Q的坐标，OQ=|m|，用S△QAB= S四边形ABDC建立方程，解方程即可；（3）作出辅助线、平行线，用两直线平行，内错角相等即可．【详解】解：（1）∵线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD且A(﹣1，0），B(3，0）∴C(0，2），D(4，2）∵AB=4，OC=2∴S四边形ABDC=AB×OC=8．（2）∵点Q在y轴上，设Q(0，m）∴OQ=|m|∴S△QAB=12×AB×OQ=12×4×|m|=2|m|∵S四边形ABDC=8∴2|m|=8∴m=4或m=﹣4∴Q(0，4）或Q(0，﹣4）．（3）如图∵线段CD是线段AB平移得到