高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第16练弧度制及任意角的三角函数(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第16练弧度制及任意角的三角函数(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了课本变式练，考点分类练，最新模拟练，高考真题练，综合提升练等内容，欢迎下载使用。

1.（人A必修一P175习题5.1T8变式）一条弧长等于半径的3倍,则此弧所对的圆心角是（ ）
A．B．3C．D．
2.（人A必修一P175习题5.1T7变式）设θ是第三象限角,且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cseq \f(θ,2),则eq \f(θ,2)是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
3. （人A必修一P184习题5.2T2变式）已知角的终边上有一点,则（ ）
A．B．C．D．
4. （人A必修一P184习题5.2T5变式）（多选）给出下列各三角函数值：①；②；③；④.其中符号为负的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
二、考点分类练
(一)角度制与弧度制
5．（2022届陕西省西安市高三下学期三模）短道速滑,全称短跑道速度滑冰,是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图,短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m,直道长为28.85m．若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长,则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（ ）
A．B．C．2D．
6. （2022届北京市门头沟区高三上学期期末）“角的终边关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7.（多选）下列与角的终边不相同的角是（ ）
A．B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
8. （2022届安徽省示范高中皖北协作区高三3月联考）折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代,《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”,据《通鉴注》上的解释,“腰扇”即折扇．一般情况下,折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的弧长为l,扇形所在的圆的半径为r,当l与r的比值约为2.4时,折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm,在保证美观的前提下,此折扇所在扇形的面积是_______．
(二)三角函数的定义
9．（2022届安徽省卓越县中联盟高三下学期第二次联考）已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,且,则（ ）
A．B．C．D．
10.（2022届山东省滕州市高三下学期开学考试）已知角的终边上一点P的坐标为,则角的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
11.已知角的顶点都为坐标原点,始边都与轴的非负半轴重合,且都为第一象限的角,终边上分别有点,,且,则的最小值为
A．1B．C．D．2
12.（2022届广东省高三一模）如图,已知扇形的半径为,以为原点建立平面直角坐标系,,,则的中点的坐标为__________.
(三)三角函数值的符号
13.（2022届山东省临沂市高三上学期期中）若,则（ ）
A．B．
C．D．
14.已知,则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．三象限D．第四象限
15.对于①,②,③,④,⑤,⑥,则为第二象限角的充要条件为（ ）
A．①③B．①④C．④⑥D．②⑤
16．在平面直角坐标系中,角以为始边,终边经过点,则下列各式一定为正的是（ ）
A．B．C．D．
三、最新模拟练
17．（2022届河南省豫北名校大联考）密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6000份,每一份叫做1密位的角．在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“0－07”,478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形,其圆心角用密位制表示为12－50,则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
18.（2022届陕西省西安市高三下学期第二次质量检测）在平面直角坐标系xOy中,α为第四象限角,角α的终边与单位圆O交于点P(x0,y0),若cs()=,则x0=（ ）
A．B．C．D．
19.（多选）（2022届山东省菏泽市高三上学期期中）一半径为米的水轮如图所示,水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动,每秒转动一圈,如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时,则下列判断正确的有（ ）
A．点第一次到达最高点需要秒
B．在水轮转动的一圈内,有秒的时间,点在水面的上方
C．当水轮转动秒时,点在水面上方,点距离水面米
D．当水轮转动秒时,点在水面下方,点距离水面米
20.（多选）（2022届重庆市第八中学校高三下学期月考）已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,若,则下列各式的符号无法确定的是（ ）
A．B．C．D．
21.（多选）（2022届福建省三明市高三上学期阶段考试）给出下列四个选项中,其中正确的选项有（ ）
A．若角的终边过点且,则
B．若是第二象限角,则为第二象限或第四象限角
C．若在单调递减,则
D．设角为锐角（单位为弧度）,则
22.（2022届湖南省岳阳市高三上学期教学质量监测）在平面直角坐标系中,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴,终边过点且,则______．
23．（2022届浙江省嘉兴市高三上学期期末）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形,它是以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形.如下图,已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为,则线段AB的长为___________.
24.（2022届广东省茂名市高三下学期调研）在平面直角坐标系xOy中,圆O与x轴的正半轴交于点A,点B,C在圆O上,若射线OB平分∠AOC,B（,）,则点C的横坐标为___________.
