贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高二上学期开学联考数学试题（解析版）

这是一份贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高二上学期开学联考数学试题（解析版），共19页。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容；人教A版选择性必修第一册第一章至第二章第2.3节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的点斜式方程形式，可直接得到结果.
【详解】过点且斜率为的直线的点斜式方程为，
故选：
2. 直线：与：的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】联立两直线方程，求出交点坐标.
【详解】联立方程组解得，
故与的交点坐标为.
故选：A
3 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 4C. 或1D. 4或
【答案】C
【解析】
【分析】由数量积运算求解即可.
【详解】因为，所以，解得或1．
故选：C
4. 若直线：与：平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据直线平行求参，再根据平行线间距离公式计算即可.
【详解】因为，所以解得，
则：与：之间的距离．
故选：D.
5. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据共面向量定理，逐项考查每个选项中三个向量是否共面即可.
【详解】对于因为，故三个向量共面；
对于 假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，
即，，不共面；
对于,，故三个向量共面；
对于，故三个向量共面，
故选：
6. 若直线：经过第四象限，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以直线的斜率为标准，对参数分类讨论，解出即可.
【详解】若，则方程为，不经过第四象限．
若，则的方程为，经过第四象限．
若且，将的方程转化为，
因为经过第四象限，所以或
解得或或．
综上知，的取值范围为，
故选：
7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后直线与平面所成角的正弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接、，由面面垂直的性质得到平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】连接、，依题意可得，，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．
设平面的法向量为，则，
得，取，得，易得与共线的一个向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
故选：A
8. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出关于直线的对称点坐标，易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为．
【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和，

即．设关于直线对称的点为，则得，即．
易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（ ）

A. 在方向上的投影向量为
B. 在方向上的投影向量为
C. 在方向上的投影向量为
D. 在方向上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，根据空间向量的坐标运算结合投影向量的定义逐项判断即可.
【详解】因为平面，平面，所以
又底面为矩形，所以，
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系

设，则
所以，
则在方向上的投影向量为，故A正确；
又，所以在方向上的投影向量为，故B不正确；
又，，
所以所以在方向上的投影向量为，故C正确；
又，所以在方向上的投影向量为，故D正确．
故选：ACD．
10. 直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A选项，利用两条直线斜率和截距大小关系进行判定；对于B选项当时，符合题意；对于C选项，当或时，符合题意；对于D选项，根据一条直线斜率不存在即可判断.
【详解】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确．
对于B选项，当时，符合题意，B正确．
对于C选项，当或时，符合题意，C正确．
对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确．
故选：
11. 若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】讨论、、三条直线交于一点得出的可能取值.
【详解】若，则解得．
若，则解得．
由解得即与的交点坐标为，
若过点，则，解得．
故选：BCD．
12. 在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D点坐标，即得答案.
【详解】由题意得.
设坐标为，
若四边形为平行四边形，则，则，
此时的坐标为.
若四边形为平行四边形，则，
则，，此时的坐标为.
若四边形为平行四边形，则，
则，此时的坐标为，
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得.
【详解】点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：.
14. 已知，，三点在同一条直线上，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用列出方程，解出即可.
【详解】因为，，三点在同一条直线上，
所以，即，
解得．
故答案为：.
15. 如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________．

【答案】
【解析】
【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质计算即可.
【详解】因为，
所以
又二面角的平面角大小为，
四边形，均为边长为4的正方形，
所以，
，
，
所以，则．
故答案为：
16. 某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________．

【答案】
【解析】
【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出，，再由面积公式结合二次函数的性质求解.
【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形．

由题可知，直线的方程为，直线的方程为．
设，其中，则，，
则，，
四边形的面积．
当时，取得最大值．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线经过点．
（1）若与直线：垂直，求的方程；
（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.
【小问1详解】
由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
【小问2详解】
若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
18. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．

（1）设，，，用表示；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【小问1详解】
解：如图所示，连接，可得，
因为为的中点，则，
所以，
所以
.
【小问2详解】
解：因为，
所以
，
因为平面，平面，且平面,平面，
所以，
又因为，
所以，
所以.

19. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分别为，，的中点，．

（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角余弦公式求出答案；
（2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案.
【小问1详解】
连接．因为底面是菱形，所以．
因为，分别为，的中点，所以，则平面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由，，得，，，，则，，
，
故直线与所成角的余弦值为；
【小问2详解】
由（1）知．设平面的法向量为，
贝，解得，
令，得，故，
点到平面的距离为.
20. 在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，点，．
（1）求点的坐标；
（2）求等腰梯形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行关系及求出直线的方程，设，由列出方程，求出的值，检验后得到答案；
（2）求出，由点到直线距离求出梯形高，进而求出面积.
【小问1详解】
因为，所以．
又，所以直线的方程为，即．
设，由，得，
解得或．
当时，，不符合题意，
当时，与不平行，符合题意，
故点的坐标为．
【小问2详解】
，，
点到直线：的距离，
故等腰梯形的面积．
21. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点，是上一点．

（1）证明：平面．
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，根据线面平行判定定理证明即可得结论；
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量坐标运算求平面与平面的法向量，在根据向量夹角余弦公式即可得所求.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，．
因为是的中点，所以，．
又底面为正方形，是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以
因为平面，平面，所以平面
【小问2详解】
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，，，．
设，得，
则，．
因为，所以，解得，
从而，，．
设平面的法向量为，则
令，得
设平面的法向量为，则
令，得
故平面与平面的夹角的余弦值为
22. 已知的三个顶点是，，．
（1）过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据平面向量的坐标关系确定，即可列方程得的坐标，从而可得直线方程；
（2）利用对称性结合直线方程确定关于直线对称的点为的坐标关系式，即可得所求.
【小问1详解】
设则，
因为的面积是面积的3倍，所以，
则解得
故直线的方程为，即
【小问2详解】
显然，的斜率存在且不为零，设的方程为，
则过点且与垂直的直线的方程为
设点关于直线对称的点为，
因为直线的方程为，
所以
整理得
因为，所以，解得或
又，，所以，
故直线的方程为，即