[数学]湖南省长沙市六校2024届高三下学期联考试题(解析版)

这是一份[数学]湖南省长沙市六校2024届高三下学期联考试题(解析版)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，
则，
故选：B.
2. 已知向量，，且，则实数（ ）
A. 1或4B. 1或
C. 或1D. 或1
【答案】B
【解析】由，，，有，解得．
故选：B.
3. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向右平行移动个单位长度
B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度
D. 向左平行移动个单位长度
【答案】C
【解析】因为，所以只要把函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，即可得到函数的图象．
故选：C.
4. “”是“圆与圆相切”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】圆圆心，半径为；
圆圆心，半径为；
当两圆相切时，可分为内切和外切两种，圆心距为，
①当两圆外切时：，即.
②当两圆内切时：，即.
则根据充分条件和必要条件的判定原则，
可知“”是“圆与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 若，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，则，
因为，，
所以，，
则.
故选：C.
6. 若展开式的常数项为60，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为展开式的通项为，
令，则，所以常数项为，即，所以.
故选D.
7. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A. 72B. 74C. 76D. 78
【答案】B
【解析】由于，所以，
依题意，则，则，
由，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故选：B.
8. 已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，设，则，，，

在中，即，
，，，
，，
在中，，即，
，，又，.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ）
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有种放法
B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法
D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
【答案】ACD
【解析】对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确；
对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：
全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误；
对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确；
对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确；
故选：ACD.
10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A. B.
C. 的面积为D. 的周长为
【答案】ABD
【解析】由，有，得，选项A正确．
因为，由正弦定理有，，得，选项B正确．
的面积为，选项C错误．
因为，由余弦定理，
解得，故的周长为，选项D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数则下列说法正确的是（ ）
A. 当时,
B. 当时,直线与函数的图象相切
C. 若函数区间上单调递增,则
D. 若在区间上恒成立,则
【答案】AB
【解析】对于A,当时,,,
当时,,
当时,,
函数在上单调递减,在上单调递增,
,故选项A正确;
对于B,当时,,,f'(0)=2,
函数在处的切线方程为,故选项B正确;
对于C,,若函数在区间上单调递增,
则区间上恒成立,
即在上恒成立,
令,,则,
函数上单调递减,,
,故选项C错误;
对于D,当时,恒成立,此时;
当时,恒成立等价于恒成立,即恒成立,
设,,
则在上恒成立,
在上单调递减,
,,
综上所述,故选项D错误.
故选:AB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线过点，则其渐近线方程为______．
【答案】
【解析】因为双曲线过点，
即有，解得或（舍），而，
故渐近线方程，即.
13. 已知复数满足，则_________.
【答案】
【解析】因为，所以.
14. 立方、堑堵、阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著《九章算术商功》，在《九章算术商功》中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图，
再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图．
现有一四面体ABCD，已知，，，，，，根据上述史料中“鳖臑”的由来，可求得这个四面体的体积为___________，及该四面体的外接球的体积为___________．
【答案】4
【解析】根据资料可得“鳖臑”的由来是将长方体分解一半，得到三棱柱，三棱柱再分成两块；现将“鳖臑”还原成长方体，
由已知，，，，，，
还原成长方体，如图，
从还原的长方体可以看出，四面体的体积；
长方体的体对角线即为四面体外接球的直径，，
四面体的外接球的体积．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求
解：（1）因为是等差数列，可设首项为，公差为，
由题意得：，，
联立解得：，，
是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为.
（2）由上问可知，数列是公差为2的等差数列，通项公式.
所以,
从而可得,
从而可得,
.
16. 如图所示的几何体中，四边形是正方形.四边形是梯形，，平面平面，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
（1）证明：∵，平面，
∴平面，
∵，平面，平面，
∴.平面，
∵，、平面，
∴平面/平面，
∵平面，
∴平面．
（2）解：以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
设平面一个法向量，，，
则，即，
令，则，，
∴，
设平面一个法向量，，，
则，即，
令，则，，
∴，
∴，
设二面角的平面角为，
则，
故.
17. 要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试考试．已知听力和笔试各自允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为，笔试考试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）求他恰好补考一次就获得证书的概率；
（3）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求参加考试次数的分布列和期望值．
解：（1）设“听力第一次考试合格”为事件，“听力补考合格”为事件；“笔试第一次考试合格”为事件，“笔试补考合格”为事件
不需要补考就获得证书的事件为，注意到与相互独立，
则
（2）恰好补考一次的事件是，
则；
（3）由已知得，，3，4，
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
，
，
，
参加考试次数的期望值.
18. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值．
解：（1）当时，，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2），
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减.
（3）在时恒成立，即恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且
，所以在存在唯一实数，
使得，即，所以
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，
故，又，整数的最大值为5．