四、高考真题练
25．(2020全国卷Ⅱ卷)若α为第四象限角,则( )
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
五、综合提升练
26.已知,则角所在的区间可能是
A．B．C．D．
27.（2022届广东省江门市高三下学期3月模拟）在平面直角坐标系中,对任意角,设的终边上异于原点的任意一点,它与原点的距离是r.我们规定：比值、、分别叫做角的正割、余割、余切,分别记作、、,把、、分别叫做正割函数、余割函数、余切函数,则下列叙述正确的是( )
A．B．的定义域为
C．D．
28.（2022届安徽省亳州市蒙城县高三下学期联考）以Ox为始边作锐角,角的终边与单位圆交于点,将角的终边逆时针旋转得到角．角的终边与单位圆相交于点,则的取值范围为_________．
29．已知角的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点,若函数（）的图像关于直线对称,则______.
30．已知数列满足：,,数列满足：,,求证：．
第16练 弧度制及任意角的三角函数
一、课本变式练
1.（人A必修一P175习题5.1T8变式）一条弧长等于半径的3倍,则此弧所对的圆心角是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【解析】设该弧对应半径为r,则弧长l=3r,则此弧所对的圆心角,故选B
2.（人A必修一P175习题5.1T7变式）设θ是第三象限角,且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cseq \f(θ,2),则eq \f(θ,2)是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】 B
【解析】由θ是第三象限角知,eq \f(θ,2)为第二或第四象限角,∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cseq \f(θ,2),∴cseq \f(θ,2)<0,
综上可知,eq \f(θ,2)为第二象限角．
3. （人A必修一P184习题5.2T2变式）已知角的终边上有一点,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意,.故选B
4. （人A必修一P184习题5.2T5变式）（多选）给出下列各三角函数值：①；②；③；④.其中符号为负的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ABC
【解析】对①：因为为第三象限角,所以；
对②：因为为第二象限角,所以；
对③：因为2弧度角为第二象限角,所以；
对④：因为1弧度角为第一象限角,所以；故选ABC.
二、考点分类练
(一)角度制与弧度制
5．（2022届陕西省西安市高三下学期三模）短道速滑,全称短跑道速度滑冰,是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图,短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m,直道长为28.85m．若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长,则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】由题意得跑道内圈的周长为,所以该扇形的圆心角为．故选C
6. （2022届北京市门头沟区高三上学期期末）“角的终边关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由角的终边关于轴对称,可知,即成立,当时,角的终边关于轴对称或,所以“角的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件,故选A.
7.（多选）下列与角的终边不相同的角是（ ）
A．B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
【答案】ABD
【解析】与角的终边相同的角为,其余三个角的终边与角的终边不同．
故选ABD.
8. （2022届安徽省示范高中皖北协作区高三3月联考）折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代,《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”,据《通鉴注》上的解释,“腰扇”即折扇．一般情况下,折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的弧长为l,扇形所在的圆的半径为r,当l与r的比值约为2.4时,折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm,在保证美观的前提下,此折扇所在扇形的面积是_______．
【答案】1080
【解析】依题意,,所以,所以；
(二)三角函数的定义
9．（2022届安徽省卓越县中联盟高三下学期第二次联考）已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,且,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,解得：,故,故选A
10.（2022届山东省滕州市高三下学期开学考试）已知角的终边上一点P的坐标为,则角的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为,,所以角的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知
,故角的最小正值为．故选D．
11.已知角的顶点都为坐标原点,始边都与轴的非负半轴重合,且都为第一象限的角,终边上分别有点,,且,则的最小值为
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】由已知得,,,因为,所以,所以,,所以,当且仅当,时,取等号.
12.（2022届广东省高三一模）如图,已知扇形的半径为,以为原点建立平面直角坐标系,,,则的中点的坐标为__________.
【答案】
【解析】由三角函数定义得：,,,
,,,点坐标为.
(三)三角函数值的符号
13.（2022届山东省临沂市高三上学期期中）若,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由二倍角公式可知,,,从而,又因为,所以,,
从而.故选D.
14.已知,则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】由,平方得：,则,即,则或,,即有或,,当为偶数时,位于第二象限,,,,不成立,当为奇数时,位于第四象限,,,成立.∴角的终边在第四象限.故选D.
15.对于①,②,③,④,⑤,⑥,则为第二象限角的充要条件为（ ）
A．①③B．①④C．④⑥D．②⑤
【答案】BC
【解析】若为第二象限角,则,,.
所以,为第二象限角或或.故选BC.
16．在平面直角坐标系中,角以为始边,终边经过点,则下列各式一定为正的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】因为角终边经过点,所以在第四象限,,
正负无法判断；；；,故BD正确.
故选BD
三、最新模拟练
17．（2022届河南省豫北名校大联考）密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6000份,每一份叫做1密位的角．在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“0－07”,478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形,其圆心角用密位制表示为12－50,则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意,该扇形的圆心角为．又,故所求扇形的面积为
．故选A.
