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2023-2024学年北京市房山区高二下学期学业水平调研（二）数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年北京市房山区高二下学期学业水平调研（二）数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{an}满足an+1=−2an，且a1=1，则a3=( )
A. 14B. 4C. −3D. −8
2.函数y=f(x)的图象如图所示，则( )
A. f′(1)>f′(3)B. f′(1)=f′(3)C. f′10
3.如图①、②、③、④分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为r1,r2,r3,r4，则r1,r2,r3,r4中最大的是( )
A. r1B. r2C. r3D. r4
4.设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，使Sn最小的n的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 4或5
5.要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有( )
A. 72种B. 120种C. 96种D. 60种
6.在x+2x6的展开式中，x2的系数是( )
A. 15B. 60C. 6D. 12
7.某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110.则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为( )
A. 8225B. 110C. 38D. 34
8.为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高(单位：cm)，得到的数据如表所示．
父亲身高的平均数记为x，儿子身高的平均数记为y，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为y=0.839x+28.957.则下列结论中正确的是( )
A. y与x正相关，且相关系数为0.839
B. 点(x,y)不在回归直线上
C. x每增大一个单位，y增大0.839个单位
D. 当x=176时，y≈177.所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm
9.设随机变量X的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是( )
A. P(X≥4)=1−P(X≤3)
B. 随机变量X的数学期望EX可以等于3.5
C. 当pn=12nn=1,2,3,4,5时，p6=125
D. 数列pn的通项公式可以为pn=1n(n+1)n=1,2,3,4,5,6
10.已知数列A：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16, ⋯ ，其中第一项是20，接下来的两项是20, 21，再接下来的三项是20,21, 22，依此类推．Sn是数列A的前n项和，若Sn=2tt∈N∗，则n的值可以等于( )
A. 16B. 95C. 189D. 330
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若f(x)= x，则f′4= ．
12.若x−14=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0= ；a1+a3= ．
13.为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答20个问题，记分规则是：每答对一题得5分，答错一题扣3分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取1名，设其答对的问题数量为X，最后得分为Y分．当X=10时，Y的值为 ；若P(Y≥60)=0.7，则P(X<15)= ．
14.设无穷数列{an}的通项公式为an=−n2+λn+3 (λ>2).若{an}是单调递减数列，则λ的一个取值为 ．
15.已知函数fx=−x2−ax−1,x≤0lnx−a−2x+1,x>0，给出下列四个结论：
①当a=0时，f(x)在定义域上单调递增；
②对任意a>0，f(x)存在极值；
③对任意a>2，f(x)存在最值；
④设f(x)有n个零点，则n的取值构成的集合是{1,2,3,4}．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且a2=3，a3=5，a1=b1，a14=b4．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)设cn=an+bn，求数列cn的前n项和Sn．
17.（12分）已知函数f(x)=−x3+3x2+9x+a
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若f(x)的极小值为−10，求函数f(x)在[−2,2]上的最大值．
18.（12分）袋子中有5个大小和质地相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球．
(1)求第一次摸到白球的概率；
(2)求第二次摸到白球的概率；
(3)求两次摸到的小球颜色不同的概率．
19.（13分）人工智能(简称AI)的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能(每人只能选一项)，统计结果如下：
