高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第42练随机事件的概率与古典概型(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第42练随机事件的概率与古典概型(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。

1.（人A必修二P243习题10.1T5变式）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数D．至多有一个点数是奇数
2.（人A必修二P243习题10.1T3变式）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是相互独立事件B．事件与事件是互斥事件
C．D．
3.（人A必修二P243习题10.1T7变式）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4.（人A必修二P243习题10.1T9变式）甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲志愿者被安排到学校的概率是
C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是
二、考点分类练
(一)频率与概率
5. 一个容量为20的数据样本，分组和频数为，2个、，3个、，4个、，5个、，4个、，2个，则样本数据在区间的可能性为（ ）
A．5%B．25%C．50%D．70%
6. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（ ）
A．0.09B．0.96C．0.97D．0.98
7. 市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．
(1)求李先生的小孩按时到校的概率；
(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？
(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．
(二)互斥事件与对立事件的概率
8．（2022届贵州省贵阳市第六中学高三一模）甲、乙两个同学玩摸球游戏.袋子中装有3个黄球，3个绿球，甲先摸，乙再摸，每人每次只能摸一个球，若摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，直到摸出所有的绿球游戏结束.则两个同学共摸球4次游戏结束的概率为（ ）
A．B．C．D．
9. （2023届贵州省毕节市部分学校高三上学期12月联合考试）从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为________
10. （2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟）袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球.对于下列各组中的事件A和事件B：
①事件A：至少一个白球，事件B：都是红球；
②事件A：至少一个白球，事件B：至少一个黑球；
③事件A：至少一个白球，事件B：红球、黑球各一个；
④事件A：至少一个白球， 事件B：一个白球一个黑球.
是互斥事件的是___________.（将正确答案的序号都填上）
(三)古典概型
11. （2023届重庆市长寿中学高三上学期12月月考）某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐·若来自同一学校的甲､乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
12. （多选）（2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测）我国在各种乒乓球比赛中均取得过优异的成绩，例如在刚刚过去的2022年成都世界乒乓球团体锦标赛中，中国的乒乓球健将们再创佳绩，男团，女团分别获得了团体冠军.甲､乙两位乒乓球初学者，都学习了三种发球的技巧，分别是：上旋球､下旋球以及侧旋球.两人在发球以及接对方发球成功的概率如下表，两人每次发､接球均相互独立：则下列说法正确的是（ ）
A．若甲选择每种发球方式的概率相同，则甲发球成功的概率是
B．甲在连续三次发球中选择了三种不同的方式，均成功的概率为
C．若甲选择三种发球方式的概率相同，乙选择三种发球方式的概率也相同，则乙成功的概率更大
D．在一次发球中甲选择了发上旋球，则乙接球成功（甲发球失误也算乙成功）的概率是
13. （2023届陕西省宝鸡市高三上学期一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若随机地从5个等腰直角三角形板块中抽出2块，则这2块面积相等的概率为______.
14. 2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
(四)概率与其他知识的交汇问题
15. （2023届四川省南充市高三上学期一诊）斐波那契数列因数学家莱昂纳多·斐波那契（LenarddaFibnaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
16. （2023届广西南宁市高三上学期摸底）从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为______．
三、最新模拟练
17．（2023届江西省西路片七校高三上学期第一次联考）某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有现金支付、微信支付、支付宝支付、银联支付4种支付方式，其中用现金支付的概率为，支付宝支付的概率为，银联支付的概率为，则选择用微信支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
18. （2023届云南省曲靖市高三上学期第一次联考）二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧.其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为（ ）
A．B．C．D．
19. （多选）（2023届广东省深圳市龙岗区高三上学期月考）从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球，则（ ）
A．“都是红球”与“都是白球”是互斥事件
B．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件
C．“恰有一个白球”与“恰有一个红球”是互斥事件
D．“至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件
20.（多选）（2023届浙江省台州市高三上学期11月第一次教学质量）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，则（ ）
A．向上点数之和为5的概率为
B．向上点数之和为7的概率为
C．向上点数之和为6的倍数的概率为
D．向上点数之和为偶数的概率为
21. （2023届广西邕衡金卷高三第二次适应性考试）雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”.高三某班级有三人参赛，且每人限报其中的一个比赛内容，则三人参加的比赛内容均不相同的概率为______.