18.（2022届陕西省西安市高三下学期第二次质量检测）在平面直角坐标系xOy中,α为第四象限角,角α的终边与单位圆O交于点P(x0,y0),若cs()=,则x0=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意,x0=csα.α∈,∈,
又cs()=,
∈,
=,
x0=csα==+
==.故选A.
19.（多选）（2022届山东省菏泽市高三上学期期中）一半径为米的水轮如图所示,水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动,每秒转动一圈,如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时,则下列判断正确的有（ ）
A．点第一次到达最高点需要秒
B．在水轮转动的一圈内,有秒的时间,点在水面的上方
C．当水轮转动秒时,点在水面上方,点距离水面米
D．当水轮转动秒时,点在水面下方,点距离水面米
【答案】BC
【解析】如图所示：
作OM垂直于水面,
则OM=1.8,,,
A.点第一次到达最高点需要转,时间是,故错误；
B.,则点在水面的上方的时间是,故正确；
C.,则点P转动了,点P在图中位置,在水面上方,点距离水面米,故正确；
D. 当水轮转动秒时,转动了,点P在图中位置,在水面下方,点距离水面1.8米,
故选BC
20.（多选）（2022届重庆市第八中学校高三下学期月考）已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,若,则下列各式的符号无法确定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由三角函数定义,,
所以,对于A选项,当时,,时,,时,,所以选项A符号无法确定；
对于B选项, ,所以选项B符号确定；
对于C选项,,故当时,,时,,时,,所以选项C的符号无法确定；
对于D选项,,所以选项D符号确定.
所以下列各式的符号无法确定的是AC选项.故选AC.
21.（多选）（2022届福建省三明市高三上学期阶段考试）给出下列四个选项中,其中正确的选项有（ ）
A．若角的终边过点且,则
B．若是第二象限角,则为第二象限或第四象限角
C．若在单调递减,则
D．设角为锐角（单位为弧度）,则
【答案】AD
【解析】A：,易知且,则,正确；
B：,则,可知为第一象限或第三象限角,错误；
C：由,当时,上递增,上递减；当时,上递减,上递增；而在上递减,则且,可得,故错误；
D：如下图,单位圆中,显然,正确；故选：AD
22.（2022届湖南省岳阳市高三上学期教学质量监测）在平面直角坐标系中,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴,终边过点且,则______．
【答案】
【解析】因为终边上一点,所以,又,
所以可得,所以
23．（2022届浙江省嘉兴市高三上学期期末）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形,它是以正三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形.如下图,已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为,则线段AB的长为___________.
【答案】3
【解析】根据题意,设正三角形的边长为,,由弧长公式可得：
则有：,解得
24.（2022届广东省茂名市高三下学期调研）在平面直角坐标系xOy中,圆O与x轴的正半轴交于点A,点B,C在圆O上,若射线OB平分∠AOC,B（,）,则点C的横坐标为___________.
【答案】
【解析】
由题意可知圆O的半径为 ,设 ,
由题意可知 ,∴点C的横坐标为 ；
四、高考真题练
25．(2020全国卷Ⅱ卷)若α为第四象限角,则( )
A．cs2α>0B．cs2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角,可得,
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上,所以
故选D．
五、综合提升练
26.已知,则角所在的区间可能是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令,则,又由,得,解得,舍去,则,在第二或第四象限,排除A和D,又而,当时,排除B,只有C答案满足,故选C.
27.（2022届广东省江门市高三下学期3月模拟）在平面直角坐标系中,对任意角,设的终边上异于原点的任意一点,它与原点的距离是r.我们规定：比值、、分别叫做角的正割、余割、余切,分别记作、、,把、、分别叫做正割函数、余割函数、余切函数,则下列叙述正确的是( )
A．B．的定义域为
C．D．
【答案】CD
【解析】∵,∴当时,,故A错误；
,故其定义域为,故B错误；
,故C正确；
,
∵csα≠0,sinα≠0,∴,,故D正确.
故选CD.
28.（2022届安徽省亳州市蒙城县高三下学期联考）以Ox为始边作锐角,角的终边与单位圆交于点,将角的终边逆时针旋转得到角．角的终边与单位圆相交于点,则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】根据三角函数的定义得,,
由于角的终边逆时针旋转得到角,故,所以,
所以,
因为,所以,
所以,即．
29．已知角的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点,若函数（）的图像关于直线对称,则______.
【答案】.
【解析】
图像关于直线对称,则
角终边经过点,故
30．已知数列满足：,,数列满足：,,求证：．
【解析】由已知得,可设,
则．
所以,即,
又,求得,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
即,从而；
令,则．
又,所以,
则,即,又由,得．
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
即,从而,
由三角函数线性质可知,当时,,
所以,
故,即．