假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响．
(1)从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)从该地区的大学生中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为Y，Y的方差记作D(Y)，(2)中X的方差记作D(X)，比较D(X)与D(Y)的大小．
(结论不要求证明)
20.（13分）已知函数fx=x−2ex−12ax2+axa∈R．
(1)当a=0时，求曲线y=fx在x=0处的切线方程；
(2)当a>0时，求函数fx的单调区间；
(3)若对于任意的x∈2,+∞，有fx≥0，求a的取值范围．
21.（13分）若数列{an}满足：对任意n∈N∗，都有an+1−an>1，则称{an}是“P数列”．
(1)若an=2n−1，bn=2n−1，判断{an}，{bn}是否是“P数列”；
(2)已知{an}是等差数列，a1=2，其前n项和记为Sn，若{an}是“P数列”，且Sn<3n2+2n恒成立，求公差d的取值范围；
(3)已知{an}是各项均为正整数的等比数列，a1=1，记bn=an3,cn=an+1n，若{an}是“P数列”，{bn}不是“P数列”，{cn}是“P数列”，求数列{an}的通项公式．
答案解析
1.B
【解析】由an+1=−2an可得an+1an=−2为定值，
又a1=1，所以{an}是以a1=1为首项，公比q=−2的等比数列，
∴a3=a1q2=4，
故选：B
2.C
【解析】根据函数的图象，应用导数的几何意义是函数的切线斜率，
在1处的切线斜率小于在3处的切线斜率，
所以f′1又因为f′1故选：C．
3.A
【解析】因③图形比较分散，则r3≈0；因①②④相较③接近于一条直线附近，则r1,r2,r4>0，
又②为下降趋势，则r2<0，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，则r1>r4>0．
综上，r1最大．
故选：A
4.D
【解析】设公差为d，由a2=−3，S5=−10，
所以a1+d=−35a1+10d=−10，解得a1=−4d=1，所以an=n−5，
令an≥0，解得n≥5，则数列an单调递增，且a5=0，
所以当n=4或n=5时Sn取得最小值．
故选：D
5.A
【解析】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有C31种排法，
第二步：将剩余得4个节目全排列，共有A44种排法，
所以共有C31A44=72种，
故选：A
6.B
【解析】由已知可得x+2x6展开式的通项Tr+1=C6rx6−r2xr=C6r2rx6−2r，
令6−2r=2，解得r=2，
所以T3=C6222x2=60x2，系数为60，
故选：B．
7.D
【解析】设事件A为当天下雨，事件B为当天刮风，
则PB=215，PAB=110，
则已知刮风的条件下，也下雨的概率PAB=PABPB=34，
故选：D．
8.C
【解析】A选项，因0.839>0，则y与x正相关，但相关系数不是0.839，故 A错误；
B选项，回归方程过定点(x,y)，故 B错误；
C选项，由回归方程可知x每增大一个单位，y增大0.839个单位，故 C正确；
D选项，回归方程得到的y为预测值，不一定满足实际情况，故 D错误．
故选：C
9.D
【解析】A选项：由已知p1+p2+p3+p4+p5+p6=1，则P(X≥4)=p4+p5+p6=1−p1+p2+p3=1−P(X≤3)，A选项正确；
B选项：当p1=p2=p3=p4=p5=p6=16时，期望为Ex=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16=3.5，B选项正确；
C选项：由pn=12nn=1,2,3,4,5，则p6=1−p1+p2+⋯+p5=1−12+122+⋯+125=1−121−1251−12=125，C选项正确；
D选项：由pn=1n(n+1)=1n−1n+1n=1,2,3,4,5,6，则其前6项和为1−12+12−13+⋯+16−17=67≠1，D选项错误；
故选：D．
10.B
【解析】将数列分组，使每组第一项均为1，即：
第一组：20
第二组：20, 21
第三组：20,21, 22
……
第k组：20,21, 22,⋯,2k−1
根据等比例数列前n项公式，得每组和分别为：21−1, 22−1,⋯,2k−1，
每组含有的项数分别为N=1+2+3+⋯+k+kk+12．
所以SN=21−1+22−1+⋯+2k−1=21−2k1−2−k=2k+1−2−k=2k+1−k+2
若Sn=2tt∈N∗，即2k+1−k+2=2tt∈N∗，
将选项A代入，若n=16，则k=5，即S16为前5组与第6组的第1个数的和，
此时S16=26−5+2+1=2t，t∈N∗无解；
同理若n=95，则k=13，此时S95=214−13+2+1+2+4+8=214，即t=14∈N∗，符合题意；
同理若n=189，则k=18，此时S189=S190−218=219−19+2−218=218−22=2t，t∈N∗无解；
同理若n=330，则k=25，此时S330=226−25+2+1+2+4+8+16=226+4=2t，t∈N∗无解；
综上可知，n=95，
故选：B
11.14/0.25
【解析】由f(x)= x可得f′(x)=12 x，
∴f′(4)=12 4=14，
故答案为：14
12.1；−8
【解析】由题意知，令x=0可得0−14=a0，即a0=1，
由二项展开式的通项可得，
C43x−13=−C43x=−4x=a1x，即a1=−4，
C41x3−1 =−C41x3=−4x3=a3x3，即a3=−4，
即a1+a3=−8，
故答案为：1,−8
13.20；0.3/310
【解析】由题意知，说明答对10道题，答错10道题，
又答对得5分，答错得−3分，
