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2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第1讲 直线的方程
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这是一份2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第1讲 直线的方程，共12页。
学生用书P169
1.直线的倾斜角与斜率
2.直线方程的五种形式
注意 （1）当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n.
（2）截距是指直线与坐标轴交点的坐标值，可正，可负，可零.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.直线的倾斜角越大，其斜率越大
B.若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C.经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示
D.截距可以为负值
解析 对于A，倾斜角为钝角的直线的斜率为负值，故A错误；对于B，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如直线y＝x的斜率为tan 5π4，它的倾斜角为π4，B错误；对于C，当经过定点P（x0，y0）的直线与x轴垂直时，斜率不存在，故C错误；对于D，截距可以取正数、负数或零，所以D正确.
2.[易错题]已知直线l：xtan 60°＋y－3＝0，则直线l的倾斜角α为（ C ）
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析 ∵xtan 60°＋y－3＝0，∴y＝－xtan 60°＋3＝xtan 120°＋3，故直线l的倾斜角是120°，故选C.
3.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（ D ）
A.x－y＋1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0D.x＋y＋1＝0
解析 ∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于－1，∵在y轴上的截距是－1，由直线方程的斜截式得：y＝－1×x－1，即x＋y＋1＝0，故选D.
4.[多选]如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ AD ）
A.k1＜k3＜k2B.k3＜k2＜k1
C.α1＜α3＜α2D.α3＜α2＜α1
解析 由题图知，k2＞k3＞0，k1＜0，故π2＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，故选AD.
5.[教材改编]经过A（0，3），B（－2，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为 32 .
解析 由题意可得k＝32.
6.[易错题]已知点A（3，4），则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 4x－3y＝0或x＋y－7＝0 .
解析 设直线在x轴、y轴上的截距均为a.（讨论截距是否为0）
①若a＝0，即直线过点（0，0）及（3，4），
则直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0；
②若a≠0，设所求直线的方程为xa＋ya＝1，
又点（3，4）在直线上，所以3a＋4a＝1，所以a＝7.
所以直线的方程为x＋y－7＝0.
综上可知，所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.
学生用书P170
命题点1 直线的倾斜角与斜率
例1 （1）直线2xcs α－y－3＝0（α∈[π6，π3]）的倾斜角的取值范围是（ B ）
A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3]
解析 直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，因为α∈[π6，π3]，所以12≤cs α≤32，因此k＝2cs α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].又θ∈[0，π），所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的取值范围是[π4，π3].故选B.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ D ）
图1图2
B.0.8D.0.9
解析 如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以tan∠AOA2＝AA2OA2＝0.5OD1＋k1DC1＋k2CB1＋k3BA14OD1＝0.5+k1＋k2＋k34＝0.5+k3－0.2+k3－0.1+k34＝0.725，解得k3＝0.9，故选D.
方法技巧
1.直线斜率的求解方法
（1）定义法：k＝tan α（α为直线的倾斜角，且α≠π2）；（2）公式法：k＝y2－y1x2－x1 （（x1，y1），（x2，y2）为直线上两点，且x1≠x2）.
2.直线斜率与倾斜角之间的关系往往借助正切函数在[0，π）上的图象判断，注意正切函数在[0，π）上不单调，要注意分类讨论.
训练1 （1）已知点A（－1，1），B（1，2），C（0，－1），过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ C ）
A. [－2，3]B. [－2，0）∪（0，3]
C. （－∞，－2]∪[3，＋∞）D.以上都不对
解析 如图所示，∵过点C的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kBC或k≤kAC，又kBC＝2－（－1）1－0＝3，kAC＝1－（－1）－1－0＝－2，∴k≥3或k≤－2，∴直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－2]∪[3，＋∞），故选C.
（2）直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ B ）
A.[0，π4]B.[3π4，π）
C.[0，π4]∪（π2，π]D.[π4，π2）∪[3π4，π）
解析 因为a2＋1≠0，所以直线的斜率k＝－1a2+1，设直线的倾斜角为α，则tanα=-1a2+1，所以－1≤tan α＜0，所以3π4≤α＜π，故选B.
命题点2 求直线的方程
例2 （1）已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是（ D ）
A.x＋y－3＝0B.x－3y－2＝0
C.3x－y＋6＝0D.3x＋y－6＝0
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k'＝tan（α＋π4）＝2+11－2×1＝－3，又由题意得点M（2，0），
所以所求直线方程为y＝－3（x－2），即3x＋y－6＝0，故选D.
（2）已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积最小时，直线l的方程为 2x＋3y－12＝0 .
解析 解法一 设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），则直线l的方程为xa＋yb＝1.因为l过点P（3，2），所以3a＋2b＝1.因为1＝3a＋2b≥26ab，整理得ab≥24，所以S△ABO＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b，即a＝6，b＝4时取等号.此时直线l的方程是x6＋y4＝1，即2x+3y-12=0.
解法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，则直线l的方程为y－2＝k（x－3），则A（3－2k，0），B（0，2－3k），
S△ABO＝12（2－3k）（3－2k）＝12[12＋（－9k）＋4－k]≥12[12＋2（－9k）·4－k ]＝12×12+12=12，
当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23（正值舍去）时，等号成立.
所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
方法技巧
求直线方程的两种方法
训练2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（4，7），若点C满足OC＝αOA＋βOB（α，β∈R，且α＋β＝1），则点C的轨迹方程为 5x－3y＋1＝0 .
