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    (山东专用)2021版高考数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案(含解析)
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    (山东专用)2021版高考数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案(含解析)

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    第五讲 椭圆


    ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
    知识梳理·双基自测

    知识点一 椭圆的定义
    平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__.
    注:若集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a、c为常数,则有如下结论:
    (1)若a>c,则集合P为__椭圆__;
    (2)若a=c,则集合P为__线段F1F2__;
    (3)若a<c,则集合P为__空集__.
    知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
    标准方程
    +=1(a>b>0)
    +=1(a>b>0)
    图形




    范围
    -a≤x≤a
    -b≤y≤b
    -b≤x≤b
    -a≤y≤a
    对称性
    对称轴:坐标轴     对称中心:原点
    顶点
    A1(-a,0),A2(a,0)
    B1(0,-b),B2(0,b)
    A1(0,-a),A2(0,a)
    B1(-b,0),B2(b,0)

    长轴A1A2的长为__2a__;
    短轴B1B2的长为__2b__
    焦距
    |F1F2|=__2c__
    离心率
    e=  ∈(0,1)
    a、b、c
    的关系
    __c2=a2-b2__


    1.a+c与a-c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值.
    2.过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|=,称为通径.
    3.若过焦点F1的弦为AB,则△ABF2的周长为4a.
    4.e=.
    5.椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大.
    6.AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则
    (1)弦长l=|x1-x2|=|y1-y2|;
    (2)直线AB的斜率kAB=-.

    题组一 走出误区
    1.(多选题)下列结论正确的是( CD )
    A.平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
    B.椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆
    C.方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆
    D.+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同
    题组二 走进教材
    2.(必修2P42T4)椭圆+=1的焦距为4,则m等于( C )
    A.4 B.8
    C.4或8 D.12
    [解析] 当焦点在x轴上时,10-m>m-2>0,
    10-m-(m-2)=4,∴m=4.
    当焦点在y轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4,∴m=8.
    ∴m=4或8.
    3.(必修2P68A组T3)过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为( A )
    A.+=1 B.+=1
    C.+=1 D.+=1
    题组三 考题再现
    4.(2019·湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2-2,离心率为,则椭圆E的方程为 +=1 .
    [解析] ∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c,
    ∴a-c=2-2,∵离心率e=,
    ∴=,
    解得a=2,c=2,则b2=a2-c2=4,
    ∴椭圆E的方程为+=1.
    5.(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( D )
    A.1- B.2-
    C. D.-1
    [解析] 设|PF2|=x,则|PF1|=x,|F1F2|=2x,故2a=|PF1|+|PF2|=(1+)x,2c=|F1F2|=2x,于是离心率e====-1.

    KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
    考点突破·互动探究
    考点一 椭圆的定义及应用——自主练透
    例1 (1)(2019·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果M是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是( B )
    A.圆 B.椭圆
    C.双曲线的一支 D.抛物线
    (2)已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.则|PA|+|PF|的最大值和最小值分别为 6+,6- .
    (3)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且∠F1PF2=60°.若△PF1F2的面积为3,则b=__3__.
    [解析] (1)如图所示,由题知|PF1|+|PF2|=2a,设椭圆方程:+=1(其中a>b>0).连接MO,由三角形的中位线可得:|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆.

    (2)如下图所示,设椭圆右焦点为F1,则|PF|+|PF1|=6.