所以最后得分Y=5X−320−X=8X−600≤X≤20，
即当X=10时，Y=20;
若Y≥60，即8X−60≥60，可得X≥15，
∴P(Y≥60)=P(X≥15)=1−P(X<15)=0.7，
∴P(X<15)=0.3，
故答案为：20；0.3
14.λ=52(答案不唯一，λ∈(2,3)即可)
【解析】由an=−n2+λn+3 可得an+1=−n+12+λn+1+3，
又{an}是单调递减数列，可得an+1即−n+12+λn+1+3<−n2+λn+3，
整理得−2n−1+λ<0恒成立，
即λ<2n+1min,n∈N∗恒成立，
∴λ<3，
又因为λ>2，所以2<λ<3，
即λ取值范围为λ∈(2,3)，
故答案为：λ=52(答案不唯一，λ∈(2,3)即可)
15.②③④
【解析】对于①，当a=0时，fx=−x2−1,x≤0lnx+2x+1,x>0,f(e−3)=2e3−2<−1=f(0),①错误；
对于②，当a>0时，函数f(x)=−x2−ax−1,x≤0在(−∞,−a2)上单调递增，在(−a2,0)上单调递减，
函数f(x)在x=−a2处取得极大值，因此对任意a>0，f(x)存在极值，②正确；
对于③，当a>2时，∀x∈(−∞,0],−a2<0,f(x)≤f(−a2)=a24−1,
当x>0时，f′(x)=1x−(a−2)，由f′(x)>0，得01a−2，
即函数f(x)在(0,1a−2)上单调递增，在(1a−2,+∞)上单调递减，此时f(x)≤f(1a−2)，
因此x∈R，f(x)max=max{f(−a2),f(1a−2)}，③正确；
对于④，当a≤0时，函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，f(x)≤f(0)=−1，在−∞,0上无零点，
f(x)=lnx−(a−2)x+1在(0,+∞)上单调递增，f(1)=3−a>0，
f(ea−3)=a−3+(2−a)ea−3+1当0当a=2时，f(−a2)=a24−1=0，f(x)=lnx+1在(0,+∞)上单调递增，f(e−1)=0，n=2；
当20，f(x)在(−∞,0]上有两个零点，
当x>0时，f(1a−2)=ln1a−2>0，f(e−1)=−(a−2)e−1<0，
当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于负无穷大，即f(x)在(0,+∞)上有两个零点，n=4；
当a=3时，f(−a2)=a24−1>0，f(x)在(−∞,0]上有两个零点，f(1a−2)=0，n=3；
当a>3时，f(−a2)=a24−1>0，f(x)在(−∞,0]上有两个零点，f(1a−2)=ln1a−2<0，n=2，
因此n的取值构成的集合是{1,2,3,4}，④正确，
所以所有正确结论的序号是②③④．
故答案为：②③④
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数．
16.(1)设等差数列an的公差为d，a2=3，a3=5
所以an=2n−1n=1,2,3,⋯
因为a1=b1=1，a14=b4=27
所以q3=27，即等比数列bn的公比q=3．
所以b1=b2q=1，b4=b3q=27．
所以bn=3n−1．
(2)由(Ⅰ)知，an=2n−1，bn=3n−1，
因此cn=an+bn=2n−1+3n−1
从而数列cn的前n项和
Sn=1+3+⋯+2n−1+1+3+⋯+3n−1
=n1+2n−12+1−3n1−3=n2+3n−12．
【解析】(1)由an是等差数列求出an=2n−1n=1,2,3,⋯，即可求出bn；
(2)找出cn=an+bn=2n−1+3n−1，由分组求和得解．
17.(1)f′(x)=−3x2+6x+9=−3(x2−2x−3)=−3(x+1)(x−3)，
令f′x=0，得x=−1或x=3.
f′x，f(x)的情况如下：
所以x=−1是函数f(x)的极小值点；x=3是函数f(x)的极大值点．
(2)因为f(x)的极小值为−10，即f(−1)=1+3−9+a=−10
解得a=−5，
又f(−2)=−3， f(2)=17．
所以当x=2时，f(x)取得最大值17．
【解析】(1)先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值；
(2)先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可．
18.(1)设第一次摸到白球的事件为A，则
P(A)=35，即第一次摸到白球的概率为35．
(2)设第二次摸到白球的事件为B，则
P(B)=P(BA+BA)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
=35×46+25×36=35，即第二次摸到白球的概率35．
(3)设两次摸到的小球颜色不同的事件为C，则C=AB+AB
P(C)=P(AB+AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
=35×26+25×36=25，即两次摸到的小球颜色不同的概率为25．
【解析】(1)由古典概型计算可得结果；
(2)由全概率公式计算可得；
(3)根据条件概率公式计算可得．
19.(1)设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，
则P(A)=40120=13
(2)因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为6×40120=2，
所以X的所有可能取值为0,1,2，
PX=0=C42C62=25, PX=1=C41C21C62=815,PX=2=C22C62=115,
所以X的分布列为：
EX=0×615+1×815+2×115=1015=23
(或X∼B(N,n,M),则EX=n×MN=2×26=23)