解析 ∵点C满足OC＝αOA＋βOB（α，β∈R，且α＋β＝1），∴OC=αOA+1－αOB=αOA－OB+OB，∴OC－OB＝α（OA－OB），∴BC＝αBA，由共线向量基本定理可知，A，B，C三点共线，∴点C的轨迹为直线AB，
又A（1，2），B（4，7），∴直线AB的方程为y－27－2＝x－14－1，整理得5x－3y＋1＝0，故点C的轨迹方程为5x－3y＋1＝0.
命题点3 直线方程的综合应用
例3 （1）已知点A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x－y的最大值为（ C ）
A.－1B.3C.7D.8
解析 依题意得kAB＝5－12－4＝－2，则线段lAB：y－1＝－2（x－4），x∈[2，4]，即y=-2x+9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－（－2x＋9）＝4x－9，x∈[2，4].设h（x）＝4x－9，x∈[2，4]，易知h（x）＝4x－9在[2，4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max =4×4－9=7.
（2）已知直线l的方程为（a＋1）x＋y＋3－a＝0（a∈R），则直线l过定点 （1，
－4） ；若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是 [3，＋∞） .
解析 直线l：（a＋1）x＋y＋3－a＝0可化为a（x－1）＋x＋y＋3＝0，令x－1=0，x＋y+3=0，解得x=1，y＝－4，∴直线l过定点（1，－4）.∵直线l的方程可化为y=-a+1x+a-3，且直线l不经过第三象限，∴－（a+1）<0，a－3≥0，解得a≥3.
方法技巧
1.与直线有关的范围问题要注意借助函数或者不等式求解.
2.直线方程含参数时，注意判断直线是否过定点或者斜率是否为定值.
训练3 （1）[2024广东深圳模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（a，b）到两直线l1：y＝2x与l2：y＝－12x＋1的距离之和为5，则ba+5的取值范围是 [-311,917] .
解析 直线l1：y＝2x与l2：y＝－12x＋1的方程化为一般式分别为l1：2x－y＝0，l2:x+2y-2=0，所以点P（a，b）到两直线的距离之和为｜2a－b｜5＋｜a+2b－2｜5＝5，即2a-b+a+2b-2=5 ①.
当2a－b≥0，a+2b－2≥0时，①式变形为3a＋b＝7；当2a－b≥0，a+2b－2<0时，①式变形为a－3b＝3；当2a－b<0，a+2b－2≥0时，①式变形为－a＋3b＝7；当2a－b<0，a+2b－2<0时，①式变形为－3a－b＝3.则动点P（a，b）的轨迹为如图所示的正方形ABCD，ba+5的几何意义为正方形边上任意一点与E（－5，0）连线的斜率.计算得C（－35，－65），D（－85，95），kCE＝－311，kDE＝917，所以ba+5的取值范围是[－311，917].
（2）[2023长春模拟]已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则｜PA｜＋｜PB｜的最大值为 26 .
解析 直线l1：x－my＋1＝0过定点A（－1，0）；直线l2的方程可化为mx-1+y+3=0，令x＝1，得y＝－3，所以直线l2过定点B（1，－3）.因为1·m－m·1＝0，所以l1⊥l2.
因为l1与l2相交于点P，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝（－1－1）2＋（0＋3）2＝13.
因为｜PA｜2＋｜PB｜22≥（｜PA｜＋｜PB｜2）2，所以｜PA｜＋｜PB｜≤26，当且仅当PA=PB=262时等号成立.
1.[命题点1/与函数综合]函数f（x）＝csx2+sinx的值域为 [-33,33] .
解析 csx2+sinx可看作点A（2，0）和点B（－sin x，－cs x）连线的斜率，易得点B在圆O：x2＋y2＝1上，作出图象如图所示.设过点A的直线分别与圆O相切于点C，D，连接OC，OD，则由OD=OC=1=OA=2易得∠OAD＝∠OAC＝30°，所以kAC＝33，kAD＝－33，所以函数f（x）的值域为[－33，33].
2.[命题点2]过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为 4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0 .
解析 由题设知，直线在x轴、y轴上的截距均不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，
又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9，故直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
3.[命题点2]已知两条不重合的直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0都过点A（2，1），则过点P1（a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程是（ A ）
A.2x＋y＋1＝0B.2x－y＋1＝0
C.2x＋y－1＝0D.x＋2y＋1＝0
解析 把A（2，1）代入直线l1和l2的方程，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，则2（a1－a2）＝b2－b1.又过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程是y－b1b2－b1＝x－a1a2－a1，∴y－b1=-2(x－a1)，即2x＋y－（2a1＋b1）＝0，∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1，∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0.故选A.
4.[命题点2，3/2024四川内江模拟]已知直线l：（m＋1）x＋（m－3）y＋2m＋10＝0（m∈R）.
（1）求证：直线l与直线3x＋7y－2＝0总相交.
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
解析 （1）直线l可变形为m（x＋y＋2）＋x－3y＋10＝0，令x＋y+2=0，x－3y+10=0，解得x＝－4，y=2，
故直线l恒过点（－4，2），
又3×（－4）＋7×2－2＝0，
故点（－4，2）在直线3x＋7y－2＝0上，
故直线l与直线3x＋7y－2＝0总相交.
