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上海市闵行区华东师范大学第二附属中学附属初级中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（原卷版）
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这是一份上海市闵行区华东师范大学第二附属中学附属初级中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了 将四个相同的矩形， 在实数范围内因式分解等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具．
2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．
3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分．
4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负．
一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则分式的值（ ）
A. 扩大3倍B. 缩小到原来的C. 保持不变D. 扩大9倍
2. 若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ）
A. B. C. D. 或
3. “x3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为( )
A B. C. D.
4. 已知一组数据70，80，80，85，85，85，则它的众数和中位数分别为（ ）
A. 85，80B. 85，85C. 85，82．5D. 80，80
5. 将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
6. 已知b＜0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于
A. －2B. －1C. 1D. 2
二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7. 4的算术平方根是________．
8. 已知，则点是的黄金分割点，______．
9. 在实数范围内因式分解：_______
10. 某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，则选中男生的可能性是_________．
11. 某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为______．
12. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______．
13. 如图，＝3，G为AF的中点，则＝_____．
14. 如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是__________．
15. 在等腰ΔABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即.例：T（60）=1，那么T（120）=____________ ；
16. 我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________．
17. 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是_____．
18. 定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是_________．
图1 图2
三.解答题（满分78分）
19. 计算：．
20. 求不等式组的非负整数解
21. 如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
22. 正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
23. 如图，已知直线与坐标轴交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，两直线的交点为．
（1）求，，的值；
（2）连接，试说明（表示面积）；
（3）轴上存在点，使得，求出此时点坐标．
24.
已知，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反．
（1）当抛物线经过点时，求抛物线的表达式；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分．
25. 解图形往往与图形的性质密切相关
（1）由已学的全等判定：可知
结论1：判定两三角形全等的必要元素是___________；
结论2：解三角形时至少需要知道一条边的原因是_____________；
（2）如图，在锐角中至少有两个锐角，始终为锐角，设长为a，请用三个角三角比和a的代数式表示的周长；
（3）在解各种形状的梯形的过程中，我们最多需要______个条件，最少需要______个条件，最少条件时需要知道的元素可以为_________．
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
考生注意：
1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具．
2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．
3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分．
4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负．
一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则分式的值（ ）
A. 扩大3倍B. 缩小到原来的C. 保持不变D. 扩大9倍
2. 若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ）
A. B. C. D. 或
3. “x3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为( )
A B. C. D.
4. 已知一组数据70，80，80，85，85，85，则它的众数和中位数分别为（ ）
A. 85，80B. 85，85C. 85，82．5D. 80，80
5. 将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
6. 已知b＜0时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于
A. －2B. －1C. 1D. 2
二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7. 4的算术平方根是________．
8. 已知，则点是的黄金分割点，______．
9. 在实数范围内因式分解：_______
10. 某班有6名女生和4名男生报名参加学校组织的进博会志愿者活动，现从中任选1人，则选中男生的可能性是_________．
11. 某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为______．
12. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______．
13. 如图，＝3，G为AF的中点，则＝_____．
14. 如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是__________．
15. 在等腰ΔABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即.例：T（60）=1，那么T（120）=____________ ；
16. 我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________．
17. 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是_____．
18. 定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是_________．
图1 图2
三.解答题（满分78分）
19. 计算：．
20. 求不等式组的非负整数解
21. 如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
22. 正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
23. 如图，已知直线与坐标轴交于，两点，直线与坐标轴交于，两点，两直线的交点为．
（1）求，，的值；
（2）连接，试说明（表示面积）；
（3）轴上存在点，使得，求出此时点坐标．
24.
已知，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反．
（1）当抛物线经过点时，求抛物线的表达式；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分．
25. 解图形往往与图形的性质密切相关
（1）由已学的全等判定：可知
结论1：判定两三角形全等的必要元素是___________；
结论2：解三角形时至少需要知道一条边的原因是_____________；
（2）如图，在锐角中至少有两个锐角，始终为锐角，设长为a，请用三个角三角比和a的代数式表示的周长；
（3）在解各种形状的梯形的过程中，我们最多需要______个条件，最少需要______个条件，最少条件时需要知道的元素可以为_________．
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；
如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．
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