(3)由(2)可得D(X)=0−232×25+1−232×815+2−232×115=13；
由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此Y∼B2,13，
可得D(Y)=2×13×23=49．
因此D(Y)>D(X)．
【解析】(1)有古典概型计算可得结果；
(2)利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得X的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值(或利用超几何分布计算可得结果)；
(3)由(2)可得D(X)，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此Y∼B2,13，可得D(Y)．
20.(1)由fx=x−2ex−12ax2+ax，知f′x=x−2+1ex−ax+a=x−1ex−ax−1=x−1ex−a．
所以当a=0时，有f0=0−2e0=−2，f′0=0−1e0−0=−1．
故曲线y=fx在x=0处的切线经过0,−2，且斜率为−1，所以其方程为y=−x−2，即x+y+2=0．
(2)当00，对x∈lna,1有f′x=x−1ex−a<0，故fx在−∞,lna和1,+∞上递减，在lna,1上递增；
当a=e时，对x∈−∞,1∪1,+∞有f′x=x−1ex−a>0，故fx在−∞,+∞上递增；
当a>e时，对x∈−∞,1∪lna,+∞有f′x=x−1ex−a>0，对x∈1,lna有f′x=x−1ex−a<0，故fx在−∞,1和lna,+∞上递减，在1,lna上递增．
综上，当0当a=e时，fx在−∞,+∞上递增；
当a>e时，fx在−∞,1和lna,+∞上递减，在1,lna上递增．
(3)我们有fx=x−2ex−12ax2+ax=x−2ex−12ax．
当a≤e2时，由于lna≤2，1<2，故根据(2)的结果知fx在2,+∞上递增．
故对任意的x∈2,+∞，都有fx≥f2=0，满足条件；
当a>e2时，由于lna>2，故flna=lna−2a−12alna=−12alna−22<0．
所以原结论对x=lna∈2,+∞不成立，不满足条件．
综上，a的取值范围是−∞,e2．
【解析】(1)直接计算导数，并利用导数的定义即可；
(2)对a分情况判断f′x的正负，即可得到fx的单调区间；
(3)对a≤e2和a>e2两种情况分类讨论，即可得到a的取值范围．
21.(1)对于数列an而言，若an=2n−1，则an+1−an=2n+1−2n−1=2>1，
所以数列an是“P数列”；
对于数列bn而言，若bn=2n−1，则b2−b1=2−1=1，则数列bn不是“P数列”；
(2)因为等差数列an是“P数列”，所以其公差d>1．
因为a1=2，所以Sn=2n+nn−12d，
由题意，得2n+nn−12d<3n2+2n对任意的n∈N∗恒成立，
即n−1d<6n对任意的n∈N∗恒成立．
当n=1时，n−1d<6n恒成立，故d>1；
当n≥2时，n−1d<6n对任意的n∈N∗恒成立，即
d<6nn−1对任意的n∈N∗恒成立，
因为6nn−1=6+6n−1>6，所以d≤6．
所以d的取值范围是(1, 6]．
(3)设等比数列an的公比为q，因为a1=1，所以an=qn−1，
因为“P数列”an的每一项均为正整数，由an+1−an>1得an+1>an，
所以q>1且q∈N∗，
因为an+1−an=qn−1(q−1)>0，
所以an+2−an+1an+1−an=q>1，所以an+1−an单调递增，
所以在数列an+1−an中，“a2−a1”为最小项，
而bn=an3，从而在数列bn+1−bn中，“b2−b1=a23−a13”为最小项．
因为an是“P数列”，则只需a2−a1>1，所以q>2，
因为数列{bn}不是“P数列”，则b2−b1=a23−a13≤1，所以q≤4，
因为数列an的每一项均为正整数，即q∈N∗，所以q=3或q=4，
(1)当q=3时，an=3n−1，则cn=3nn，
令Dn=cn+1−cn=3n+1n+1−3nn=3n⋅2n−1nn+1，
又Dn+1−Dn=3n+1⋅2n+1n+1n+2−3n⋅2n−1nn+1=3nn+1.4n2+2nn+2>0，
所以Dn为递增数列，
又D1=c2−c1=92−3=32>1，
所以对于任意的n∈N∗，都有Dn>1，即cn+1−cn>1，
所以数列cn为“P数列”，符合题意．
(2)同理可知，当q=4时，an=4n−1，则cn=4nn，
令Dn=cn+1−cn=4n+1n+1−4nn=4n⋅3n−1nn+1，
又Dn+1−Dn=4n+1⋅3n+2n+1n+2−4n⋅3n−1nn+1=9⋅4nnn+2>0，
所以Dn为递增数列，
又D1=c2−c1=8−4=4>1，
所以对于任意的n∈N∗，都有Dn>1，即cn+1−cn>1，
所以数列cn为“P数列”，符合题意．
综上，an=3n−1或an=4n−1．
【解析】(1)直接根据“P数列”的定义进行判断即可；
(2)由{an}是等差数列结合{an}是“P数列”可知公差d>1，结合等差数列求和公式用含d的式子表示Sn，进一步结合Sn<3n2+2n恒成立即可求解；
(3)由“P数列”an的每一项(an=qn−1)均为正整数，可得q>1且q∈N∗，进一步可得an+1−an单调递增，故将任意性问题转换为a2−a1,b2−b1与1比较大小关系可得q的范围，结合q∈N∗，q=3或q=4，注意此时我们还要分情况验证{cn}是否是“P数列”，从而即可得解．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
父亲身高x
174
170
173
169
182
172
180
172
168
166
182
173
164
180
儿子身高y
176
176
170
170
185
176
178
174
170
168
178
172
165
182
X
1
2
3
4
5
6
P