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，则直线l的斜率存在且大于0，
故－m+1m－3＞0，解得－1＜m＜3.
在（m＋1）x＋（m－3）y＋2m＋10＝0（m∈R）中，
令y＝0，得x＝－2m+10m+1；
令x＝0，得y＝－2m+10m－3.
则S＝12×2m+10m+1×（－2m+10m－3）＝－2（m+5）2（m+1)(m－3），令m＋5＝t∈（4，8），则S=-2t2（t－4)(t－8）=-2t2t2－12t+32=-232t2－12t+1=-232（1t－316）2－18，
因为1t∈（18，14），
所以当1t＝316时，S取得最小值，最小值为16，
此时m＋5＝163，m＝13，直线l的方程为x－2y＋8＝0.
学生用书·练习帮P348
1.[2024江苏南京联考]过两点A（3，y），B（2，0）的直线的倾斜角为120°，则y＝（ D ）
A.33B.3C.－33D.－3
解析 设直线斜率为k，则k＝tan 120°＝y－03－2＝y＝－3，故选D.
2.已知点A（－2，3）和B（4，2），若直线l：x＋my＋m－1＝0与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ C ）
A.（－∞，－1）∪（34，＋∞）
B.（－1，34）
C.[－1，34]
D.（－∞，－1）∪[34，＋∞）
解析 如图，直线l：x＋my＋m－1＝0恒过定点P（1，－1），kAP＝－43， kBP＝1.当m＝0时，直线l的方程为x＝1，与线段AB有交点，符合题意；当m≠0时，直线l的斜率为－1m，则－1m≥1或-1m≤－43，解得－1≤m＜0或0＜m≤34.综上，m∈[－1，34]，故选C.
3.[2024四川成都七中段考]若直线l的方程为6x－6ycs β＋13＝0，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ D ）
A.[0，π]B.[π4，π2]
C.[π4，π2）∪（π2，3π4）D.[π4，3π4]
解析 当cs β＝0时，l的方程为6x＋13＝0，直线l的倾斜角α＝π2；当cs β≠0时，由直线方程可得斜率k＝1csβ＝tan α，∵cs β∈[－1，1]，且cs β≠0，∴tan α∈(-∞，－1]∪[1,+∞)，又α∈[0，π），∴α∈[π4，π2）∪（π2，3π4].综上，倾斜角α的取值范围是[π4，3π4].故选D.
4.[2024贵州联考]若直线l：（a－2）x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则实数a的取值范围为（ C ）
A.（－∞，0）∪（2，＋∞）B.（－∞，0）∪[2，＋∞）
C.（－∞，0）∪（32，＋∞）D.（－∞，0）∪[32，＋∞）
解析 若a＝0，则l的方程为x＝－32，不经过第四象限.若a＝2，则l的方程为y＝－12，经过第四象限.若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－a－2ax－2a－3a，因为l经过第四象限，所以－a－2a＜0或－a－2a>0，－2a－3a<0，解得a＜0或32＜a＜2或a＞2.综上，a的取值范围为(-∞，0)∪(32，+∞)，故选C.
5.[2023山西模拟]将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，0），C（0，1），将矩形纸片折叠，使点O落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是（ D ）
A.[0，1]B.[0，2]C.[－1，0）D.[－2，0]
解析 要想折叠后使点O落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使点O与点D重合，如图.因为kOD≥kOB＝12，且k=-1kOD，所以－2≤k＜0.
又当折叠后点O与点C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，
所以实数k的取值范围是[－2，0].
6.[2024广东佛山容山中学校考]已知直线l的斜率小于0，且l经过点P（6，8），并与坐标轴分别交于A，B两点，C（4，0），当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为（ C ）
A.－33B.－354C.－433D.－324
解析 由题意可设直线l：y＝kx＋b（k＜0），将点P的坐标代入，得8＝6k＋b，则b＝8－6k，则y＝kx＋8－6k（k＜0）.不妨设A在x轴上，则A（6－8k，0），B（0，8－6k）.
记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－8k，8－6k，所以△ABC的面积S＝12（6－8k－4）（8－6k）＝12（64－64k－12k）≥12×（64＋2×64×12）＝32＋163，当且仅当－64k＝－12k（k＜0），即k＝－433时等号成立.故选C.
7.[多选/2024黑龙江牡丹江段考]已知直线l过点P（4，5），且直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为（ ABC ）
A.5x－4y＝0B.x－y＋1＝0
C.x＋y－9＝0D.x＋y＋1＝0
解析 当直线l过原点时，设直线方程为y＝kx，又直线过点P（4，5），则直线l的方程为y＝54x，即5x－4y＝0，故A正确；
当直线l不过原点，且在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为xa＋ya＝1，又直线过点P(4，5)，则9a＝1，得a＝9，则直线l的方程为x＋y－9＝0，故C正确；
当直线l不过原点，且在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为xb－yb＝1，又直线过点P（4，5），则－1b＝1，得b＝－1，则直线l的方程为x－y＋1＝0，故B正确.故选ABC.