    ∴|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.
    由椭圆方程+=1知c==2,
    ∴F1(2,0),∴|AF1|=.
    利用-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立).
    ∴|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.
    故|PA|+|PF|的最大值为6+,最小值为6-.
    (3)|PF1|+|PF2|=2a,又∠F1PF2=60°,
    所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2,
    即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4c2,
    所以3|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,
    所以|PF1||PF2|=b2,
    又因为S△PF1F2=|PF1||PF2|sin60°=×b2×
    =b2=3,所以b=3.故填3.
    名师点拨 ☞
    (1)椭圆定义的应用范围:
    ①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆.
    ②解决与焦点有关的距离问题.
    (2)焦点三角形的应用:
    椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|;通过整体代入可求其面积等.
    〔变式训练1〕
    (1)(2019·大庆模拟)已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为__8__.
    (2)(2020·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|-|PF1|的最小值为__-5__.
    [解析] (1)直线y=k(x+)过定点N(-,0).而M、N恰为椭圆+y2=1的两个焦点,由椭圆定义知△ABM的周长为4a=4×2=8.
    (2)由题意可知F2(3,0),由椭圆定义可知|PF1|=2a-|PF2|.∴|PM|-|PF1|=|PM|-(2a-|PF2|)=|PM|+|PF2|-2a≥|MF2|-2a,当且仅当M,P,F2三点共线时取得等号,又|MF2|==5,2a=10,∴|PM|-|PF2|≥5-10=-5,即|PM|-|PF1|的最小值为-5.
    考点二 求椭圆的标准方程——师生共研
    例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程:
    (1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);
    (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为;
    (3)经过点P(-2,1),Q(,-2)两点;
    (4)与椭圆+=1有相同离心率,且经过点(2,-).
    [解析] (1)若焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0).
    ∵椭圆过点A(3,0),
    ∴=1,∴a=3.∵2a=3×2b,
    ∴b=1.∴方程为+y2=1.
    若焦点在y轴上,设方程为+=1(a>b>0).
    ∵椭圆过点A(3,0),∴=1,∴b=3.
    又2a=3×2b,∴a=9.∴方程为+=1.
    综上所述,椭圆方程为+y2=1或+=1.
    (2)由已知,有解得
    从而b2=a2-c2=9.
    ∴所求椭圆方程为+=1或+=1.
    (3)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
    ∵点P(-2,1),Q(,-2)在椭圆上,
    ∴解得m=,n=.
    故椭圆方程为+=1.
    (4)若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为+=t(t>0),将点(2,-)代入,得t=+=2.
    故所求方程为+=1.
    若焦点在y轴上,设方程为+=λ(λ>0)代入点(2,-),得λ=,∴所求方程为+=1.
    综上可知椭圆方程为+=1或+=1.
    名师点拨 ☞
    (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件.
    (2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:
    ①作判断:根据条件判断焦点的位置;
    ②设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠0);
    ③找关系:根据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组;
    ④求解,得方程.
    〔变式训练2〕
    (1)“2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    (2)(2019·广东模拟)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( D )
    A.+=1 B.+=1
    C.+=1 D.+=1
    考点三 椭圆的几何性质——师生共研
    例3 (1)(2019·河南中原名校、大连市、赤峰市联考)已知椭圆y2+mx2=1(m>0)的离心率为,则m= 或 .
    (2)(2020·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( B )
    A. B.
    C. D.
    (3)(2019·广东省期末联考)设F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( D )
    A.(0,] B.(0,]
    C.[,1) D.[,1)
    [解析] (1)将椭圆y2+mx2=1(m>0)化为标准方程是y2+=1,若>1,即01,则椭圆的离心率为e===,解得:m=.故答案为:m=或m=.
    (2)不妨设直线l:+=1,即bx+cy-bc=0⇒椭圆中心到l的距离=⇒e==,故选B.
    (3)如图F2H⊥PF1,∴|F1F2|=|PF2|,由题意可知-c≤2c,∴e2=≥,即e≥,又0
    名师点拨 ☞
    椭圆离心率的求解方法
    求椭圆的离心率,常见的有三种方法:一是通过已知条件列方程组,解出a,c的值;二是由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
    椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解,遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解.
    〔变式训练3〕
    (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( A )
    A. B.
    C. D.
    (2)(2020·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,点P是椭圆上的动点,若∠A1PA2的最大可以取到120°,则椭圆C的离心率为( D )
    A. B.
    C. D.
    (3)(2019·贵州贵阳适应性考试)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点F的直线过C的上顶点B,且与椭圆相交于点A,若=3,则C的离心率为( D )
    A. B.
    C. D.
    [解析] (1)由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.