p1
p2
p3
p4
p5
p6
软件功能
视频创作
图像修复
语言翻译
智绘设计
大学生人数
40
20
40
20
x
(−∞,−1)
−1
(−1,3)
3
(3,+∞)
f′x
−
0
+
0
−
fx
递减
a
递增
27+a
递减
X
0
1
2
P
25
815
115
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{an}满足an+1=−2an，且a1=1，则a3=( )
A. 14B. 4C. −3D. −8
2.函数y=f(x)的图象如图所示，则( )
A. f′(1)>f′(3)B. f′(1)=f′(3)C. f′1
3.如图①、②、③、④分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为r1,r2,r3,r4，则r1,r2,r3,r4中最大的是( )
A. r1B. r2C. r3D. r4
4.设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，使Sn最小的n的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 4或5
5.要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有( )
A. 72种B. 120种C. 96种D. 60种
6.在x+2x6的展开式中，x2的系数是( )
A. 15B. 60C. 6D. 12
7.某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110.则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为( )
A. 8225B. 110C. 38D. 34
8.为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高(单位：cm)，得到的数据如表所示．
父亲身高的平均数记为x，儿子身高的平均数记为y，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为y=0.839x+28.957.则下列结论中正确的是( )
A. y与x正相关，且相关系数为0.839
B. 点(x,y)不在回归直线上
C. x每增大一个单位，y增大0.839个单位
D. 当x=176时，y≈177.所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm
9.设随机变量X的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是( )
A. P(X≥4)=1−P(X≤3)
B. 随机变量X的数学期望EX可以等于3.5
C. 当pn=12nn=1,2,3,4,5时，p6=125
D. 数列pn的通项公式可以为pn=1n(n+1)n=1,2,3,4,5,6
10.已知数列A：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16, ⋯ ，其中第一项是20，接下来的两项是20, 21，再接下来的三项是20,21, 22，依此类推．Sn是数列A的前n项和，若Sn=2tt∈N∗，则n的值可以等于( )
A. 16B. 95C. 189D. 330
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若f(x)= x，则f′4= ．
12.若x−14=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0= ；a1+a3= ．
13.为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答20个问题，记分规则是：每答对一题得5分，答错一题扣3分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取1名，设其答对的问题数量为X，最后得分为Y分．当X=10时，Y的值为 ；若P(Y≥60)=0.7，则P(X<15)= ．
14.设无穷数列{an}的通项公式为an=−n2+λn+3 (λ>2).若{an}是单调递减数列，则λ的一个取值为 ．
15.已知函数fx=−x2−ax−1,x≤0lnx−a−2x+1,x>0，给出下列四个结论：
①当a=0时，f(x)在定义域上单调递增；
②对任意a>0，f(x)存在极值；
③对任意a>2，f(x)存在最值；
④设f(x)有n个零点，则n的取值构成的集合是{1,2,3,4}．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且a2=3，a3=5，a1=b1，a14=b4．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)设cn=an+bn，求数列cn的前n项和Sn．
17.（12分）已知函数f(x)=−x3+3x2+9x+a
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若f(x)的极小值为−10，求函数f(x)在[−2,2]上的最大值．
18.（12分）袋子中有5个大小和质地相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球．
(1)求第一次摸到白球的概率；
(2)求第二次摸到白球的概率；
(3)求两次摸到的小球颜色不同的概率．
19.（13分）人工智能(简称AI)的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能(每人只能选一项)，统计结果如下：
