陕西省西安市爱知初级中学2024-2025学年八年级上学期开学测数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市爱知初级中学2024-2025学年八年级上学期开学测数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ）
A. 4，5，6B. ，2，C. 6，8，10D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意；
B、，2，这三个数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；
C、∵，
∴6，8，10是勾股数，符合题意；
D、这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
2. 一个直角三角形的面积为96，并且两直角边的比是，则这个三角形的斜边为（ ）
A. 10B. 8.5C. 20D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，设两直角边的长度分别为，，根据直角三角形的面积为96得出，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵两直角边的比是，
∴设两直角边的长度分别为，，
由题意得：，
解得：，
∴这个三角形的斜边为，
故选：C．
3. 在中，的对边分别为，下列结论中不正确的是（ ）
A. 如果，那么是直角三角形
B. 如果，那么是直角三角形，且
C. 如果，那么是直角三角形
D. 如果，那么是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可．
【详解】解：A.∵
∴
而
∴，
∴是直角三角形，A不合题意．
B.∵，
，
∴是直角三角形，且，原选项错误，符合题意．
C.∵，
设，则，
则，
解得，，
则，
∴是直角三角形，C不符合题意；
D.∵，
∴设
∴，
∴是直角三角形，D不合题意．
故选：B．
4. 在中，，，则点C到斜边的距离是（ ）
A. B. C. 9D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理．勾股定理求出的长，等积法求出点C到斜边的距离即可．
【详解】解：设点C到斜边的距离h，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
5. 如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（ ）
A. 6 cmB. 7 cmC. D. 8cm
【答案】D
【解析】
【分析】分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明，即可证明，进一步计算即可得出答案．
【详解】解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，
∵，，
∴，
∴，
在和中；
，
∴，
∴BF=CG，
∵，
∴均为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是解决本题的关键．
6. 如图，圆柱的底面半径为，高，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把圆柱侧面展开后，连接．由已知可求得圆柱底面圆的周长，从而可求得周长的一半，由勾股定理即可计算出的长．
【详解】解：把圆柱侧面展开后，连接，如图所示：

∵圆柱的底面半径为，
∴圆柱的底面周长为，
∴，
∵高，点P是上一点，且，
∴，
在中，，
即从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是把圆柱展开，即把空间问题转化为平面问题来解决，体现了转化思想．
7. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ）
A. 1.2米B. 1.3米C. 1.5米D. 2米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵米，米，米，
∴（米）．
在中，由勾股定理得到：（米）,
故选：B．
8. 如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（ ）
A. B. 18C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的翻折．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式求三角形面积，是解题关键．
由矩形性质和对折性质得到 ，设，则，在中，由勾股定理求得，结合运用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵矩形纸片中，，
∴，
由对折知， ，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：A．
9. 在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点A，B，C均在正方形格点上，则下列结论错误的是 （ ）
A B.
C. D. 点A到直线的距离是2
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理即可判断A；利用勾股定理的逆定理即可判断B；利用割补法求出的面积进而求出点A到直线的距离即可判断C、D．
详解】解：由题意得，，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵，
∴点A到直线的距离是，
∴四个选项中，只有C选项结论错误，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，点到直线的距离，灵活运用所学知识是解题的关键．
10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（ ）
A. 7B. 14C. 21D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式与几何图形．熟练掌握正方形性质，勾股定理，完全平方公式，平方差公式 ，是解题的关键．
根据几何图形得到，，，利用完全平方公式变形求出，再求出，根据，求出，的值，根据即可得到答案．
【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. 有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是_______．
【答案】16或34##34或16
【解析】
【分析】根据题意分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；
当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16；
故答案为：16或34．
【点睛】本题考查勾股定理，根据题意分第三边是直角边与斜边两种情况讨论是解题的关键．
12. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为_____________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△CDE（AAS），再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ACB和△CDE中，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，
AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
∴Sb=Sa+Sc=1+9=10，
∴b面积为10，
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB≌△CDE．
13. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______米．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根据计算求解，即可解题．
【详解】解：根据上图，进行如下标注：
由题知，，，，，，
，