22. （2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考）做出如下统计，3位志愿者随机选择到三个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志愿者，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是______．（结果用最简分数表示）
23. （2023届浙江省衢州市高三上学期素养测评）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级.现设，分别以表示第一次排序时被排为的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1)假设等可能地为的各种排列，写出的可能值集合，并求的分布列；
(2)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有.
①试按（1）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.
24. （2023届河南省TOP二十名校高三上学期调研）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为次，若每份样本没有病毒的概率为，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．
(1)若取得8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为，求的最大值点；
(2)若对取得的8份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围（精确到0.01）．
四、高考真题练
25．(2022新高考全国I卷) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为
A. B. C. D.
26．(2021高考全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A.B.C.D.
五、综合提升练
27. （2023届湖南省长沙市高三上学期月考）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
28. （多选）（2022届福建省泉州市高三下学期联考）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则（ ）
A．
B．
C．
D．.
29. 现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是______．
（1）直接挑战第2关并过关的概率为；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为；
（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则；
（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是．
30. 在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？上旋球（发/接）
下旋球（发/接）
侧旋球（发/接）
甲
乙
第42练 随机事件的概率与古典概型
一、课本变式练
1.（人A必修二P243习题10.1T5变式）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数D．至多有一个点数是奇数
【答案】D
【解析】由题意，事件为：两个点数都为奇数，由概率指的是事件的对立事件的概率，则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.故选D.
2.（人A必修二P243习题10.1T3变式）随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有共六个数字，记事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数是和”，事件“骰子向上的点数含有”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是相互独立事件B．事件与事件是互斥事件
C．D．
【答案】C
【解析】投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有种；
满足事件的有，，共种；满足事件的有，，共种；满足事件的有，，，，，，，，，，，共种；
，C正确；，D错误；
，不是相互独立事件，A错误；
事件和事件可能同时发生，不是互斥事件，B错误.故选C.
3.（人A必修二P243习题10.1T7变式）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，由以下情况：
，共10种情况，
其中抽到的2张卡片的数字之和是偶数的有，共4种情况，
所以概率为.故选B
4.（人A必修二P243习题10.1T9变式）甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲志愿者被安排到学校的概率是
C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是
【答案】ABD
【解析】甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，
则共有种安排方法，故A正确；
甲志愿者被安排到A学校，
若A学校只有一个人，则有种安排方法，
若A学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确；
若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误；
甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，
在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，
所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确.
故选ABD.
二、考点分类练
(一)频率与概率
5. 一个容量为20的数据样本，分组和频数为，2个、，3个、，4个、，5个、，4个、，2个，则样本数据在区间的可能性为（ ）
A．5%B．25%C．50%D．70%
【答案】D
【解析】由题意，在区间中样本个数为个，所以样本数据在区间的可能性为.故选D.
6. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（ ）
A．0.09B．0.96C．0.97D．0.98
【答案】B
【解析】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与是对立事件，
所以．故选B.
7. 市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．
(1)求李先生的小孩按时到校的概率；
(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？
(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．
【解析】（1）因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：×＋×＝，
故李先生的小孩能够按时到校的概率是1－＝.
（2）甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是，
甲到乙遇到拥堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1－＝，
∴李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是××＝<0.7，
所以李先生没有七成把握能够按时上班．
（3）依题意X可以取0，1，2.
P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝；P(X＝2)＝×＝.
分布列是：
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(二)互斥事件与对立事件的概率
8．（2022届贵州省贵阳市第六中学高三一模）甲、乙两个同学玩摸球游戏.袋子中装有3个黄球，3个绿球，甲先摸，乙再摸，每人每次只能摸一个球，若摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，直到摸出所有的绿球游戏结束.则两个同学共摸球4次游戏结束的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于袋中有3个黄球，3个绿球，若两个同学共摸球4次游戏结束，
则摸球的可能情况为前3次摸出2个绿球和1个黄球，第4次摸出的是绿球，
设事件“两个同学共摸球4次游戏结束”，有以下摸球情况：①黄 绿 绿 绿；②绿 黄 绿 绿；③绿 绿 黄 绿；由于摸到黄球就放回袋子中，摸到绿球不放回，
则.故选B.
