四川省遂宁中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

这是一份四川省遂宁中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题，共9页。

试卷满分：150分 考试时间：120分钟
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设z＝2+i1+i2+i5，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i
2．sin 70°sin 40°－sin 50°cs 110°＝( )
A．12 B．－12 C．32 D．－32
3．函数y＝x-1·ln (2－x)的定义域为( )
A．(1，2) B．[1，2) C．(1，2] D．[1，2]
4．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α B．若m∥α，β⊥α，则m∥β
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥β，则α∥β
5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为a，众数为b，平均值为c，则( )
a＝b＝c B．a＝b＜c C．a＜b＜c D．b＜a＜c
6．已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cs 〈a＋b，a－b〉＝( )
A．117 B．1717 C．55 D．255
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，G为EF的中点，则DG＝( )
A．12AD－12AB B．12AB－12AD C．34AD－12AB D．34AB－12AD
8．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(7≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x B．y＝|x|＋1 C．y＝x23 D．y＝－1x
10．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫做集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列解析正确的是( )
A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}
B．如果A－B＝∅，那么A⊆B
C．已知全集、集合A、集合B关系如图中所示，则B－A＝A∩(∁UB)
D．已知A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|－2≤x<4}，则A－B＝{x|x<－2或x≥4}
11．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB＝2，AA1＝2，E，F分别为AB，BC的中点．则( )
A．A1E⊥DF B．点A1，E，F，C1四点共面
C．直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为2
D．三棱锥E-C1DF的体积为22
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
13．如果用半径R＝23的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．
14.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60 m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（13分）
(1)计算：278-13＋lg23·lg34＋lg 2＋lg 50；
(2)已知tan α＝2，求cs 3π2+α·cs (π－α)的值．
（15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数；
(2)已知落在[50，60)的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2.
17．（15分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D为棱BC的中点．(1)证明：A1C∥平面AB1D；(2)求点A1到平面AB1D的距离．
18.（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(1+cs A，sin B )，n＝3a，b且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC的中点，AD＝1，求△ABC面积的最大值．
19.（17分）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足：p(t)＝60-t-102，5≤t<10，60，10≤t≤20， 其中t∈N．
(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；
(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝6pt+24t－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
遂宁中学介福校区高2026届（高二上）
入学考试数学试卷答案
1．B [由题意可得z＝2+i1+i2+i5＝2+i1-1+i＝i2+ii2＝2i-1-1＝1－2i，则z＝1＋2i.故选B.]
2．C [sin 50°＝sin (90°－40°)＝cs 40°；cs 110°＝cs (180°－70°)＝－cs 70°；
∴原式＝sin 70°sin 40°＋cs 40°cs 70°＝cs (70°－40°)＝cs 30°＝32．故选C．]
B [要使函数有意义，则x-1≥0，2-x>0，解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1，2)．
4．C [若m∥α，不妨设m在α内的投影为m′，则m∥m′，对于选项A：若m∥α，m⊥n，则n⊥m′，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直α，故A错误；
对于选项B：若m∥α，β⊥α，此时m与β可能相交、平行或m在β上，故B错误；对于选项C：若m∥α，n⊥α，则n⊥m′，从而m⊥n，故C正确；对于选项D：若m∥α，m⊥β，则m′⊥β，结合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D错误．故选C.]
5．D [由统计图知众数b＝5.将30名学生得分从小到大排列，第15个数是5，第16个数是6，所以中位数a＝5+62＝5.5.又平均值c＝6+12+50+36+21+16+18+2030≈5.97.所以b＜a＜c.]
6．B [因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，则|a＋b|＝52+32＝34，|a－b|＝1+1＝2，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cs 〈a＋b，a－b〉＝a+b·a-ba+ba-b＝234×2＝1717.故选B．]
7．B [DG＝12DE＋12DF＝12(DA+AE)＋12·34DC＝12(－AD＋14AB)＋38AB＝12AB－12AD.故选B.
C [依题意可知棱台的高为MN＝157.5－148.5＝9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台下底面积S＝140.0 km2＝140×106m2，上底面积S′＝180.0 km2＝180×106m2，∴V＝13h(S＋S′＋SS')＝13×9×(140×106＋180×106＋140×180×1012)＝3×(320＋607)×106≈(96＋18×2.65)×107＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.]
9．BC [对于A，y＝x是奇函数，故不符合题意；
对于B，y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
对于C，y＝x23是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
对于D，y＝－1x是奇函数，不符合题意．]
10．BD [对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，故B－A＝{3，8}，错误；
对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则A－B＝∅，故A⊆B，正确；
对于C，由Venn图知：B－A如图阴影部分，所以B－A＝B∩(∁UA)，错误；
对于D，∁RB＝{x|x<－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x<－2或x≥4}，正确．
故选BD.]