梯子长度不变，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，直角三角形的两直角边长分别为和，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出以为直径的半圆及的面积，再根据，即可得出结论．
【详解】如图所示：
∵，
∴，
∴以为直径的半圆的面积（）；
以为直径的半圆的面积（）；
以为直径的半圆的面积（）；
（）；
∴（）；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15. 如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走______m．
【答案】15
【解析】
【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题、勾股定理等知识点，根据题意画出平面展开图是解答题的关键．
如图：连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图所示：
将图展开，图形长度增加，
原图长度增加2米，则，
如图：连接，
∵四边形是长方形，，宽，
∴，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程．
故答案为15．
16. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是_______．
【答案】25
【解析】
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25，
故答案为：25．
17. 如图，在中，，动点P在内，且使得的面积为8，点Q为上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
过点作的垂线交于点，作点关于的对称点，连接，延长交于点，过点作于点，运用勾股定理求出，由的面积为8即可求出，由对称得，，则，当点三点共线，且点与点重合时取得最小值，即为，再对运用等面积法即可求出．
【详解】解：过点作的垂线交于点，作点关于的对称点，连接，延长交于点，过点作于点，
，，，
，
∵，
∴，
则，
∴，
由对称得，，
∴，
当点三点共线，且点与点重合时取得最小值，即为，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本题共6小题，共60分，要求写出必要的解题过程）
18. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】此题主要考查了实数运算以及整式的乘除法运算和乘法公式的应用，正确把握相关运算法则是解题关键．
（1）原式利用乘方的意义、零指数幂以及绝对值法则，计算即可求出值；
（2）原式利用单项式乘以多项式法则计算即可求出值；
（3）原式利用完全平方公式及平方差公式计算即可求解；
（4）原式利用完全平方公式及多项式乘以多项式法则计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
．
19. 先化简，再求值：[（x+2y）（x-2y）-（x-y）2]÷（-2y），其中x=-1，y=2．
【答案】y-x，6．
【解析】
【分析】原式中括号中利用平方差公式，以及完全平方公式化简，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=(x2-4y2-x2-y2+2xy)÷（-2y）=y-x，
将x=-1，y=2代入得：原式=6．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 如图，在中，．请用尺规作图在边上找一点D，使点D到直线的距离等于．（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，
作平分线交于，根据角平分线的性质得点到的距离等于．
【详解】解：如图，作的平分线交于，
∵，即，
∵平分
∴点到的距离等于，
∴点即为所作．
21. 如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面0.6m，荡秋千到的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于2.4m，距地面1.4m，求秋千的长．
【答案】米
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的勾股定理，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．根据题意，设为米，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解： 根据题意可知：，
设为米，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴秋千的长为米．
22. 学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出，，，，，求需要绿化部分的面积．
【答案】96平方米
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可得到结论．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，
∴△ABC为直角三角形．
∴需要绿化部分的面积＝．
所以，需要绿化部分的面积为96平方米．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．
23. 今年，第十五号台风登陆江苏，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．
（1）已知A市到距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
【答案】（1）台风中心从B点移到D点经过6小时．
（2）A市受台风影响的时间为3.75小时．
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
（1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从B点移到D点所经过长时间；
（2）假设A市从P点开始受到台风的影响，到Q点结束，根据题意在图中画出图形，可知，A市在台风从P点到Q点均受影响，即得出两点的距离，便可求出A市受台风影响的时间．
【小问1详解】
解：由题意得，在中，
，
∴，
∴小时，
即台风中心从B点移到D点需要6小时；
【小问2详解】
解：以A为圆心，以为半径画弧，交于P、Q，
则A市在P点开始受到影响，Q点恰好不受影响（如图），
由题意，，在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴（小时）
∴A市受台风影响的时间为3.75小时．
24. （如图1，在中，，设所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）则的周长为______．
（2）点P是边上的动点，点P从点C出发，沿的路径向终点A运动，
①当平分时，求的长；
②如图2，当点P运动到时，将沿直线对折，点B的对称点为，当与重叠部分为直角三角形时，求此时的长．
【答案】（1）
（2）①；②1或或3
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等角对等边，折叠的性质：
（1）利用勾股定理求出b的值，再根据三角形周长公式求解即可；
（2）①过P作于点G，设，证明，得到，，则，，再由勾股定理得，解方程即可得到答案；②分三种情形：如图2-1中，当于点J时，满足条件．如图2-2中，当时，满足条件．如图2-3中，当时，满足条件．分别求解即可．
【小问1详解】
解：由勾股定理得，
∴的周长为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①如图1中，过P作于点G，设，
∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理得
∴，
解得，
∴当平分时，；
②如图2-1中，当于点J时，满足条件．
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得：，
∴；
如图2-2中，当时，满足条件，
同理可得；
如图2-3中，当时，满足条件．
∴，
∴，
由翻折的性质可知 ，
∴，
∴；
综上所述，当与重叠部分为直角三角形时，的长为1或或3．