9. （2023届贵州省毕节市部分学校高三上学期12月联合考试）从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为________
【答案】
【解析】6名专家随机选取2人的情况有种，其中甲、乙2人都未被选中的情况有种，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为
10. （2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟）袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球.对于下列各组中的事件A和事件B：
①事件A：至少一个白球，事件B：都是红球；
②事件A：至少一个白球，事件B：至少一个黑球；
③事件A：至少一个白球，事件B：红球、黑球各一个；
④事件A：至少一个白球， 事件B：一个白球一个黑球.
是互斥事件的是___________.（将正确答案的序号都填上）
【答案】①③
【解析】①“至少一个白球”与“都是红球”不能同时发生，且不为对立事件，故为互斥事件；
②“至少一个白球”与“至少一个黑球”均包含“一黑一白”的情况，故不为互斥事件；
③“至少一个白球”与“红球、黑球各一个”不能同时发生，且不为对立事件，故为互斥事件；
④“至少一个白球”与“一个白球一个黑球”均包含“一黑一白”的情况，故不为互斥事件.
综上，①③为互斥事件.
(三)古典概型
11. （2023届重庆市长寿中学高三上学期12月月考）某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐·若来自同一学校的甲､乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】据甲的位置不同分三种情况讨论：
①甲坐在四个角的位置，有4种坐法，而乙有21种坐法，则有种坐法；
②甲坐在四条边上但不是四个角上，有12种坐法，乙有20种坐法，则有种坐法；
③甲坐在中间的位置，有8种坐法，乙有19种坐法，则有种坐法；
共有种
甲､乙共有种，两人前后左右均不相邻的概率是.故选B
12. （多选）（2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测）我国在各种乒乓球比赛中均取得过优异的成绩，例如在刚刚过去的2022年成都世界乒乓球团体锦标赛中，中国的乒乓球健将们再创佳绩，男团，女团分别获得了团体冠军.甲､乙两位乒乓球初学者，都学习了三种发球的技巧，分别是：上旋球､下旋球以及侧旋球.两人在发球以及接对方发球成功的概率如下表，两人每次发､接球均相互独立：则下列说法正确的是（ ）
A．若甲选择每种发球方式的概率相同，则甲发球成功的概率是
B．甲在连续三次发球中选择了三种不同的方式，均成功的概率为
C．若甲选择三种发球方式的概率相同，乙选择三种发球方式的概率也相同，则乙成功的概率更大
D．在一次发球中甲选择了发上旋球，则乙接球成功（甲发球失误也算乙成功）的概率是
【答案】BC
【解析】甲选择每种发球方式的概率相同,则选择每种发球方式的概率都为,
则甲选择上旋球发球方式且发球成功概率为,
则甲选择下旋球发球方式且发球成功概率为,
则甲选择侧旋球发球方式且发球成功概率为,
所以甲发球成功的概率是,故A错误;
甲连续三次发球中选择了三种不同的方式共有6种不同的顺序,
所以甲在连续三次发球中选择了三种不同的方式，
均成功的概率为,故B正确;
乙选择每种发球方式的概率相同,则选择每种发球方式的概率都为,
则乙选择上旋球发球方式且发球成功概率为,
则甲选择下旋球发球方式且发球成功概率为,
则甲选择侧旋球发球方式且发球成功概率为,
所以甲发球成功的概率是,
所以乙发球成功率的概率更大，故C正确;
乙接球成功分为以下两总情况：
甲发上旋球发球失误或甲发上旋球成功且乙接球成功，
所以乙接球成功的概率等于，故D错误.故选BC.
13. （2023届陕西省宝鸡市高三上学期一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若随机地从5个等腰直角三角形板块中抽出2块，则这2块面积相等的概率为______.