假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响．
(1)从该地区的大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)从该地区的大学生中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为Y，Y的方差记作D(Y)，(2)中X的方差记作D(X)，比较D(X)与D(Y)的大小．
(结论不要求证明)
20.（13分）已知函数fx=x−2ex−12ax2+axa∈R．
(1)当a=0时，求曲线y=fx在x=0处的切线方程；
(2)当a>0时，求函数fx的单调区间；
(3)若对于任意的x∈2,+∞，有fx≥0，求a的取值范围．
21.（13分）若数列{an}满足：对任意n∈N∗，都有an+1−an>1，则称{an}是“P数列”．
(1)若an=2n−1，bn=2n−1，判断{an}，{bn}是否是“P数列”；
(2)已知{an}是等差数列，a1=2，其前n项和记为Sn，若{an}是“P数列”，且Sn<3n2+2n恒成立，求公差d的取值范围；
(3)已知{an}是各项均为正整数的等比数列，a1=1，记bn=an3,cn=an+1n，若{an}是“P数列”，{bn}不是“P数列”，{cn}是“P数列”，求数列{an}的通项公式．
答案解析
1.B
【解析】由an+1=−2an可得an+1an=−2为定值，
又a1=1，所以{an}是以a1=1为首项，公比q=−2的等比数列，
∴a3=a1q2=4，
故选：B
2.C
【解析】根据函数的图象，应用导数的几何意义是函数的切线斜率，
在1处的切线斜率小于在3处的切线斜率，
所以f′1
3.A
【解析】因③图形比较分散，则r3≈0；因①②④相较③接近于一条直线附近，则r1,r2,r4>0，
又②为下降趋势，则r2<0，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，则r1>r4>0．
综上，r1最大．
故选：A
4.D
【解析】设公差为d，由a2=−3，S5=−10，
所以a1+d=−35a1+10d=−10，解得a1=−4d=1，所以an=n−5，
令an≥0，解得n≥5，则数列an单调递增，且a5=0，
所以当n=4或n=5时Sn取得最小值．
故选：D
5.A
【解析】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有C31种排法，
第二步：将剩余得4个节目全排列，共有A44种排法，
所以共有C31A44=72种，
故选：A
6.B
【解析】由已知可得x+2x6展开式的通项Tr+1=C6rx6−r2xr=C6r2rx6−2r，
令6−2r=2，解得r=2，
所以T3=C6222x2=60x2，系数为60，
故选：B．
7.D
【解析】设事件A为当天下雨，事件B为当天刮风，
则PB=215，PAB=110，
则已知刮风的条件下，也下雨的概率PAB=PABPB=34，
故选：D．
8.C
【解析】A选项，因0.839>0，则y与x正相关，但相关系数不是0.839，故 A错误；
B选项，回归方程过定点(x,y)，故 B错误；
C选项，由回归方程可知x每增大一个单位，y增大0.839个单位，故 C正确；
D选项，回归方程得到的y为预测值，不一定满足实际情况，故 D错误．
故选：C
9.D
【解析】A选项：由已知p1+p2+p3+p4+p5+p6=1，则P(X≥4)=p4+p5+p6=1−p1+p2+p3=1−P(X≤3)，A选项正确；
B选项：当p1=p2=p3=p4=p5=p6=16时，期望为Ex=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16=3.5，B选项正确；
C选项：由pn=12nn=1,2,3,4,5，则p6=1−p1+p2+⋯+p5=1−12+122+⋯+125=1−121−1251−12=125，C选项正确；
D选项：由pn=1n(n+1)=1n−1n+1n=1,2,3,4,5,6，则其前6项和为1−12+12−13+⋯+16−17=67≠1，D选项错误；
故选：D．
10.B
【解析】将数列分组，使每组第一项均为1，即：
第一组：20
第二组：20, 21
第三组：20,21, 22
……
第k组：20,21, 22,⋯,2k−1
根据等比例数列前n项公式，得每组和分别为：21−1, 22−1,⋯,2k−1，
每组含有的项数分别为N=1+2+3+⋯+k+kk+12．
所以SN=21−1+22−1+⋯+2k−1=21−2k1−2−k=2k+1−2−k=2k+1−k+2
若Sn=2tt∈N∗，即2k+1−k+2=2tt∈N∗，
将选项A代入，若n=16，则k=5，即S16为前5组与第6组的第1个数的和，
此时S16=26−5+2+1=2t，t∈N∗无解；
同理若n=95，则k=13，此时S95=214−13+2+1+2+4+8=214，即t=14∈N∗，符合题意；
同理若n=189，则k=18，此时S189=S190−218=219−19+2−218=218−22=2t，t∈N∗无解；
同理若n=330，则k=25，此时S330=226−25+2+1+2+4+8+16=226+4=2t，t∈N∗无解；
综上可知，n=95，
故选：B
11.14/0.25
【解析】由f(x)= x可得f′(x)=12 x，
∴f′(4)=12 4=14，
故答案为：14
12.1；−8
【解析】由题意知，令x=0可得0−14=a0，即a0=1，
由二项展开式的通项可得，
C43x−13=−C43x=−4x=a1x，即a1=−4，
C41x3−1 =−C41x3=−4x3=a3x3，即a3=−4，
即a1+a3=−8，
故答案为：1,−8
13.20；0.3/310
【解析】由题意知，说明答对10道题，答错10道题，
又答对得5分，答错得−3分，
所以最后得分Y=5X−320−X=8X−600≤X≤20，