11．BCD [对于A，假设A1E⊥DF，由题意知BC⊥平面AA1B1B，A1E⊂平面AA1B1B，∴A1E⊥BC，又BC∩DF＝F，∴A1E⊥平面ABCD，由长方体性质知A1E与平面ABCD不垂直，故假设不成立，故A错误；
对于B，连接EF，AC，A1C1，由于E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又因为长方体ABCD-A1B1C1D1，知A1C1∥AC，∴EF∥A1C1，所以点A1，E，F，C1四点共面，故B正确；
对于C，由题意可知DC⊥平面BB1C1C，
∴∠DC1C为直线C1D与平面BB1C1C所成角，在Rt△DCC1中，CC1＝2，CD＝2，则tan ∠DC1C＝DCC1C＝22＝2，故C正确；对于D，连接DE，C1E，∵AB＝AD＝2，则S△DEF＝S□ABCD－S△ADE－S△BEF－S△CDF＝2×2－12×2×1－12×1×1－12×1×2＝32，利用等体积法知：VE-C1DF＝VC1-DEF＝13·S△DEF·CC1＝13×32×2＝22，故D正确．故选BCD.]
12.充分不必要 [由于A＝{x|0＜x＜1}，所以AB，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．]
13．3 [设圆锥筒的底面半径为r，则2πr＝πR＝23π，则r＝3，
所以圆锥筒的高h＝R2-r2＝232-32＝3.]
14．30 [如图所示，设水柱CD的高度为h，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h，∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵B，A，C在同一水平面上，
∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝3h，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cs 60°，
∴3h2＝h2＋602－2×60×h×12，即h2＋30h－1800＝0，解得h＝30.
∴水柱的高度是30 m．
15．[解] (1)278-13＋lg23·lg34＋lg 2＋lg 50＝323-13＋lg23×2lg32＋lg 100＝23＋2＋2＝143． (2)cs 3π2+α·cs (π－α)＝sin α·(－cs α)＝-sinαcsαsin2α+cs2α＝-tanαtan2α+1＝－25．
16.[解] (1)∵每组小矩形的面积之和为1，
∴(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030.
成绩落在[40，80)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65.
落在[40，90)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9.
设第80百分位数为m，由0.65＋(m－80)×0.025＝0.80，得m＝86，
故第80百分位数为86.设平均数为x，由图中数据可知：x＝10×(45×0.005＋55×0.010＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.025＋95×0.010)＝74.
(2)由图可知，成绩在[50，60)的市民人数为100×0.1＝10，
成绩在[60，70)的市民人数为100×0.2＝20.故z＝10×56+65×2010+20＝62，
s2＝110+20[10×(56－62)2＋10×7＋20×(65－62)2＋20×4]＝23.
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23.
17[解] (1)证明：连接A1B交AB1于O，连接OD，
正三棱柱ABC-A1B1C1中，易得O为AB1中点，又D为BC的中点，所以OD∥A1C.
因为A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D.
(2)因为A1C∥平面AB1D，所以C与A1到平面AB1D的距离相等，
由题意得AB1＝22，DB1＝5，AD＝3，因为AD2+DB1 2 ＝ AB1 2，所以AD⊥DB1，
所以S△ADB1＝12×3×5＝152，S△ADC＝12×1×3＝32，设C到平面ADB1的距离为h，则VC-ADB1＝VB1-ACD，所以13×152h＝13×32×2，所以h＝255，即点A1到平面AB1D的距离为255.
18．[解] (1)由m＝1+csA，sinB，n＝3a，b且m∥n，
得1+csAb＝3a sin B，由正弦定理得1+csAsin B＝3sin A sin B，
∵B∈0，π，∴sin B≠0，∴1＋cs A＝3sin A，∴2sin A-π6＝1，
又∵A∈0，π，A－π6∈-π6，5π6，∴A－π6＝π6，即A＝π3.
(2)由AD＝12AB+AC，得到AD2＝14AB2+AC2+2AB·AC，则4＝b2＋c2＋2bc cs ∠BAC，化简得b2＋c2＝4－bc≥2bc，∴bc≤43，当且仅当b＝c时，等号成立，∴S△ABC＝12bc sin A≤12×43×32＝33，即△ABC面积的最大值为33.
19[解] (1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．
(2)∵y＝6pt+24t－10，∴当5≤t<10时，y＝360-6t-102+24t－10＝110－6t+216t，
任取5≤t1＝6(t2－t1)＋216t2-216t1＝6(t2－t1)＋216t1-t2t1t2＝6t2-t1t1t2-36t1t2，
∵5≤t10，25∴函数y＝110－6t+216t在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间(6，10)上单调递减，∴当t＝6时，y取得最大值38；
当10≤t≤20时，y＝6×60+24t－10＝384t－10，该函数在区间[10，20]上单调递减，
则当t＝10时，y取得最大值28.4．
综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．