8.[多选]已知直线l：（t＋2）x＋（t－1）y＋3＝0，则下列结论正确的是（ ACD ）
A.直线l的斜率可以等于0
B.直线l的斜率一定存在
C.当t＝－12时，直线l的倾斜角为π4
D.点P（1，3）到直线l的最大距离为22
解析 对于A，当t＝－2时，直线l的斜率为0，故A正确；对于B， 当t＝1时，直线l的斜率不存在，故B错误；对于C，当t＝－12时，直线l：32x－32y＋3＝0，即y＝x＋2，斜率为1，倾斜角为π4，故C正确；对于D，直线l：（t＋2）x＋（t－1）y＋3＝0，即2x-y+3+tx+y=0，恒过2x－y＋3＝0和x＋y＝0的交点M（－1，1），易知点P（1，3）到直线l的最大距离为｜PM｜＝（1+1）2＋（3－1）2＝22，故D正确.
9.已知直线l的斜率为16，且与两坐标轴围成面积为3的三角形，则l的斜截式方程为 y=16x+1或y=16x-1 .
解析 设直线l的方程为y＝16x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－6b，所以12｜b｜·｜－6b｜＝3，即b2＝1，所以b＝±1.故所求直线方程为y＝16x＋1或y＝16x－1.
10.已知点M（x，y）是函数y＝－2x＋8图象上的一点，则当x∈[2，5]时，y+1x+1的取值范围为 [-16,53] .
解析 y+1x+1＝y－（－1）x－（－1）的几何意义是过M（x，y），N（－1，－1）两点的直线的斜率.设A（2，4），B（5，－2），因为点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2，5]，所以点M在线段AB上.因为kNA＝53，kNB＝－16，所以－16≤y+1x+1≤53.
11.若直线l与曲线y＝x和圆x2＋y2＝15都相切，则l的方程为（ D ）
A.y＝2x＋1B.y＝2x＋12
C.y＝12x＋1D.y＝12x＋12
解析 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则｜b｜k2+1＝55 ①，设直线l与曲线y＝x的切点坐标为（x0，x0）（x0＞0），则y'｜x＝x0＝12x0－12＝k ②，x0=kx0+b ③，由②③可得b＝12x0，将b＝12x0，k＝12x0－12代入①得x0＝1或 x0＝－15（舍去），所以k＝b＝12，故直线l的方程为y＝12x＋12.
12.[多选/2024江西宜春丰城中学月考]已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则直线l的倾斜角可能为（ BD ）
A.0B.π4C.π2D.3π4
解析 将点A（－2，－1）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝－1，再将点B（2，2）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝1，∴点A，B不可能同时在直线l上，又｜AB｜＝（－2－2）2＋（－1－2）2＝5，且PA+PB=5，∴点P的轨迹为线段AB，即直线l与线段AB恒有交点.又直线l：2ax－2y＋3a－3＝a（2x＋3）＋（－2y－3）＝0，∴直线l恒过定点C(-32，-32)，作出示意图如图所示，此时kAC＝－1+32－2+32＝－1，kBC＝2+322+32＝1，故直线l的斜率的取值范围为（－∞，－1]∪[1，＋∞），且直线l的斜率存在，故直线l的倾斜角的取值范围为[π4，π2）∪（π2，3π4]，故选BD.
13.[情境创新]1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ C ）
A.0°B.1°C.2°D.3°
解析 因为O，O3都为五角星的中心点，所以OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的每个内角均为36°，可知∠BAO3＝18°.过A作x轴的平行线AE（E在点A右侧），则∠EAO3＝α≈16°，所以直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°，故选C.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.
3.能用直线方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
直线的倾斜角与斜率
2022新高考卷ⅠT21；2022新高考卷ⅡT3
直线是解析几何中最基本的内容，一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，难度不大；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查，难度偏大.
求直线的方程
2020全国卷ⅠT11；2020全国卷ⅢT10
直线方程的综合应用
直线的倾斜角
直线的斜率
定义
定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l① 向上 的方向之间所成的角 α叫做直线l的倾斜角.
规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为② 0° .
（1）定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即③ k＝tanα （α≠π2）.
（2）坐标式：a.如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠ x2），其斜率公式为④ kP1P2=y2-y1x2-x1 .
b.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则k＝⑤ yx （x≠0）.
区别
（1）直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角是⑥ π2 ；（2）倾斜角的取值范围为⑦ [0，π） .
（1）直线l垂直于x轴时，直线l的斜率⑧ 不存在 ；
（2）斜率k的取值范围为⑨ R .
联系
如图，当直线l的倾斜角α∈[0，π2）时，α越大，直线l的斜率k越⑩ 大 ；
当α∈（π2，π）时，α越大，直线l的斜率k越⑪ 大 .
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
y＝kx＋b
k是直线的斜率；b是直线在y轴上的截距.
与x轴不垂直的直线.
点斜式
⑫ y－y0＝k（x－x0）
点（x0，y0）是直线上的已知点；k是斜率.
两点式
y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1
（x1≠x2，y1≠y2）
点（x1，y1），（x2，y2）是直线上的两个已知点.
与两坐标轴均不垂直的直线.
截距式
⑬ xa+yb=1
a是直线在x轴上的截距；
b是直线在y轴上的截距.
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线.
一般式
Ax＋By＋C＝0
（A2＋B2≠0）
当A≠0，B＝0时，－CA是直线的横截距；
当A≠0，B≠0时，－AB，－CA，－CB分别为直线的斜率、在x轴上的截距、在y轴上的截距.
所有直线.
直接法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程.
待定系数法
先设所求直线方程的恰当形式，再由题设条件列方程（组），求出待定系数.