即当X=10时，Y=20;
若Y≥60，即8X−60≥60，可得X≥15，
∴P(Y≥60)=P(X≥15)=1−P(X<15)=0.7，
∴P(X<15)=0.3，
故答案为：20；0.3
14.λ=52(答案不唯一，λ∈(2,3)即可)
【解析】由an=−n2+λn+3 可得an+1=−n+12+λn+1+3，
又{an}是单调递减数列，可得an+1
整理得−2n−1+λ<0恒成立，
即λ<2n+1min,n∈N∗恒成立，
∴λ<3，
又因为λ>2，所以2<λ<3，
即λ取值范围为λ∈(2,3)，
故答案为：λ=52(答案不唯一，λ∈(2,3)即可)
15.②③④
【解析】对于①，当a=0时，fx=−x2−1,x≤0lnx+2x+1,x>0,f(e−3)=2e3−2<−1=f(0),①错误；
对于②，当a>0时，函数f(x)=−x2−ax−1,x≤0在(−∞,−a2)上单调递增，在(−a2,0)上单调递减，
函数f(x)在x=−a2处取得极大值，因此对任意a>0，f(x)存在极值，②正确；
对于③，当a>2时，∀x∈(−∞,0],−a2<0,f(x)≤f(−a2)=a24−1,
当x>0时，f′(x)=1x−(a−2)，由f′(x)>0，得0
即函数f(x)在(0,1a−2)上单调递增，在(1a−2,+∞)上单调递减，此时f(x)≤f(1a−2)，
因此x∈R，f(x)max=max{f(−a2),f(1a−2)}，③正确；
对于④，当a≤0时，函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，f(x)≤f(0)=−1，在−∞,0上无零点，
f(x)=lnx−(a−2)x+1在(0,+∞)上单调递增，f(1)=3−a>0，
f(ea−3)=a−3+(2−a)ea−3+1
当2
当x>0时，f(1a−2)=ln1a−2>0，f(e−1)=−(a−2)e−1<0，
当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于负无穷大，即f(x)在(0,+∞)上有两个零点，n=4；
当a=3时，f(−a2)=a24−1>0，f(x)在(−∞,0]上有两个零点，f(1a−2)=0，n=3；
当a>3时，f(−a2)=a24−1>0，f(x)在(−∞,0]上有两个零点，f(1a−2)=ln1a−2<0，n=2，
因此n的取值构成的集合是{1,2,3,4}，④正确，
所以所有正确结论的序号是②③④．
故答案为：②③④
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数．
16.(1)设等差数列an的公差为d，a2=3，a3=5
所以an=2n−1n=1,2,3,⋯
因为a1=b1=1，a14=b4=27
所以q3=27，即等比数列bn的公比q=3．
所以b1=b2q=1，b4=b3q=27．
所以bn=3n−1．
(2)由(Ⅰ)知，an=2n−1，bn=3n−1，
因此cn=an+bn=2n−1+3n−1
从而数列cn的前n项和
Sn=1+3+⋯+2n−1+1+3+⋯+3n−1
=n1+2n−12+1−3n1−3=n2+3n−12．
【解析】(1)由an是等差数列求出an=2n−1n=1,2,3,⋯，即可求出bn；
(2)找出cn=an+bn=2n−1+3n−1，由分组求和得解．
17.(1)f′(x)=−3x2+6x+9=−3(x2−2x−3)=−3(x+1)(x−3)，
令f′x=0，得x=−1或x=3.
f′x，f(x)的情况如下：
所以x=−1是函数f(x)的极小值点；x=3是函数f(x)的极大值点．
(2)因为f(x)的极小值为−10，即f(−1)=1+3−9+a=−10
解得a=−5，
又f(−2)=−3， f(2)=17．
所以当x=2时，f(x)取得最大值17．
【解析】(1)先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值；
(2)先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可．
18.(1)设第一次摸到白球的事件为A，则
P(A)=35，即第一次摸到白球的概率为35．
(2)设第二次摸到白球的事件为B，则
P(B)=P(BA+BA)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
=35×46+25×36=35，即第二次摸到白球的概率35．
(3)设两次摸到的小球颜色不同的事件为C，则C=AB+AB
P(C)=P(AB+AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
=35×26+25×36=25，即两次摸到的小球颜色不同的概率为25．
【解析】(1)由古典概型计算可得结果；
(2)由全概率公式计算可得；
(3)根据条件概率公式计算可得．
19.(1)设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，
则P(A)=40120=13
(2)因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为6×40120=2，
所以X的所有可能取值为0,1,2，
PX=0=C42C62=25, PX=1=C41C21C62=815,PX=2=C22C62=115,
所以X的分布列为：
EX=0×615+1×815+2×115=1015=23
(或X∼B(N,n,M),则EX=n×MN=2×26=23)
(3)由(2)可得D(X)=0−232×25+1−232×815+2−232×115=13；
由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此Y∼B2,13，
可得D(Y)=2×13×23=49．
因此D(Y)>D(X)．