    又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
    ∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,
    ∴=,
    ∴e=====.故选A.
    (2)当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知=tan 60°=,∴=,∴e==,故选D.
    (3)由题意可得B(0,b),F(-c,0),
    由=3,得A(-c,-),
    点A在椭圆上,则:+=1,
    整理可得:·=,∴e2==,e=.故选D.
    考点四 直线与椭圆——多维探究
    角度1 直线与椭圆的位置关系
    例4 (多选题)若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的值可能是( BCD )
    A. B.1
    C. D.4
    [解析] 解法一:由于直线y=kx+1恒过点(0,1),
    所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上,
    则0<≤1且m≠5,
    故m≥1且m≠5.故选B、C、D.
    解法二:由
    消去y整理得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0.
    由题意知Δ=100k2-20(1-m)(5k2+m)≥0对一切k∈R恒成立,
    即5mk2+m2-m≥0对一切k∈R恒成立,
    由于m>0且m≠5,∴m≥1且m≠5.故选B、C、D.
    角度2 中点弦问题
    例5 (2020·湖北省宜昌市调研)过点P(3、1)且倾斜角为的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若=,则该椭圆的离心率为( C )
    A. B.
    C. D.
    [解析] 由题意可知P为AB的中点,且kAB=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减得=-,∴kAB==-=-=-1,即=,∴e==,故选C.
    角度3 弦长问题
    例6 (2020·厦门模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点P(-,),椭圆E的一个焦点为(,0).
    (1)求椭圆E的方程;
    (2)若直线l过点M(0,)且与椭圆E交于A,B两点,求|AB|的最大值.
    [解析] (1)依题意,设椭圆E的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0).
    由椭圆E经过点P(-,),得|PF1|+|PF2|=4=2a,
    ∴a=2,c=,∴b2=a2-c2=1.
    ∴椭圆E的方程为+y2=1.
    (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2).
    由得(1+4k2)x2+8kx+4=0.
    由Δ>0得(8k)2-4(1+4k2)×4>0,∴4k2>1.
    由x1+x2=-,x1x2=
    得|AB|=·
    =2.
    设t=,则0 ∴|AB|=2=2≤,当且仅当t=时等号成立.
    当直线l的斜率不存在时,|AB|=2<.
    综上,|AB|的最大值为.
    名师点拨 ☞
    直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略
    (1)直线与椭圆位置关系的判断方法
    ①联立方程,借助一元二次方程的判别式Δ来判断;②借助几何性质来判断.
    (2)求椭圆方程或有关几何性质.可依据条件寻找满足条件的关于a,b,c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质.
    (3)关于弦长问题.一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解.
    (4)对于中点弦或弦的中点问题,一般利用点差法求解.若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.注意答题时不要忽视对判别式的讨论.
    〔变式训练4〕
    (1)(角度1)直线y=kx+k+1与椭圆+=1的位置关系是__相交__.
    (2)(角度2)(2020·广东珠海期末)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率,过点F的直线l交椭圆于A,B两点,若AB中点为(1,1),则直线l的斜率为( D )
    A.2 B.-2
    C. D.-
    (3)(角度3)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( C )
    A.2 B.
    C. D.
    [解析] (1)由于直线y=kx+k+1=k(x+1)+1过定点(-1,1),而(-1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.
    (2)因为=,∴4c2=2a2,∴4(a2-b2)=2a2,∴a2=2b2,设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=2,y1+y2=2,,相减得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,所以2b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0,所以2b2+4b2=0,所以1+2k=0,∴k=-,选D.
    (3)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,
    由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,
    则x1+x2=-t,x1x2=.
    ∴|AB|=|x1-x2|
    =·
    =·=·,
    当t=0时,|AB|max=.故选C.

    MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
    名师讲坛·素养提升
    利用换元法求解与椭圆相关的最值问题
    例7 如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为__4__.

    [解析] e2==1-=1-=,∴b2=3,
    ∴椭圆方程为+=1,且F(-1,0),A(2,0),设P(2sin θ,cos θ),则
    ·=(-1-2sin θ,-cos θ)·(2-2sin θ,-cos θ)=sin2θ-2sin θ+1=(sin θ-1)2≤4.
    当且仅当sin θ=-1时取等号,
    故·的最大值为4.
    另解:设P(x,y),由上述解法知·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=x2+y2-x-2=(x-2)2(-2≤x≤2),显然当x=-2时,·最大且最大值为4.
    名师点拨 ☞
    遇椭圆+=1(a>b>0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题,一般用三角换元法求解,即令x=asin θ,y=bcos θ,将其化为三角最值问题.
    〔变式训练5〕
    椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是( D )
    A.3 B.
    C.2 D.
    [解析] 设椭圆+=1上的点P(4cos θ,2sin θ),则点P到直线x+2y-=0的距离为d==,∴dmax==.

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