学生用书P169
1.直线的倾斜角与斜率
2.直线方程的五种形式
注意 （1）当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n.
（2）截距是指直线与坐标轴交点的坐标值，可正，可负，可零.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.直线的倾斜角越大，其斜率越大
B.若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C.经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示
D.截距可以为负值
解析 对于A，倾斜角为钝角的直线的斜率为负值，故A错误；对于B，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如直线y＝x的斜率为tan 5π4，它的倾斜角为π4，B错误；对于C，当经过定点P（x0，y0）的直线与x轴垂直时，斜率不存在，故C错误；对于D，截距可以取正数、负数或零，所以D正确.
2.[易错题]已知直线l：xtan 60°＋y－3＝0，则直线l的倾斜角α为（ C ）
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析 ∵xtan 60°＋y－3＝0，∴y＝－xtan 60°＋3＝xtan 120°＋3，故直线l的倾斜角是120°，故选C.
3.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（ D ）
A.x－y＋1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0D.x＋y＋1＝0
解析 ∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于－1，∵在y轴上的截距是－1，由直线方程的斜截式得：y＝－1×x－1，即x＋y＋1＝0，故选D.
4.[多选]如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ AD ）
A.k1＜k3＜k2B.k3＜k2＜k1
C.α1＜α3＜α2D.α3＜α2＜α1
解析 由题图知，k2＞k3＞0，k1＜0，故π2＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，故选AD.
5.[教材改编]经过A（0，3），B（－2，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为 32 .
解析 由题意可得k＝32.
6.[易错题]已知点A（3，4），则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 4x－3y＝0或x＋y－7＝0 .
解析 设直线在x轴、y轴上的截距均为a.（讨论截距是否为0）
①若a＝0，即直线过点（0，0）及（3，4），
则直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0；
②若a≠0，设所求直线的方程为xa＋ya＝1，
又点（3，4）在直线上，所以3a＋4a＝1，所以a＝7.
所以直线的方程为x＋y－7＝0.
综上可知，所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.
学生用书P170
命题点1 直线的倾斜角与斜率
例1 （1）直线2xcs α－y－3＝0（α∈[π6，π3]）的倾斜角的取值范围是（ B ）
A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3]
解析 直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，因为α∈[π6，π3]，所以12≤cs α≤32，因此k＝2cs α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].又θ∈[0，π），所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的取值范围是[π4，π3].故选B.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ D ）
图1图2
B.0.8D.0.9
解析 如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以tan∠AOA2＝AA2OA2＝0.5OD1＋k1DC1＋k2CB1＋k3BA14OD1＝0.5+k1＋k2＋k34＝0.5+k3－0.2+k3－0.1+k34＝0.725，解得k3＝0.9，故选D.
方法技巧
1.直线斜率的求解方法
（1）定义法：k＝tan α（α为直线的倾斜角，且α≠π2）；（2）公式法：k＝y2－y1x2－x1 （（x1，y1），（x2，y2）为直线上两点，且x1≠x2）.
2.直线斜率与倾斜角之间的关系往往借助正切函数在[0，π）上的图象判断，注意正切函数在[0，π）上不单调，要注意分类讨论.
训练1 （1）已知点A（－1，1），B（1，2），C（0，－1），过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ C ）
A. [－2，3]B. [－2，0）∪（0，3]
C. （－∞，－2]∪[3，＋∞）D.以上都不对
解析 如图所示，∵过点C的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kBC或k≤kAC，又kBC＝2－（－1）1－0＝3，kAC＝1－（－1）－1－0＝－2，∴k≥3或k≤－2，∴直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－2]∪[3，＋∞），故选C.
（2）直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ B ）
A.[0，π4]B.[3π4，π）
C.[0，π4]∪（π2，π]D.[π4，π2）∪[3π4，π）
解析 因为a2＋1≠0，所以直线的斜率k＝－1a2+1，设直线的倾斜角为α，则tanα=-1a2+1，所以－1≤tan α＜0，所以3π4≤α＜π，故选B.
命题点2 求直线的方程
例2 （1）已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是（ D ）
A.x＋y－3＝0B.x－3y－2＝0
C.3x－y＋6＝0D.3x＋y－6＝0
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k'＝tan（α＋π4）＝2+11－2×1＝－3，又由题意得点M（2，0），
所以所求直线方程为y＝－3（x－2），即3x＋y－6＝0，故选D.
（2）已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积最小时，直线l的方程为 2x＋3y－12＝0 .
解析 解法一 设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），则直线l的方程为xa＋yb＝1.因为l过点P（3，2），所以3a＋2b＝1.因为1＝3a＋2b≥26ab，整理得ab≥24，所以S△ABO＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b，即a＝6，b＝4时取等号.此时直线l的方程是x6＋y4＝1，即2x+3y-12=0.
解法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，则直线l的方程为y－2＝k（x－3），则A（3－2k，0），B（0，2－3k），
S△ABO＝12（2－3k）（3－2k）＝12[12＋（－9k）＋4－k]≥12[12＋2（－9k）·4－k ]＝12×12+12=12，
当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23（正值舍去）时，等号成立.
所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
方法技巧
求直线方程的两种方法
训练2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（4，7），若点C满足OC＝αOA＋βOB（α，β∈R，且α＋β＝1），则点C的轨迹方程为 5x－3y＋1＝0 .