【解析】(1)有古典概型计算可得结果；
(2)利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得X的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值(或利用超几何分布计算可得结果)；
(3)由(2)可得D(X)，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为13，因此Y∼B2,13，可得D(Y)．
20.(1)由fx=x−2ex−12ax2+ax，知f′x=x−2+1ex−ax+a=x−1ex−ax−1=x−1ex−a．
所以当a=0时，有f0=0−2e0=−2，f′0=0−1e0−0=−1．
故曲线y=fx在x=0处的切线经过0,−2，且斜率为−1，所以其方程为y=−x−2，即x+y+2=0．
(2)当0
当a=e时，对x∈−∞,1∪1,+∞有f′x=x−1ex−a>0，故fx在−∞,+∞上递增；
当a>e时，对x∈−∞,1∪lna,+∞有f′x=x−1ex−a>0，对x∈1,lna有f′x=x−1ex−a<0，故fx在−∞,1和lna,+∞上递减，在1,lna上递增．
综上，当0
当a>e时，fx在−∞,1和lna,+∞上递减，在1,lna上递增．
(3)我们有fx=x−2ex−12ax2+ax=x−2ex−12ax．
当a≤e2时，由于lna≤2，1<2，故根据(2)的结果知fx在2,+∞上递增．
故对任意的x∈2,+∞，都有fx≥f2=0，满足条件；
当a>e2时，由于lna>2，故flna=lna−2a−12alna=−12alna−22<0．
所以原结论对x=lna∈2,+∞不成立，不满足条件．
综上，a的取值范围是−∞,e2．
【解析】(1)直接计算导数，并利用导数的定义即可；
(2)对a分情况判断f′x的正负，即可得到fx的单调区间；
(3)对a≤e2和a>e2两种情况分类讨论，即可得到a的取值范围．
21.(1)对于数列an而言，若an=2n−1，则an+1−an=2n+1−2n−1=2>1，
所以数列an是“P数列”；
对于数列bn而言，若bn=2n−1，则b2−b1=2−1=1，则数列bn不是“P数列”；
(2)因为等差数列an是“P数列”，所以其公差d>1．
因为a1=2，所以Sn=2n+nn−12d，
由题意，得2n+nn−12d<3n2+2n对任意的n∈N∗恒成立，
即n−1d<6n对任意的n∈N∗恒成立．
当n=1时，n−1d<6n恒成立，故d>1；
当n≥2时，n−1d<6n对任意的n∈N∗恒成立，即
d<6nn−1对任意的n∈N∗恒成立，
因为6nn−1=6+6n−1>6，所以d≤6．
所以d的取值范围是(1, 6]．
(3)设等比数列an的公比为q，因为a1=1，所以an=qn−1，
因为“P数列”an的每一项均为正整数，由an+1−an>1得an+1>an，
所以q>1且q∈N∗，
因为an+1−an=qn−1(q−1)>0，
所以an+2−an+1an+1−an=q>1，所以an+1−an单调递增，
所以在数列an+1−an中，“a2−a1”为最小项，
而bn=an3，从而在数列bn+1−bn中，“b2−b1=a23−a13”为最小项．
因为an是“P数列”，则只需a2−a1>1，所以q>2，
因为数列{bn}不是“P数列”，则b2−b1=a23−a13≤1，所以q≤4，
因为数列an的每一项均为正整数，即q∈N∗，所以q=3或q=4，
(1)当q=3时，an=3n−1，则cn=3nn，
令Dn=cn+1−cn=3n+1n+1−3nn=3n⋅2n−1nn+1，
又Dn+1−Dn=3n+1⋅2n+1n+1n+2−3n⋅2n−1nn+1=3nn+1.4n2+2nn+2>0，
所以Dn为递增数列，
又D1=c2−c1=92−3=32>1，
所以对于任意的n∈N∗，都有Dn>1，即cn+1−cn>1，
所以数列cn为“P数列”，符合题意．
(2)同理可知，当q=4时，an=4n−1，则cn=4nn，
令Dn=cn+1−cn=4n+1n+1−4nn=4n⋅3n−1nn+1，
又Dn+1−Dn=4n+1⋅3n+2n+1n+2−4n⋅3n−1nn+1=9⋅4nnn+2>0，
所以Dn为递增数列，
又D1=c2−c1=8−4=4>1，
所以对于任意的n∈N∗，都有Dn>1，即cn+1−cn>1，
所以数列cn为“P数列”，符合题意．
综上，an=3n−1或an=4n−1．
【解析】(1)直接根据“P数列”的定义进行判断即可；
(2)由{an}是等差数列结合{an}是“P数列”可知公差d>1，结合等差数列求和公式用含d的式子表示Sn，进一步结合Sn<3n2+2n恒成立即可求解；
(3)由“P数列”an的每一项(an=qn−1)均为正整数，可得q>1且q∈N∗，进一步可得an+1−an单调递增，故将任意性问题转换为a2−a1,b2−b1与1比较大小关系可得q的范围，结合q∈N∗，q=3或q=4，注意此时我们还要分情况验证{cn}是否是“P数列”，从而即可得解．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
父亲身高x
174
170
173
169
182
172
180
172
168
166
182
173
164
180
儿子身高y
176
176
170
170
185
176
178
174
170
168
178
172
165
182
X
1
2
3
4
5
6
P
p1
p2
p3
p4
p5
p6
软件功能
视频创作
图像修复
语言翻译
智绘设计
大学生人数
40
20
40
20
x
(−∞,−1)
−1
(−1,3)
3
(3,+∞)
f′x
−
0
+
0
−
fx
递减
a
递增
27+a
递减
X
0
1
2
P
25
815
115
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