【答案】
【解析】如图，把5个等腰直角三角形编号，从中任取2个的基本事件有：共10个，其中面积相等的有共两个，因此概率为．
14. 2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，“单板滑雪”不超过30人的概率；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”.则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【解析】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，
36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，32，30，
其中参与“自由式滑雪”的人数超过40人的有4个，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且“单板滑雪”的人数超过30人的有2个.
设事件为“从这10所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过40人”
事件为“从10所学校中选出的3所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过30人”
则，，
，
所以.
（2）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为，
所以小在轮测试中获得“优秀”的次数满组，
由，得.
所以理论上至少要进行12轮测试.
(四)概率与其他知识的交汇问题
15. （2023届四川省南充市高三上学期一诊）斐波那契数列因数学家莱昂纳多·斐波那契（LenarddaFibnaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意可知，数列的前项为：，其中奇数有个，所以从该数列前10项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为.故选D
16. （2023届广西南宁市高三上学期摸底）从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为______．
【答案】
【解析】如下图，选正方体6个侧面上的顶点，共有6种共面的情况；
过中心的平面共有6个平面，每个平面含9个点中的5个，则共有种；
所有可能情况有种，所以这4个点在同一个平面的概率为.
三、最新模拟练
17．（2023届江西省西路片七校高三上学期第一次联考）某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有现金支付、微信支付、支付宝支付、银联支付4种支付方式，其中用现金支付的概率为，支付宝支付的概率为，银联支付的概率为，则选择用微信支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】选择用微信支付的概率.故选D
18. （2023届云南省曲靖市高三上学期第一次联考）二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧.其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】从24个节气中任选2个节气的事件总数有： ，
从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有： ，
从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：
所以， .故选B.
19. （多选）（2023届广东省深圳市龙岗区高三上学期月考）从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球，则（ ）
A．“都是红球”与“都是白球”是互斥事件
B．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件
C．“恰有一个白球”与“恰有一个红球”是互斥事件
D．“至少有一个红球”与“至少有一个白球”是互斥事件
【答案】AB
【解析】“都是红球”与“都是白球”不能同时发生，是互斥事件，A对；“至少有一个红球”与“都是白球”不能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，B对；“恰有一个白球”与“恰有一个红球”能够同时发生（如1红1白），不是互斥事件，C错；“至少有一个红球”与“至少有一个白球” 能够同时发生（如1红1白），不是互斥事件，D错，故选AB.
20.（多选）（2023届浙江省台州市高三上学期11月第一次教学质量）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，则（ ）
A．向上点数之和为5的概率为
B．向上点数之和为7的概率为
C．向上点数之和为6的倍数的概率为
D．向上点数之和为偶数的概率为
【答案】BD
【解析】由题意可知投掷两枚质地均匀的正方体骰子点数向上的情况共有：
，，
，，
，，共36种，
其中点数之和为5的有共4种，故概率为，故A错误；
其中点数之和为7的有共6种，故概率为，故B正确；
其中点数之和为6的倍数有共6种，故概率为，故C错误；
其中点数之和为偶数的有
，，
，，
，，
共18种，故概率为，故D正确；故选BD
21. （2023届广西邕衡金卷高三第二次适应性考试）雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”.高三某班级有三人参赛，且每人限报其中的一个比赛内容，则三人参加的比赛内容均不相同的概率为______.
【答案】
【解析】某校举办诵读大赛分为三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”
某班级三人参赛，基本事件总数种，三人参加项目均不相同的基本事件数为
（种），∴三人参加项目均不相同的概率为；
22. （2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考）做出如下统计，3位志愿者随机选择到三个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志愿者，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是______．（结果用最简分数表示）
【答案】
【解析】由题知，3位志愿者到核酸点位的可能性共有种，
其中三个核酸检测点都有志愿者到位的共有种，
所以三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是．
23. （2023届浙江省衢州市高三上学期素养测评）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级.现设，分别以表示第一次排序时被排为的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1)假设等可能地为的各种排列，写出的可能值集合，并求的分布列；
(2)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有.