解析 ∵点C满足OC＝αOA＋βOB（α，β∈R，且α＋β＝1），∴OC=αOA+1－αOB=αOA－OB+OB，∴OC－OB＝α（OA－OB），∴BC＝αBA，由共线向量基本定理可知，A，B，C三点共线，∴点C的轨迹为直线AB，
又A（1，2），B（4，7），∴直线AB的方程为y－27－2＝x－14－1，整理得5x－3y＋1＝0，故点C的轨迹方程为5x－3y＋1＝0.
命题点3 直线方程的综合应用
例3 （1）已知点A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x－y的最大值为（ C ）
A.－1B.3C.7D.8
解析 依题意得kAB＝5－12－4＝－2，则线段lAB：y－1＝－2（x－4），x∈[2，4]，即y=-2x+9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－（－2x＋9）＝4x－9，x∈[2，4].设h（x）＝4x－9，x∈[2，4]，易知h（x）＝4x－9在[2，4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max =4×4－9=7.
（2）已知直线l的方程为（a＋1）x＋y＋3－a＝0（a∈R），则直线l过定点 （1，
－4） ；若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是 [3，＋∞） .
解析 直线l：（a＋1）x＋y＋3－a＝0可化为a（x－1）＋x＋y＋3＝0，令x－1=0，x＋y+3=0，解得x=1，y＝－4，∴直线l过定点（1，－4）.∵直线l的方程可化为y=-a+1x+a-3，且直线l不经过第三象限，∴－（a+1）<0，a－3≥0，解得a≥3.
方法技巧
1.与直线有关的范围问题要注意借助函数或者不等式求解.
2.直线方程含参数时，注意判断直线是否过定点或者斜率是否为定值.
训练3 （1）[2024广东深圳模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（a，b）到两直线l1：y＝2x与l2：y＝－12x＋1的距离之和为5，则ba+5的取值范围是 [-311,917] .
解析 直线l1：y＝2x与l2：y＝－12x＋1的方程化为一般式分别为l1：2x－y＝0，l2:x+2y-2=0，所以点P（a，b）到两直线的距离之和为｜2a－b｜5＋｜a+2b－2｜5＝5，即2a-b+a+2b-2=5 ①.
当2a－b≥0，a+2b－2≥0时，①式变形为3a＋b＝7；当2a－b≥0，a+2b－2<0时，①式变形为a－3b＝3；当2a－b<0，a+2b－2≥0时，①式变形为－a＋3b＝7；当2a－b<0，a+2b－2<0时，①式变形为－3a－b＝3.则动点P（a，b）的轨迹为如图所示的正方形ABCD，ba+5的几何意义为正方形边上任意一点与E（－5，0）连线的斜率.计算得C（－35，－65），D（－85，95），kCE＝－311，kDE＝917，所以ba+5的取值范围是[－311，917].
（2）[2023长春模拟]已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则｜PA｜＋｜PB｜的最大值为 26 .
解析 直线l1：x－my＋1＝0过定点A（－1，0）；直线l2的方程可化为mx-1+y+3=0，令x＝1，得y＝－3，所以直线l2过定点B（1，－3）.因为1·m－m·1＝0，所以l1⊥l2.
因为l1与l2相交于点P，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝（－1－1）2＋（0＋3）2＝13.
因为｜PA｜2＋｜PB｜22≥（｜PA｜＋｜PB｜2）2，所以｜PA｜＋｜PB｜≤26，当且仅当PA=PB=262时等号成立.
1.[命题点1/与函数综合]函数f（x）＝csx2+sinx的值域为 [-33,33] .
解析 csx2+sinx可看作点A（2，0）和点B（－sin x，－cs x）连线的斜率，易得点B在圆O：x2＋y2＝1上，作出图象如图所示.设过点A的直线分别与圆O相切于点C，D，连接OC，OD，则由OD=OC=1=OA=2易得∠OAD＝∠OAC＝30°，所以kAC＝33，kAD＝－33，所以函数f（x）的值域为[－33，33].
2.[命题点2]过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为 4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0 .
解析 由题设知，直线在x轴、y轴上的截距均不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，
又直线过点（－3，4），从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9，故直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
3.[命题点2]已知两条不重合的直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0都过点A（2，1），则过点P1（a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程是（ A ）
A.2x＋y＋1＝0B.2x－y＋1＝0
C.2x＋y－1＝0D.x＋2y＋1＝0
解析 把A（2，1）代入直线l1和l2的方程，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，则2（a1－a2）＝b2－b1.又过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程是y－b1b2－b1＝x－a1a2－a1，∴y－b1=-2(x－a1)，即2x＋y－（2a1＋b1）＝0，∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1，∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0.故选A.
4.[命题点2，3/2024四川内江模拟]已知直线l：（m＋1）x＋（m－3）y＋2m＋10＝0（m∈R）.
（1）求证：直线l与直线3x＋7y－2＝0总相交.
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
解析 （1）直线l可变形为m（x＋y＋2）＋x－3y＋10＝0，令x＋y+2=0，x－3y+10=0，解得x＝－4，y=2，
故直线l恒过点（－4，2），
又3×（－4）＋7×2－2＝0，
故点（－4，2）在直线3x＋7y－2＝0上，
故直线l与直线3x＋7y－2＝0总相交.
