高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形培优专题七“爪型三角形”的求解策略学案

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“边化角”或“角化边”的变换策略
(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
(2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；
(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．
[培优案例]
[例1] (2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C．
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC．
[解] (1)证明：因为BD sin ∠ABC＝a sin C，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，
又b2＝ac，所以BD·b＝b2，
又b＞0，所以BD＝b．
(2)如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，
因为AD＝2DC，所以AEEB＝ADDC＝2，
DEBC＝23，
所以BE＝c3，DE＝23a．
在△BDE中，cs ∠BED＝BE2+DE2-BD22BE·DE＝c29+4a29-b22×c3×2a3＝c2+4a2-9b24ac＝c2+4a2-9ac4ac，
在△ABC中，cs ∠ABC＝AB2+BC2-AC22AB·BC＝c2+a2-b22ac＝c2+a2-ac2ac．
因为∠BED＝π－∠ABC，所以cs ∠BED＝－cs ∠ABC，所以c2+4a2-9ac4ac＝－c2+a2-ac2ac，化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，得3ca2－11ca＋6＝0，解得ca＝23或ca＝3．
当ca＝23，即c＝23a时，cs ∠ABC＝c2+a2-ac2ac＝49a2+a2-23 a243a2＝712；
当ca＝3，即c＝3a时，cs ∠ABC＝c2+a2-ac2ac＝9a2+a2-3a26a2＝76＞1(舍)．
综上，cs ∠ABC＝712．
“爪型三角形”的特征
利用∠APB＋∠APC＝π寻找△ABP与△APC中的联系．
[例2] (2023·广东广州一模)在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cs B+C2＝a sin B．
(1)求A；
(2)若a＝19，BA·AC＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长．
[解] (1)∵cs B+C2＝cs π2-A2＝sin A2，
∴b sin A2＝a sin B，
由正弦定理得sin B sin A2＝sin A sin B，
∵sin B≠0，∴sin A2＝sin A，
∴sin A2＝2sin A2cs A2，
∵A∈(0，π)，A2∈0，π2，∴sin A2≠0，
得cs A2＝12，即A2＝π3，
∴A＝2π3．
(2)∵BA·AC＝3，∴bc cs (π－A)＝3，得bc＝6，
由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cs A＝13，AD＝12(AB +AC)，
∴|AD|2＝14(AB+AC)2＝14(c2＋b2＋2bc cs A)＝74，
∴|AD|＝72，即AD的长为72．
中线问题是“爪型三角形”的一个特例，常借助向量解决．在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AD2＝14(b2＋c2＋2bc cs A)．
[例3] (2024·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cs C·sin B+π6＋cs A＝0．
(1)求角C的大小；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积．
[解] (1)由已知可得
2cs C·32sinB+12csB－cs (B＋C)＝0，
3sin B cs C＋cs B cs C－(cs B cs C－sin B·sin C)＝0，
整理得sin B(3cs C＋sin C)＝0．
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以3cs C＋sin C＝0，即tan C＝－3，
因为C∈(0，π)，所以C＝2π3．
(2)由题意得，ACBC＝ADBD＝12，即ba＝12，所以a＝2b．
法一：在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cs ∠ACB＝4b2＋b2－2×2b×b×-12＝7b2，
所以c＝7b．
在△ACD中，AD＝c3，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cs ∠ACD，
即c29＝b2＋22－2b×2×12，
将c＝7b代入整理得b2－9b＋18＝0，解得b＝3或b＝6．
若b＝6，则a＝12，c＝67，BD＝47，AD＝27，
所以在△BCD中，得
cs ∠CDB＝BD2+CD2-BC22BD·CD＝472+22-122167＜0，
同理可得cs ∠ADC＜0，即∠BDC和∠ADC都为钝角，不符合题意，排除．
所以b＝3，a＝6，
S△ABC＝12ab sin 120°＝932．
法二：因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，
所以12×2b sin 60°＋12×2a sin 60°＝12ab sin 120°，
所以b＋a＝12ab．
因为a＝2b，所以b＝3，a＝6，
所以S△ABC＝12ab sin 120°＝932．
解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．
如在△ABC中，AD平分∠BAC，则
(1)ABAC＝BDDC；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC．
培优训练(七) “爪型三角形”的求解策略
1．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当ACAB取得最小值时，BD＝________．
3－1 [设CD＝2BD＝2m>0，
则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cs ∠ADB＝m2＋4＋2m，
在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cs ∠ADC＝4m2＋4－4m，
所以AC2AB2＝4m2+4-4mm2+4+2m
＝4m2+4+2m-121+mm2+4+2m
＝4－12m+1+3m+1
≥4－122m+1·3m+1＝4－23，
当且仅当m＋1＝3m+1，即m＝3－1时，等号成立，
所以当ACAB取最小值时，m＝BD＝3－1．]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B＝b sin A+π3．
(1)求角A的大小；
(2)若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．
[解] (1)因为a sin B＝b sin A+π3，由正弦定理得sin Asin B＝sin B sin A+π3．因为sin B≠0，所以sin A＝sin A+π3，所以sin A＝12sin A＋32cs A，即12sin A＝32cs A，所以tan A＝3．因为A∈(0，π)，所以A＝π3．
(2)法一：因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以12AB·AC·sin ∠BAC＝12AB·AD·sin ∠BAD＋12AD·AC·sin ∠DAC，所以12×3×1×sin π3＝12×3×AD×sin π6＋12×AD×1×sin π6，所以AD＝334．
法二：在△ABD中，由正弦定理得BDsin ∠BAD＝ABsin ∠ADB，在△ADC中，由正弦定理得DCsin ∠DAC＝ACsin ∠ADC．因为sin ∠BAD＝sin ∠DAC，sin ∠ADB＝sin ∠ADC，所以BDDC＝ABAC＝3，所以AD＝AB+BD＝AB＋34BC＝AB＋34(AC-AB)＝14AB＋34AC，所以|AD|2＝14AB+34AC2＝116 AB2＋916|AC|2＋38AB·AC＝116×9＋916×1＋38×3×1×12＝2716，所以AD＝334．
3．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．
(1)求sin ∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
[解] (1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs ∠BAC＝22＋12＋2×2×1×12＝7，得BC＝7．
法一：由正弦定理ACsin ∠ABC＝BCsin ∠BAC，
得sin ∠ABC＝1×327＝2114．
法二：由余弦定理的推论得cs ∠ABC＝AB2+BC2-AC22AB·BC＝4+7-12×2×7＝5714，
所以sin ∠ABC＝1-cs2∠ABC＝2114．
(2)法一：由sin∠ABC＝2114，得tan ∠ABC＝35，
又tan ∠ABC＝DAAB＝DA2，所以DA＝235，
故△ADC的面积为12DA·AC·sin (120°－90°)＝12×235×1×12＝310．
法二：△ABC的面积为12AC·AB·sin ∠BAC＝12×1×2×32＝32，
S△ADCS△BAD＝12AC·AD·sin ∠CAD12AB·AD·sin ∠BAD＝sin30°2×sin90°＝14，
故△ADC的面积为15S△ABC＝15×32＝310．