①试按（1）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.
【解析】（1）可用列表列出，为的全排列，共24种，计算每种排列下的值，
则的可能取值集合为，在等可能的假定下可得：
,
的分布列为：
（2）①首先，将三轮测试都有的概率.
②由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果可能性很小，所以我们认为该品酒师有良好的酒味鉴别功能，不是靠随机猜测.
24. （2023届河南省TOP二十名校高三上学期调研）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将k份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则k份检验的次数共为次，若每份样本没有病毒的概率为，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．
(1)若取得8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为，求的最大值点；
(2)若对取得的8份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围（精确到0.01）．
【解析】（1）根据题意可知，每份样本检测结果为阴性的概率为，则阳性概率为；
则8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率
即，所以，
因为，所以
当，即时，，所以在上单调递增；
当，即时，，所以在上单调递减；
所以在时取得最大值，
即的最大值点.
（2）若采用方案一，则需要检验的次数为8次，
即检验次数的期望值；
若采用方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，
则每组检测结果为阴性的概率为，则为阳性的概率为；
所以检验次数的所有可能取值为；
当两组检测结果全为阴性时，检验次数为2次，则；
当两组检测结果一组为阴性，另一组为阳性时，检测次数为6次，则；
当两组检测结果全为阳性时，检验次数为10次，则；
此时，方案二的检验次数的期望值；
若“方案二”比“方案一”更“优”，则，
即，得
即p的取值范围为
四、高考真题练
25．(2022新高考全国I卷) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有：,共7种,故所求概率.故选D.
26．(2022高考全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】所有的排法是，不相邻的排法是，故所求概率为.
五、综合提升练
27. （2023届湖南省长沙市高三上学期月考）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：
当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；
2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；
所以个位是偶数共有20种；
同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.故选C
28. （多选）（2022届福建省泉州市高三下学期联考）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则（ ）
A．
B．
C．
D．.
【答案】AB
【解析】因为数列的通项公式为，所以数列的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列的偶数项为，即偶数项为负数，
又数列的前项中，任取两项都是正数的概率为，
当时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为，故A正确；
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
所以，所以，故B正确；
，所以，故C错误；
，
所以，故D错误，故选AB.
29. 现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是______．
（1）直接挑战第2关并过关的概率为；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为；
（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则；
（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是．
【答案】（2）
【解析】对于（1），，所以两次点数之和应大于6，
即直接挑战第2关并过关的概率为，故（1）正确；
对于（2），，所以挑战第1关通过的概率，
则连续挑战前两关并过关的概率为，故（2）错误；
对于（3），由题意可知，抛掷3次的基本事件有，
抛掷3次至少出现一个5点的事件共有种，
故，而事件包括：含5，5，5的1种，含4，5，6的有6种，共7种，
故，所以，故（3）正确；
对于（4），当时，，
而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：
含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，
含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，
含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，
含3，6，6，6的有4种，
所以，故（4）正确．故答案为（2）
30. 在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？
【解析】（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是，故子代的遗传性状有：，，，，共4种，故，（或），的概率分别是，，.
（2）由题可得，，，；
（3）由（2）知，，，，
∴，
则，∴是公差为1的等差数列：
，其中，
∴，，于是，
，，，
对于，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.
X
0
1
2
P
上旋球（发/接）
下旋球（发/接）
侧旋球（发/接）
甲
乙
X
1
2
3
4
0
1
2
4
3
2
1
3
2
4
2
1
3
4
2
4
1
4
2
3
4
1
4
3
2
4
2
1
3
4
2
2
1
4
3
4
2
3
1
4
4
2
3
4
1
6
2
4
1
3
6
2
4
3
1
6
3
1
2
4
4
3
1
4
2
6
3
2
1
4
4
3
2
4
1
6
3
4
2
1
8
3
4
1
2
8
4
1
2
3
6
4
1
3
2
6
4
2
1
3
6
4
2
3
1
6
4
3
1
2
8
4
3
2
1
8
0
2
4
6
8