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，则直线l的斜率存在且大于0，
故－m+1m－3＞0，解得－1＜m＜3.
在（m＋1）x＋（m－3）y＋2m＋10＝0（m∈R）中，
令y＝0，得x＝－2m+10m+1；
令x＝0，得y＝－2m+10m－3.
则S＝12×2m+10m+1×（－2m+10m－3）＝－2（m+5）2（m+1)(m－3），令m＋5＝t∈（4，8），则S=-2t2（t－4)(t－8）=-2t2t2－12t+32=-232t2－12t+1=-232（1t－316）2－18，
因为1t∈（18，14），
所以当1t＝316时，S取得最小值，最小值为16，
此时m＋5＝163，m＝13，直线l的方程为x－2y＋8＝0.
学生用书·练习帮P348
1.[2024江苏南京联考]过两点A（3，y），B（2，0）的直线的倾斜角为120°，则y＝（ D ）
A.33B.3C.－33D.－3
解析 设直线斜率为k，则k＝tan 120°＝y－03－2＝y＝－3，故选D.
2.已知点A（－2，3）和B（4，2），若直线l：x＋my＋m－1＝0与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ C ）
A.（－∞，－1）∪（34，＋∞）
B.（－1，34）
C.[－1，34]
D.（－∞，－1）∪[34，＋∞）
解析 如图，直线l：x＋my＋m－1＝0恒过定点P（1，－1），kAP＝－43， kBP＝1.当m＝0时，直线l的方程为x＝1，与线段AB有交点，符合题意；当m≠0时，直线l的斜率为－1m，则－1m≥1或-1m≤－43，解得－1≤m＜0或0＜m≤34.综上，m∈[－1，34]，故选C.
3.[2024四川成都七中段考]若直线l的方程为6x－6ycs β＋13＝0，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ D ）
A.[0，π]B.[π4，π2]
C.[π4，π2）∪（π2，3π4）D.[π4，3π4]
解析 当cs β＝0时，l的方程为6x＋13＝0，直线l的倾斜角α＝π2；当cs β≠0时，由直线方程可得斜率k＝1csβ＝tan α，∵cs β∈[－1，1]，且cs β≠0，∴tan α∈(-∞，－1]∪[1,+∞)，又α∈[0，π），∴α∈[π4，π2）∪（π2，3π4].综上，倾斜角α的取值范围是[π4，3π4].故选D.
4.[2024贵州联考]若直线l：（a－2）x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则实数a的取值范围为（ C ）
A.（－∞，0）∪（2，＋∞）B.（－∞，0）∪[2，＋∞）
C.（－∞，0）∪（32，＋∞）D.（－∞，0）∪[32，＋∞）
解析 若a＝0，则l的方程为x＝－32，不经过第四象限.若a＝2，则l的方程为y＝－12，经过第四象限.若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－a－2ax－2a－3a，因为l经过第四象限，所以－a－2a＜0或－a－2a>0，－2a－3a<0，解得a＜0或32＜a＜2或a＞2.综上，a的取值范围为(-∞，0)∪(32，+∞)，故选C.
5.[2023山西模拟]将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，0），C（0，1），将矩形纸片折叠，使点O落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是（ D ）
A.[0，1]B.[0，2]C.[－1，0）D.[－2，0]
解析 要想折叠后使点O落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使点O与点D重合，如图.因为kOD≥kOB＝12，且k=-1kOD，所以－2≤k＜0.
又当折叠后点O与点C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，
所以实数k的取值范围是[－2，0].
6.[2024广东佛山容山中学校考]已知直线l的斜率小于0，且l经过点P（6，8），并与坐标轴分别交于A，B两点，C（4，0），当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为（ C ）
A.－33B.－354C.－433D.－324
解析 由题意可设直线l：y＝kx＋b（k＜0），将点P的坐标代入，得8＝6k＋b，则b＝8－6k，则y＝kx＋8－6k（k＜0）.不妨设A在x轴上，则A（6－8k，0），B（0，8－6k）.
记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－8k，8－6k，所以△ABC的面积S＝12（6－8k－4）（8－6k）＝12（64－64k－12k）≥12×（64＋2×64×12）＝32＋163，当且仅当－64k＝－12k（k＜0），即k＝－433时等号成立.故选C.
7.[多选/2024黑龙江牡丹江段考]已知直线l过点P（4，5），且直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为（ ABC ）
A.5x－4y＝0B.x－y＋1＝0
C.x＋y－9＝0D.x＋y＋1＝0
解析 当直线l过原点时，设直线方程为y＝kx，又直线过点P（4，5），则直线l的方程为y＝54x，即5x－4y＝0，故A正确；
当直线l不过原点，且在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为xa＋ya＝1，又直线过点P(4，5)，则9a＝1，得a＝9，则直线l的方程为x＋y－9＝0，故C正确；
当直线l不过原点，且在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为xb－yb＝1，又直线过点P（4，5），则－1b＝1，得b＝－1，则直线l的方程为x－y＋1＝0，故B正确.故选ABC.
