高三数学一轮复习第五章平面向量、复数培优专题九极化恒等式的应用学案

这是一份高三数学一轮复习第五章平面向量、复数培优专题九极化恒等式的应用学案，共7页。

极化恒等式
设a，b为两个平面向量，则a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]．如图所示．
(1)在▱ABDC中，AB＝a，AC＝b，
则a·b＝14(|AD|2－|BC|2)．
(2)在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AM为中线，则a·b＝|AM|2－14|BC|2．
极化恒等式的推导
(1)⇒ab＝14[(a＋b)2－(a－b)2]．
(2)在△ABC中，D是边BC的中点，则AB·AC＝AD2－|DB|2．
证明：由AB·AC＝12AB+AC2－12 AB-AC2＝AD2－12CB2＝|AD|2－|DB|2，得证．
我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与底边长度一半的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
极化恒等式的几何意义向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．
[培优案例]
[例1] 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值为________．
78 [设DC＝a，DF＝b，BA·CA＝|AD|2－|BD|2＝9b2－a2＝4，
BF·CF＝|FD|2－|BD|2＝b2－a2＝－1，
解得b2＝58，a2＝138，
∴BE·CE＝|ED|2－|BD|2＝4b2－a2＝78．]
[例2] 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB+PC)的最小值是( )
A．－2 B．－32
C．－43 D．－1
B [法一(极化恒等式)：结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有PB+PC＝2PD，
图①
则PA·(PB+PC)＝2PA·PD＝2(PE+EA)·(PE-EA)＝2(PE2－EA2)．而EA2＝322＝34，当点P与点E重合时，PE2有最小值0，故此时PA·(PB+PC)取得最小值，最小值为－2EA2＝－2×34＝－32．
法二(坐标法)：如图②，以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
图②
则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB+PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y-322－32，当x＝0，y＝32时，PA·(PB+PC)取得最小值，最小值为－32．故选B．]
培优训练(九) 极化恒等式的应用
1．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
A [因为a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]＝14×(10－6)＝1，所以a·b＝1．]
2．(2024·保定一模)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C．2 D．22
C [如图所示，设OA⊥OB，记OA＝a，OB＝b，OC＝c，M为AB的中点，
由极化恒等式有(a－c)·(b－c)＝CA·CB＝|CM|2－AB24＝0，
∴|CM|2＝AB24＝12，可知MC是有固定起点，固定模长的动向量．点C的轨迹是以AB为直径的圆，且点O也在此圆上，所以|c|的最大值为圆的直径长，即为2．]
3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________．
－16 [如图所示，由极化恒等式，易得AB·AC＝|AM|2－|BM|2＝32－52＝－16．]
4．已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则PA·PB的最小值是________．
1 [如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x－y＋2＝0时，PA·PB有最小值，
即PA·PB＝|PO|2－|OB|2＝(2)2－12＝1．]
5．已知△OAB的面积为1，AB＝2，动点P，Q在线段AB上滑动，且|PQ|＝1，则OP·OQ的最小值为________．
34 [记线段PQ的中点为H，点O到直线AB的距离为d，则有S△OAB＝12AB·d＝1，
解得d＝1，由极化恒等式可得：
OP·OQ＝|OH|2－|PH|2＝|OH|2－14≥d 2－14＝34．]
6．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若AB·AD＝－7，则BC·DC＝________．
9 [∵AB·AD＝|AO|2－14|BD|2＝－7，
∴14|BD|2＝16，
∴BC·DC＝|CO|2－14|BD|2＝25－16＝9．]
7．在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．
22 [取AB的中点E，AE的中点F，连接PE，DF，则DP綉EF＝2．
∵AP·BP＝2，PE＝DF，
∴PA·PB＝2＝PE2－AE2，
∴PE2＝18，PE＝32，
在△DAF中，cs ∠DAF＝DA2+AF2-DF22DA·AF ＝1120，
∴AB·AD＝8×5×1120＝22．]
8．在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则OP·BP的最小值是________．
－116 [法一(极化恒等式)：如图①，取OB的中点D，连接PD，则OP·BP＝PD2-OD2＝|PD|2－14，
图①
即求|PD|的最小值．
由图可知，当PD⊥AB时，|PD|min＝34，
则OP·BP的最小值是－116．
法二(坐标法)：以OB所在的直线为x轴，过点A且垂直于OB的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，
图②
则A0，32，O-12，0，B12，0，可得直线AB的方程为2x＋233y＝1，
设Px，321-2x，
则OP＝x+12，321-2x，BP＝x-12，321-2x，
所以OP·BP＝4x2－3x＋12＝4x-382－116，
当x＝38时，OP·BP取得最小值－116．]