8.[多选]已知直线l：（t＋2）x＋（t－1）y＋3＝0，则下列结论正确的是（ ACD ）
A.直线l的斜率可以等于0
B.直线l的斜率一定存在
C.当t＝－12时，直线l的倾斜角为π4
D.点P（1，3）到直线l的最大距离为22
解析 对于A，当t＝－2时，直线l的斜率为0，故A正确；对于B， 当t＝1时，直线l的斜率不存在，故B错误；对于C，当t＝－12时，直线l：32x－32y＋3＝0，即y＝x＋2，斜率为1，倾斜角为π4，故C正确；对于D，直线l：（t＋2）x＋（t－1）y＋3＝0，即2x-y+3+tx+y=0，恒过2x－y＋3＝0和x＋y＝0的交点M（－1，1），易知点P（1，3）到直线l的最大距离为｜PM｜＝（1+1）2＋（3－1）2＝22，故D正确.
9.已知直线l的斜率为16，且与两坐标轴围成面积为3的三角形，则l的斜截式方程为 y=16x+1或y=16x-1 .
解析 设直线l的方程为y＝16x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－6b，所以12｜b｜·｜－6b｜＝3，即b2＝1，所以b＝±1.故所求直线方程为y＝16x＋1或y＝16x－1.
10.已知点M（x，y）是函数y＝－2x＋8图象上的一点，则当x∈[2，5]时，y+1x+1的取值范围为 [-16,53] .
解析 y+1x+1＝y－（－1）x－（－1）的几何意义是过M（x，y），N（－1，－1）两点的直线的斜率.设A（2，4），B（5，－2），因为点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2，5]，所以点M在线段AB上.因为kNA＝53，kNB＝－16，所以－16≤y+1x+1≤53.
11.若直线l与曲线y＝x和圆x2＋y2＝15都相切，则l的方程为（ D ）
A.y＝2x＋1B.y＝2x＋12
C.y＝12x＋1D.y＝12x＋12
解析 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则｜b｜k2+1＝55 ①，设直线l与曲线y＝x的切点坐标为（x0，x0）（x0＞0），则y'｜x＝x0＝12x0－12＝k ②，x0=kx0+b ③，由②③可得b＝12x0，将b＝12x0，k＝12x0－12代入①得x0＝1或 x0＝－15（舍去），所以k＝b＝12，故直线l的方程为y＝12x＋12.
12.[多选/2024江西宜春丰城中学月考]已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则直线l的倾斜角可能为（ BD ）
A.0B.π4C.π2D.3π4
解析 将点A（－2，－1）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝－1，再将点B（2，2）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝1，∴点A，B不可能同时在直线l上，又｜AB｜＝（－2－2）2＋（－1－2）2＝5，且PA+PB=5，∴点P的轨迹为线段AB，即直线l与线段AB恒有交点.又直线l：2ax－2y＋3a－3＝a（2x＋3）＋（－2y－3）＝0，∴直线l恒过定点C(-32，-32)，作出示意图如图所示，此时kAC＝－1+32－2+32＝－1，kBC＝2+322+32＝1，故直线l的斜率的取值范围为（－∞，－1]∪[1，＋∞），且直线l的斜率存在，故直线l的倾斜角的取值范围为[π4，π2）∪（π2，3π4]，故选BD.
13.[情境创新]1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ C ）
A.0°B.1°C.2°D.3°
解析 因为O，O3都为五角星的中心点，所以OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的每个内角均为36°，可知∠BAO3＝18°.过A作x轴的平行线AE（E在点A右侧），则∠EAO3＝α≈16°，所以直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°，故选C.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.
3.能用直线方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
直线的倾斜角与斜率
2022新高考卷ⅠT21；2022新高考卷ⅡT3
直线是解析几何中最基本的内容，一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，难度不大；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查，难度偏大.
求直线的方程
2020全国卷ⅠT11；2020全国卷ⅢT10
直线方程的综合应用
直线的倾斜角
直线的斜率
定义
定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l① 向上 的方向之间所成的角 α叫做直线l的倾斜角.
规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为② 0° .
（1）定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即③ k＝tanα （α≠π2）.
（2）坐标式：a.如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠ x2），其斜率公式为④ kP1P2=y2-y1x2-x1 .
b.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则k＝⑤ yx （x≠0）.
区别
（1）直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角是⑥ π2 ；（2）倾斜角的取值范围为⑦ [0，π） .
（1）直线l垂直于x轴时，直线l的斜率⑧ 不存在 ；
（2）斜率k的取值范围为⑨ R .
联系
如图，当直线l的倾斜角α∈[0，π2）时，α越大，直线l的斜率k越⑩ 大 ；
当α∈（π2，π）时，α越大，直线l的斜率k越⑪ 大 .
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
y＝kx＋b
k是直线的斜率；b是直线在y轴上的截距.
与x轴不垂直的直线.
点斜式
⑫ y－y0＝k（x－x0）
点（x0，y0）是直线上的已知点；k是斜率.
两点式
y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1
（x1≠x2，y1≠y2）
点（x1，y1），（x2，y2）是直线上的两个已知点.
与两坐标轴均不垂直的直线.
截距式
⑬ xa+yb=1
a是直线在x轴上的截距；
b是直线在y轴上的截距.
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线.
一般式
Ax＋By＋C＝0
（A2＋B2≠0）
当A≠0，B＝0时，－CA是直线的横截距；
当A≠0，B≠0时，－AB，－CA，－CB分别为直线的斜率、在x轴上的截距、在y轴上的截距.
所有直线.
直接法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程.
待定系数法
先设所求直线方程的恰当形式，再由题设条件列方程（组），求出待定系数.
相关教案
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